数学卷·2018届陕西省西安中学高三上学期10月月考数学（文）试题（解析版）

数学卷·2018届陕西省西安中学高三上学期10月月考数学（文）试题（解析版）

西安中学高2018届高三第一次月考 数学试题（文科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】故选C ‎2. 设向量与向量共线，则实数（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】向量与向量共线，所以.‎ 解得.‎ 故选B.‎ ‎3. （ ）‎ A. B. 2 C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】.‎ 故选C.‎ ‎4. 已知向量，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：根据向量的坐标运算可得：，故选择A 考点：向量的坐标运算 ‎5. 给出下列四个命题：‎ ‎①若，则；‎ ‎②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；‎ ‎③若，，则；‎ ‎④的充要条件是且 其中正确命题的序号是（ ）‎ A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④‎ ‎【答案】B ‎【解析】①不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；‎ ‎②正确，∵，∴且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，‎ ‎∴四边形ABCD为平行四边形；‎ 反之，若四边形ABCD为平行四边形，则∥且，因此；‎ ‎③正确，∵，∴与的长度相等且方向相同.‎ 又=，∴与的长度相等且方向相同，‎ ‎∴与的长度相等且方向相同，故=；‎ ‎④不正确，当∥且||=||，不一定也可以是=-，故||=||且∥不是的充要条件，而是必要不充分条件.‎ 综上所述，正确命题的序号是②③.‎ 故选B.‎ ‎6. 已知中，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】中，，所以.‎ ‎.‎ 故选A.‎ ‎7. 下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：A中周期为，是偶函数；B中周期为，是奇函数；C中周期为，是 非奇非偶函数；D中周期为2，是非奇非偶函数 考点：函数奇偶性，周期性 ‎8. 若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】.‎ 分子分母同时除以，即得：.‎ 故选D.‎ ‎9. 将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：函数的周期为，将函数的图像向右平移个周期即个单位，所得图像对应的函数为，故选D.‎ ‎【考点】三角函数图像的平移 ‎【名师点睛】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减”；二是平移多少个单位是对x而言的,不要忘记乘以系数.‎ ‎10. 函数（）的单调递增区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，由得：，由得，，∴函数的单调递增区间是，故选C.‎ ‎11. 的内角的对边分别为，若，，，则（ ）‎ A. 1或2 B. 2 C. D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，，，‎ ‎∴由正弦定理得：，‎ ‎∴，‎ 由余弦定理得：,即，‎ 解得：c=2或c=1(经检验不合题意,舍去)，‎ 则c=2.‎ 故选：B.‎ ‎12. 若函数在单调递增，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数的导数为，‎ 由题意可得f′(x)⩾0恒成立，‎ 即为，‎ 即有，‎ 设,即有，‎ 当t=0时，不等式显然成立；‎ 当00,−22时,f′(x)>0；‎ ‎∴x=2是f(x)的极小值点；‎ 又a为f(x)的极小值点；‎ ‎∴a=2.‎ 点睛：设在可导且，‎ ‎（1）如果,有；而，有，则在处取得极大值，‎ 为其极大值点；‎ ‎（2）如果,有；而，有，则在处取得极大值，为其极小值点.‎ ‎15. 已知的三边长分别3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】可设的三边分别为，由余弦定理可得，，可得，可得该三角形的外接圆半径为，故答案为.‎ ‎16. 已知分别为的三个内角的对边，，且，则面积的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知，即得，由正弦定理，三角形的周长为，，，周长的取值范围为.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 的内角的对边分别为，已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，求的周长.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知及正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，可得，结合范围A∈（0，π），即可求得A的值． （Ⅱ）由余弦定理得，整理得，进而利用条件得，从而得周长．‎ 试题解析：‎ ‎（1） ‎ ‎∴由正弦定理得， ‎ ‎.‎ ‎，，‎ ‎（2）由余弦定理得，，‎ ‎，，，的周长为.‎ 点睛：本题主要考查了三角恒等变换的应用、正弦定理与余弦定理的应用，涉及到三角函数的基本关系式和三角形中的性质和基本不等式的应用，着重考查了转化与化归思想和学生的推理与运算能力，以及知识间的融合，属于中档试题，解答中熟记三角函数恒等变换的公式是解答问题的关键.‎ ‎18. 如图，在四棱锥中，面，，，，，是的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）取PB中点M，连结AM，MN，推导出四边形AMND是平行四边形，从而ND∥AM，由此能证明ND∥面PAB． （2）N到面ABCD的距离等于P到面ABCD的距离的一半，且PA⊥面ABCD，PA=4，从而三棱锥N-ACD的高是2，由此能求出三棱锥N-ACD的体积．‎ 试题解析：‎ 证明：(Ⅰ)如图，取PB中点M，连结AM，MN. ‎ ‎∵MN是△BCP的中位线,∴MN∥BC，且MN=BC.    ‎ 依题意得,ADBC,则有ADMN ‎∴四边形AMND是平行四边形,∴ND∥AM ‎∵ND⊄面PAB，AM⊂面PAB，‎ ‎∴ND∥面PAB ‎(Ⅱ)∵N是PC的中点，‎ ‎∴N到面ABCD的距离等于P到面ABCD的距离的一半，且PA⊥面ABCD，PA=4，‎ ‎∴三棱锥N−ACD的高是2.‎ 在等腰△ABC中,AC=AB=3,BC=4,BC边上的高为.‎ ‎ BC∥AD,∴C到AD的距离为，‎ ‎∴S△ADC=.‎ ‎∴三棱锥N−ACD的体积是.‎ ‎19. 某校从高一年级学生中随机抽取40中学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，所得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）求图中实数的值；‎ ‎（2）若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；‎ ‎（3）若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.‎ ‎【答案】（1）a=0.03；（2）544人；（3）.‎ 试题解析：‎ ‎(1)由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1.‎ 解得a=0.03‎ ‎ (2)根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为1−10×(0.005+0.01)=0.85由于该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544人 ‎ ‎(3)成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05=2人,分别记为A,B，成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1=4人,分别记为C,D,E,F.‎ 若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生,则所有的基本事件有：(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共15种.…(9分)‎ 如果两名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内,另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.‎ 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M,则事件M包含的基本事件有：(A,B),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共7种.所以所求概率为P(M)=.‎ 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 ‎(1)列举法.‎ ‎(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.‎ ‎(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎ ‎(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.‎ ‎20. 已知椭圆（）的离心率，椭圆过点 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线的斜率为，直线与椭圆交于两点，已知，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）时取得最大值2. ‎ ‎ ‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵∴‎ ‎∵椭圆过点∴‎ ‎（2）‎ 代入椭圆方程中整理得 ‎，‎ ‎，‎ 则 P点到直线"l" 的距离 ‎.‎ 当且仅当，即时取得最大值2.‎ ‎21. 已知函数 ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据导函数符号是否变化进行讨论：若，则，在单调递增；若，导函数先正后负，函数先增后减；（2）由（1）知函数有最大值条件为，且最大值为，转化为解不等式，先化简，再利用导数研究函数单调性及零点，确定不等式解集 试题解析：解：（Ⅰ）的定义域为 若，则，所以在单调递增 若，则当时，；当时，。所以在单调递增，在单调递减。‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在无最大值；当时，在取得最大值，最大值为 因此等价于 令，则在单调递增，‎ 于是，当时，；当时，‎ 因此，的取值范围是 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）写出曲线的参数方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）已知点是曲线上一点，求点到直线的最小距离.‎ ‎【答案】（1）曲线的直角坐标方程为:，直线的普通方程为：；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用，及即可得曲线的直角坐标系方程，进而得参数方程；消参可得直线的普通方程；‎ ‎（2）利用曲线的参数形式，由点到直线距离公式得，进而得最值.‎ 试题解析：‎ ‎(1)由曲线的极坐标方程得：，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为:，‎ 曲线的参数方程为,（为参数）；‎ 直线的普通方程为：.‎ ‎ (2)设曲线上任意一点为，则 点到直线的距离为 ‎.‎ ‎23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数，‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集为空集，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）[0，4]；（2）[3，+∞）∪（﹣∞，﹣1].‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出当a=3时，f（x）的分段函数式，原不等式即化为一次不等式组，分别解得它们，再求并集即可； ‎ ‎（2）利用绝对值三角不等式可得f（x）=|x-a|+|x-1|≥|（x-a）+（1-x）|=|1-a|，依题意可得|1-a|≥2，解之即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）当a=3时，f（x）=|x﹣3|+|x﹣1|，‎ 即有f（x）=，‎ 不等式f（x）≤4即为或或，‎ 即有0≤x＜1或3≤x≤4或1≤x＜3，‎ 则为0≤x≤4，‎ 则解集为[0，4]；‎ ‎（2）依题意知，f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥2恒成立，‎ ‎∴2≤f（x）min；‎ 由绝对值三角不等式得：f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥|（x﹣a）+（1﹣x）|=|1﹣a|，‎ 即f（x）min=|1﹣a|，‎ ‎∴|1﹣a|≥2，即a﹣1≥2或a﹣1≤﹣2，‎ 解得a≥3或a≤﹣1．‎ ‎∴实数a的取值范围是[3，+∞）∪（﹣∞，﹣1]．‎ ‎ ‎ ‎ ‎