河南省郑州市2020届高三上学期第一次质量预测数学（文）试题

河南省郑州市2020届高三上学期第一次质量预测数学（文）试题

‎2020届高中毕业年级第一次质量预测 文科数学试题卷 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接找出集合中元素满足在内的元素即可.‎ ‎【详解】由集合，，‎ 则.‎ ‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】考查两个集合的交集，属于基础题.‎ ‎2.复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简复数，再判断对应点所在象限.‎ ‎【详解】‎ 所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查复数的除法运算，复数在复平面上对应的点的坐标,属于基础题.‎ ‎3.设，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，由指数函数的单调性有，，从而得到答案.‎ ‎【详解】由指数函数的单调性有，,‎ 又，则,‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查对数运算，指数函数的单调性，利用函数单调性比较大小,属于基础题.‎ ‎4.设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，，则（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间线线、线面、面面的位置关系，对选项进行逐一判断可得答案.‎ 详解】A. 若，则与可能平行，可能异面，所以A不正确.‎ B. 若，则与可能平行，可能相交，所以B不正确.‎ C. 若，由，根据面面垂直的判定定理可得，所以C正确.‎ D若，且，，则与可能平行，可能异面，可能相交, 所以D不正确.‎ ‎【点睛】本题考查空间线线、线面、面面的位置判断定理和性质定理，考查空间想象能力，属于基础题.‎ ‎5.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 边长为3的正方形的面积S正方形＝9，设阴影部分的面积为S阴，由几何概型得，由此能估计阴影部分的面积．‎ ‎【详解】解：为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，‎ 则边长为3的正方形的面积S正方形＝9，‎ 设阴影部分的面积为S阴，‎ ‎∵该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，‎ ‎∴，‎ 解得S阴，‎ ‎∴估计阴影部分的面积是．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查阴影面积的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎6.若变量x，y满足约束条件则，则的最小值是（ ）‎ A. -1 B. -6 C. -10 D. -15‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据约束条件作出不等式组表示的平面区域,将目标函数化成，表示直线在轴上的截距,然后将目标函数平移经过可行域，可得其最值.‎ ‎【详解】由作出可行域，如图.‎ 设，化成，表示直线在轴上的截距.‎ 的最小值,即直线在轴上的截距最小.‎ 由图可知，直线过点时截距最小。‎ 此时.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查线性规划问题，作图要准确，其目标函数的几何意义常有截距、斜率、距离等几种，属于基础题.‎ ‎7.已知函数的图像由函数的图像经如下变换得到：先将的图像向右平移个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数的对称轴方程为（ ）‎ A. ， B. ，k∈Z C. , D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数的图像向右平移个单位，得到的图像，再将图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，得到的图像，，得到的表达式，再求其对称轴方程.‎ ‎【详解】函数的图像向右平移个单位，‎ 得到的图像，‎ 再将图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，‎ 得到的图像，‎ 即，‎ 则其对称轴满足：， ‎ 即 ，‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查三角函数图像的平移和周期变换，三角函数图像的对称性，属于中档题.‎ ‎8.直线与圆相切，则（ ）‎ A. -5或15 B. 5或-15 C. -21或1 D. -1或21‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线与圆相切即圆心到直线的距离等于半径，可求得参数的值.‎ ‎【详解】由圆，即,‎ 则圆心为，半径为.‎ 直线与圆相切.‎ 则圆心到直线的距离等于半径,即，‎ 解得：或.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查直线与圆相切，直线与圆的位置关系常用圆心到直线的距离和半径的大小关系来衡量,属于基础题.‎ ‎9.已知椭圆的离心率为，直线过椭圆的左顶点，则椭圆方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线过椭圆的左顶点,则椭圆的左顶点为,所以椭圆中，由离心率为，则，可求出椭圆的，从而可得椭圆的方程.‎ ‎【详解】直线与轴的交点为,‎ 直线过椭圆的左顶点，即椭圆的左顶点为.‎ 所以椭圆中，由椭圆的离心率为，则.‎ 则，所以椭圆的方程为：.‎ 故答案为：D ‎【点睛】本题考椭圆的简单几何性质，根据离心率求，属于基础题.‎ ‎10.已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在球面上，平面ABC．，为直角三角形，，且，．则球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意将球的内接三棱锥P-ABC补成长方体，可求出球的半径，从而球的表面积可求.‎ ‎【详解】根据题意：，平面ABC．，‎ 则三棱锥P-ABC可补成长方体，如图，‎ 三棱锥P-ABC的外接球即是对应长方体的外接球，‎ 所以长方体的对角线为其外接球的直径,‎ 由，，,‎ ‎，所以球的半径为.‎ 所以球的表面积为：.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键,属于中档题.‎ ‎11.关于函数有下述四个结论：‎ ‎①是偶函数②在区间单调递减 ‎③最大值为④当时，恒成立 其中正确结论的编号是（ ）‎ A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 是偶函数，只需研究时的图像性质，当时，然后对各个选项进行逐一的判断.‎ ‎【详解】①，，所以是偶函数，所以①正确.‎ ‎②,当时，，此时函数在单调递减，所以②正确. ③,设，即，由，而，显然方程无实数根，则不是函数的函数值，所以③不正确. ④, 当时, ,由三角函数线可知，此时，即，又是偶函数，得时，恒成立，所以④正确. 故答案为: D ‎【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎12.已知关于x的方程为则其实根的个数为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将方程变形为，设，即，可求解出 ，然后由来确定方程根的个数.‎ ‎【详解】将方程变形为,‎ 设，即，则，‎ 解得或 设，则 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.‎ 又，，且当时，‎ 所以函数的大致图像如下,‎ 所以由或，‎ 即有2个根，有1个根.‎ 所以方程有3个实数根.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查函数与方程，利用函数导数求函数的单调性，方程根的个数问题，一般用数形结合的方法，属于难题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.已知，，，则的最小值为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由有，可求出的最大值，从而得到的最小值.‎ ‎【详解】由有。‎ 即(当且仅当 ，即时取等号)‎ 所以 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用重要不等式求最值，注意利用重要不等式求最值的步骤“一正，二定，三 相等”，属于基础题.‎ ‎14.已知等比数列的前n项和为，且，则____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将等比数列的前 项和公式代入(注意 的讨论)‎ 求出公比，然后将公比代入所求式子中可求解.‎ ‎【详解】设等比数列的首项为，公比为.‎ 当时显然不成立. 所以，‎ 则由，‎ 解得：‎ 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查根据等比数列的前 项和求公比，等比数列的通项公式，属于基础题.‎ ‎15.已知双曲线实轴长为8，右焦点为F，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且，O为坐标原点，若，则双曲线C的离心率为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由实轴长为8,则 ，，则，在直角中，，则，则，可求得,从而可得双曲线的离心率.‎ ‎【详解】双曲线的实轴长为8，则，‎ ‎，即为焦点到渐近线的距离 所以，又，‎ 所以在直角中，，‎ 则，得， ，‎ 所以 .‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查渐近线的性质和离心率，属于中档题.‎ ‎16.在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，，D为AC上一点，，则面积最大时，____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代入，得 ，以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，求出三角形的顶点的轨迹方程，根据图形得出三角形的面积何时最大，进而求出此时的长.‎ ‎【详解】将代入得：‎ ‎，由正弦定理有：‎ ‎,即，‎ 则,即,所以 .‎ 以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，‎ 则，设 由，即,‎ 所以，即 ‎ 如图，顶点在圆上,设圆心为 ‎ 显然当时，三角形的面积最大,‎ 由,又 所以,又因为，即点在轴上(如图)‎ ‎,‎ 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理和和角公式，数形结合思想，本题还可以直接用余弦定理结合面积公式直接求解三角形的面积，从而得解，属于难题.‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22．23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（─）必考题：共60分．‎ ‎17.已知等差数列为递增数列，且满足,．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，为数列的前n项和，求．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用等差数列的通项公式代入，为递增数列，可求得公差，从而可得通项公式. (2) 由用裂项相消的方法求和.‎ ‎【详解】解：（1）由题意知 或 为递增数列，‎ 故数列的通项公式为 ‎（2）‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式，用裂项相消的方法求前n项和,裂项时要注意前面的系数，属于中档题.‎ ‎18.如图（1）在等腰直角三角形ABC中，，，点D为AB中点，将沿DC折叠得到三棱锥，如图（2），其中，点M，N，G分别为，BC，的中点．‎ ‎（1）求证：平面DCG．‎ ‎（2）求三棱锥G-A1DC的体积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由条件有，则只需证明平面即可. (2)由条件可得平面，则，可求得体积.‎ ‎【详解】解：（1）由题知图（1）中 在三棱锥中，‎ ‎∵点是的中点，，‎ 又平面 又点、分别是、的中点，‎ ‎.‎ ‎（2）由图（1）知且平面 又，为等边三角形，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积，属于中档题.‎ ‎19.2017年3月郑州市被国务院确定为全国46个生活垃圾分类处理试点城市之一，此后由郑州市城市管理局起草公开征求意见，经专家论证，多次组织修改完善，数易其稿，最终形成《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》（以下简称《办法》）．《办法》已于2019年9月26日被郑州市人民政府第35次常务会议审议通过，并于2019年12月1日开始施行．《办法》中将郑州市生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾4类．为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，某中学设计了一份调查问卷，500名学生参加测试，从中随机抽取了100名学生问卷，记录他们的分数，将数据分成7组：，，…，，并整理得到如下频率分布直方图：‎ ‎（1）从总体500名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于60的概率；‎ ‎（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的学生人数，‎ ‎（3）学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践”活动，以增强学生的环保意识．首次活动从样本中问卷成绩低于40分的学生中随机抽取2人参加，已知样本中分数小于40的5名学生中，男生3人，女生2人，求抽取的2人中男女同学各1人的概率是多少？‎ ‎【答案】（1）0.8（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据频率分布直方图可知样本中分数高于60的频率为. (2)样本中分数不小于50的频率为，分数在区间内的人数为,再根据样本中的频率求总体中分数在区间内的学生人数. (3)设3名男生分别为，2名女生分别为，利用列举法可得，从这5名同学中选取2人的结果有10种，其中2人中男女同学各1人的结果有6种，再求概率.‎ ‎【详解】解：（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数高于60频率为 ‎，‎ 所以样本中分数高于60的概率为0.8．‎ 故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数高于60的概率估计为0.8．‎ ‎（2）根据题意，样本中分数不小于50的频率为 ‎，‎ 分数在区间内的人数为．‎ 所以总体中分数在区间内的人数估计为．‎ ‎（3）设3名男生分别为，2名女生分别为，则从这5名同学中选取2人的结果为：‎ 共10种情况.‎ 其中2人中男女同学各1人包含结果为：‎ ‎，共6种.‎ 设事件抽取的2人中男女同学各1人，则 所以，抽取的2人中男女同学各1人的概率是.‎ ‎【点睛】考查频率分布直方图，样本估计总体，求概率的公式，属于中档题.‎ ‎20.设曲线上一点到焦点的距离为3．‎ ‎（1）求曲线C方程；‎ ‎（2）设P，Q为曲线C上不同于原点O的任意两点，且满足以线段PQ为直径的圆过原点O，试问直线PQ是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不恒过定点，说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）直线恒过定点，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 由抛物线定义得，可解得的值，从而得到抛物线的方程. (2) 以为直径的圆过原点，有,设直线的方程为,与曲线C 方程联立,得到点 的坐标,同理得到点 的坐标,写出的方程，从而得到答案.‎ ‎【详解】解：（1）由抛物线定义得，‎ 解得，所以曲线C方程为 ‎（2）以为直径的圆过原点，‎ 设直线的方程为,‎ 与曲线C方程联立，得 解得（舍去）或，则.‎ 又直线的方程为，同理：.‎ 又直线斜率存在，‎ 的直线方程为 即 直线恒过定点.‎ ‎【点睛】本题考查根据抛物线的定义求抛物线的方程，求直线过定点问题，属于难题.‎ ‎21.已知函数 ‎（1）若在点处的切线与直线平行，求在点的切线方程；‎ ‎（2）若函数在定义城内有两个极值点，，求证：．‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据函数导数的几何意义，有，可求出参数，然后可求切线方程. ‎ ‎(2)由函数在定义城内有两个极值点，，所以方程在上有两个不等实根，将代出得，然后利用函数导数讨论单调性可证明.‎ ‎【详解】解：（1）‎ 因为在点处的切线与直线平行，‎ ‎，即 故切点坐标为 切线方程为 ‎（2）‎ 由题知方程在上有两个不等实根.‎ 又 令 则 在上单调递减.‎ 即 ‎【点睛】本题考查根据导数的几何意义求参数的值和曲线的切线方程，考查函数极值和利用导数证明不等式,属于难题.‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E经过点P，其参数方程（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线E极坐标方程；‎ ‎（2）若直线交E于点A，B，且OAOB，求证：为定值，并求出这个定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将点P（1，），代入曲线E的方程，求出a2＝3，可得曲线E的普通方程，即可求曲线E的极坐标方程；‎ ‎（2）利用点的极坐标，代入极坐标方程，化简，即可证明结论．‎ ‎【详解】(1)将点代入曲线E的方程，‎ 得解得，‎ 所以曲线的普通方程为,‎ 极坐标方程为.‎ ‎(2)不妨设点的极坐标分别为 则 即，‎ ‎,即 ‎【点睛】本题考查曲线方程，考查极坐标方程的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎23.已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若恰好存在4个不同的整数n，使得，求m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由，得,不等式两边同时平方，得可求解. (2)打开绝对值有，因为，，恰好存在4个不同的整数n，则 ‎【详解】解析：（1）由，得，‎ 不等式两边同时平方，得，‎ 即，解得.‎ 所以不等式的解集为．‎ ‎（2）设，‎ ‎，‎ 因为，，‎ 又恰好存在4个不同的整数n，使得，‎ 所以 故的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，根据绝对值不等式的解集中整数解的个数考查参数的取值范围，属于中档题.‎ ‎ ‎