2020届二轮复习杨辉三角与二项式系数的性质学案（全国通用）

2020届二轮复习杨辉三角与二项式系数的性质学案（全国通用）

‎　“杨辉三角”与二项式系数的性质 学习目标　1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用.‎ 知识点一　“杨辉三角”与二项式系数的性质 ‎(a＋b)n的展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：‎ 思考1　从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？‎ 答案　在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.‎ 思考2　计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？‎ 答案　2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n.‎ 思考3　二项式系数的最大值有何规律？‎ 答案　n＝2,4,6时，中间一项最大，n＝3,5时中间两项最大.‎ ‎1.杨辉三角的特点 ‎(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等.‎ ‎(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C.‎ ‎2.二项式系数的性质 性质 内容 对称性 C＝C，即二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.‎ 增减性 与最大值 如果二项式的幂指数n是偶数，那么展开式中间一项的二项式系数最大.‎ 如果n为奇数，那么其展开式中间两项与 的二项式系数相等且同时取得最大值.‎ 二项式 系数的和 二项展开式中各二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n.‎ 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于2n－1，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.‎ 类型一　与杨辉三角有关的问题 例1　如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S16的值.‎ 解　由题意及杨辉三角的特点可得 S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9)‎ ‎＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)‎ ‎＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(2＋3＋…9)‎ ‎＝C＋ ‎＝164.‎ 反思与感悟　解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 跟踪训练1　(1)如图数表满足：①第n行首尾两数均为n；②图中的递推关系类似杨辉三角，则第n(n≥2)行的第2个数是________.‎ ‎1‎ ‎2　2‎ ‎3　4　3‎ ‎4　7　7　4‎ ‎5　11　14　11　5‎ ‎…　　…　　…‎ 答案　 解析　由图中数字规律可知，第n行的第2个数是 ‎[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝＋1.‎ ‎(2)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表.从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是________.‎ 答案　2n－1　32‎ 解析　观察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n次全行的数都为1的是第2n－1行；∵n＝6⇒26－1＝63，故第63行共有64个1，递推知第62行共有32个1，第61行共有32个1.‎ 类型二　求展开式的系数和 例2　已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：‎ ‎(1)a1＋a2＋…＋a7；‎ ‎(2)a1＋a3＋a5＋a7；‎ ‎(3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|.‎ 解　(1)当x＝1时，(1－2x)7＝(1－2)7＝－1，题中等式等号右边为a0＋a1＋a2＋…＋a7，‎ ‎∴a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1.‎ 当x＝0时，a0＝1.‎ ‎∴a1＋a2＋…＋a7＝－1－1＝－2.‎ ‎(2)令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1， ①‎ 令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37， ②‎ 由①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝－1－37，‎ ‎∴a1＋a3＋a5＋a7＝－＝－1 094.‎ ‎(3)由展开式，知a1，a3，a5，a7均为负，a0，a2，a4，a6均为正，‎ ‎∴由(2)中①＋②，得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝－1＋37，‎ ‎∴a0＋a2＋a4＋a6＝，‎ ‎∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝37＝2 187.‎ 反思与感悟　二项展开式中系数和的求法 ‎(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.‎ ‎(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，‎ 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，‎ 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.‎ 跟踪训练2　在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：‎ ‎(1)二项式系数之和.‎ ‎(2)各项系数之和.‎ ‎(3)所有奇数项系数之和.‎ 解　设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.‎ ‎(1)二项式系数之和为C＋C＋C＋…＋C＝29.‎ ‎(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，‎ 令x＝1，y＝1，‎ 所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.‎ ‎(3)令x＝1，y＝－1，可得 a0－a1＋a2－…－a9＝59，‎ 又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，‎ 将两式相加可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，‎ 即所有奇数项系数之和为.‎ 类型三　二项式系数性质的应用 例3　已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.‎ ‎(1)求展开式中二项式系数最大的项；‎ ‎(2)求展开式中系数最大的项.‎ 解　令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.‎ ‎∴(2n)2－2n－992＝0，‎ ‎∴(2n＋31)(2n－32)＝0，‎ ‎∴2n＝－31(舍去)，或2n＝32，∴n＝5.‎ ‎(1)由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间的项，它们分别为：T3＝C()3·(3x2)2＝90x6，T4＝C()2·(3x2)3＝‎ 展开式的通项公式为 假设Tr＋1项系数最大 则有 ‎∴ 即 ‎∴≤r≤，∵r∈N，‎ ‎∴r＝4，‎ ‎∴展开式中系数最大的项为 反思与感悟　1.二项式系数的最大项的求法 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论.‎ ‎(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大.‎ ‎(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.‎ ‎2.展开式中系数的最大项的求法 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第r＋1项最大，应用解出r，即得出系数的最大项.‎ 跟踪训练3　已知n展开式中的二项式系数的和比(3a＋2b)7展开式的二项式系数的和大128，求n展开式中的系数最大的项和系数最小的项.‎ 解　2n－27＝128，n＝8，8的通项Tr＋1＝C(x2)8－rr＝(－1)rCx16－3r.‎ 当r＝4时，展开式中的系数最大，即T5＝70x4为展开式中的系数最大的项；‎ 当r＝3或5时，展开式中的系数最小，‎ 即T4＝－56x7，T6＝－56x为展开式中的系数最小的项.‎ ‎1.已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋…a10x10，则a8等于(　　)‎ A.180 B.－180 C.45 D.－45‎ 答案　A 解析　a8＝C·22＝180.‎ ‎2.已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C的值等于(　　)‎ A.64 B.32 C.63 D.31‎ 答案　B 解析　C＋2C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729.‎ ‎∴n＝6，∴C＋C＋C＝32.‎ ‎3.若n的展开式的各项系数之和为64，则展开式的常数项为(　　)‎ A.10 B.20 C.30 D.120‎ 答案　B 解析　由2n＝64，得n＝6.‎ Tk＋1＝Cx6－k·k＝Cx6－2k，‎ 由6－2k＝0，得k＝3，∴T4＝C＝20.‎ ‎4.已知(1－x)8的展开式，求：‎ ‎(1)二项式系数最大的项；‎ ‎(2)系数最小的项.‎ 解　(1)因为(1－x)8的幂指数8是偶数，所以由二项式系数的性质知，中间一项(即第5项)的二项式系数最大，该项为 T5＝C(－x)4＝70x4.‎ ‎(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定.由题意知第4项和第6项系数相等且最小，分别为 T4＝C(－x)3＝－56x3，T6＝C(－x)5＝－56x5.‎ ‎1.二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出.‎ ‎2.求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定.一般地对字母赋的值为0、1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握.‎ ‎3.注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数.‎ ‎(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中r∈{0,1,2，…，n}的范围.‎ 一、选择题 ‎1.若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b等于(　　)‎ A.45 B.55 C.70 D.80‎ 答案　C 解析　∵(1＋)5＝1＋C×＋C×()2＋C×()3＋C×()4＋C×()5‎ ‎＝1＋5＋20＋20＋20＋4 ‎＝41＋29，‎ ‎∴a＝41，b＝29，a＋b＝70.故选C.‎ ‎2.已知关于x的二项式n展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为(　　)‎ A.1 B.±1 C.2 D.±2‎ 答案　C 解析　由条件知2n＝32即n＝5，在通项公式Tr＋1＝C()5－rr＝中，令15－5r＝0得r＝3，∴Ca3＝80，解得a＝2.‎ ‎3.在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是(　　)‎ A.第6项 B.第5项 C.第5、6项 D.第6、7项 答案　A 解析　由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，∴C＝C，由组合数的性质，得n＝10.‎ ‎∴展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项.‎ ‎4.设n的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为(　　)‎ A.－150 B.150 C.300 D.－300‎ 答案　B 解析　由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4，‎ Tr＋1＝C(5x)4－r·r＝(－1)r54－rCx4－，‎ 令4－＝1，得r＝2，‎ 所以展开式中x的系数为 ‎(－1)2×52C＝150.‎ ‎5.已知(2x－1)n二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C＋C＋C＋…＋C的值为(　　)‎ A.28 B.28－1‎ C.27 D.27－1‎ 答案　B 解析　设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.‎ 则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….‎ 由已知可知：B－A＝38.令x＝－1，‎ 得：a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，‎ 即：(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，‎ 即：B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.‎ 由二项式系数性质可得：‎ C＋C＋C＋…＋C＝2n－C＝28－1.‎ ‎6.若(1－2x)2 017＝a0＋a1x＋…＋a2 017x2 017(x∈R)，则＋＋…＋的值为(　　)‎ A.2 B.0 C.－2 D.－1‎ 答案　D 解析　(1－2x)2 017＝a0＋a1x＋…＋a2 017x2 017，令x＝，则2 017＝a0＋＋＋…＋＝0，‎ 其中a0＝1，所以＋＋…＋＝－1.‎ 二、填空题 ‎7.已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是________.‎ 答案　6‎ 解析　(x＋1)n展开式的各项系数为其二项式系数，当n＝10时，展开式的中间项第六项的二项式系数最大，故k的最大值为6.‎ ‎8.在n的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是________.‎ 答案　462‎ 解析　∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2n－1＝1 024，∴n＝11，∴展开式共12项，中间项为第六项、第七项，其系数为C＝C＝462.‎ ‎9.已知x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋…＋a11)＝________.‎ 答案　7‎ 解析　令x＝－1，‎ ‎∴28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12.‎ 令x＝－3，‎ ‎∴0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，‎ ‎∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)，‎ ‎∴a1＋a3＋…＋a11＝27，‎ ‎∴log2(a1＋a3＋…＋a11)＝log227＝7.‎ ‎10.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.‎ 第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 ‎1‎ ‎1　1‎ ‎1　2　1‎ ‎1　3　3　1‎ ‎1　4　6　4　1‎ ‎1　5　10　10　5　1‎ 答案　34‎ 解析　在第n行中，即(a＋b)n的展开式中第14个与第15个二项式系数分别为C和C，∴C∶C＝2∶3，即＝，∴n＝34.‎ 三、解答题 ‎11.已知n展开式的二项式系数之和为256.‎ ‎(1)求n；‎ ‎(2)若展开式中常数项为，求m的值；‎ ‎(3)若(x＋m)n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况.‎ 解　(1)二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8.‎ ‎(2)设常数项为第r＋1项，则 Tr＋1＝Cx8－rr＝Cmrx8－2r，‎ 故8－2r＝0，即r＝4，则Cm4＝，解得m＝±.‎ ‎(3)易知m>0，设第r＋1项系数最大.‎ 则化简可得≤r≤.‎ 由于只有第6项和第7项系数最大，‎ 所以即 所以m只能等于2.‎ ‎12.在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：‎ ‎(1)二项式系数之和；‎ ‎(2)各项系数之和；‎ ‎(3)所有奇数项系数之和；‎ ‎(4)系数绝对值的和.‎ 解　设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.‎ ‎(1)二项式系数之和为C＋C＋C＋…＋C＝29.‎ ‎(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，‎ 令x＝1，y＝1，‎ ‎∴a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.‎ ‎(3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，‎ 令x＝1，y＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59，‎ 将两式相加可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝.‎ 即为所有奇数项系数之和.‎ ‎(4)方法一　|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，‎ 令x＝1，y＝－1，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝59.‎ 方法二　|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|即为(2x＋3y)9的展开式中各项系数之和，令x＝1，y＝1得，‎ ‎|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝59.‎ ‎13.已知(＋x2)2n的展开式的系数和比(3x－1)n的展开式的系数和大992，求2n的展开式中：‎ ‎(1)二项式系数最大的项；‎ ‎(2)系数的绝对值最大的项.‎ 解　由题意得22n－2n＝992，解得n＝5.‎ ‎(1)10的展开式中第6项的二项式系数最大，‎ 即T6＝C·(2x)5·5＝－8 064.‎ ‎(2)设第k＋1项的系数的绝对值最大，‎ 则Tk＋1＝C·(2x)10－k·k ‎＝(－1)k·C·210－k·x10－2k.‎ ‎∴得 即 ‎∴≤k≤，∴k＝3，‎ 故系数的绝对值最大的是第4项 T4＝(－1)3C·27·x4＝－15 360x4.‎