江苏省苏州市常熟市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

江苏省苏州市常熟市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

‎2019—2020学年第一学期期中试卷 高二数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将你认为正确的选项填涂在答题卡相应的位置．‎ ‎1.关于x的不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简一元二次不等式，求出对应方程的根，结合二次函数图象，写出不等式解即可.‎ ‎【详解】由原不等式可得，‎ 即，‎ 解得，‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于容易题.‎ ‎2.已知，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据成立推不出，成立能推出，即可求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 而，‎ 所以“”是“”的必要不充分条件.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件，属于中档题.‎ ‎3.若，则函数的最小值为（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得，利用均值不等式即可求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 故，‎ 当且仅当，即时等号成立.‎ 所以函数的最小值为6.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了均值不等式求最值，属于中档题.‎ ‎4.中心在原点，焦距为2，离心率为的椭圆标准方程为（ ）‎ A. 或 B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据焦距可知，由离心率可知，即可求出，结合椭圆的焦点位置可求出椭圆的方程.‎ ‎【详解】由题意焦距为2，离心率为，‎ 可得，，‎ 所以，‎ 椭圆焦点可能在轴上，也可能在轴上，‎ 所以椭圆方程或.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，属于容易题.‎ ‎5.若椭圆的焦距是2，则实数m的值是（ ）‎ A. 5 B. 6 C. 5或3 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据焦距可知，结合椭圆中即可求解.‎ ‎【详解】因为椭圆的焦距是2，‎ 所以，‎ 若焦点在轴上，则，得，‎ 若焦点在轴上，则，得，‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，属于容易题.‎ ‎6.设等比数列的前n项和为，若，则的值为（ ）‎ A. 2 B. C. D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的前n项和公式，可知，由可解的，代入即可求解.‎ ‎【详解】在等比数列中，‎ 所以，解得，‎ 因为，，‎ 所以，‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，前n项和公式，属于中档题.‎ ‎7.已知数列中，，，则值是（ ）‎ A. B. C. -3 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出数列的前几项，可发现数列有周期，周期为3，则.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以，，，，‎ 可知数列的取值有周期，周期为3，‎ 所以，‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，属于容易题.‎ ‎8.设，分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆上一点，M是线段的中点，若（O为坐标原点），则的值是（ ）‎ A. 6 B. 5 C. 4 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 由题意知是的中位线，可知，再根据椭圆的定义可得的值.‎ ‎【详解】由题意知是的中位线，‎ ‎，‎ 又，‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，属于中档题.‎ ‎9.在等差数列中，已知首项，公差，若，则k的值为（ ）‎ A. 24 B. 23 C. 22 D. 21‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质，可将转化为，进而求出值.‎ ‎【详解】数列为等差数列，且首项，公差，‎ 又，‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，属于中档题.‎ ‎10.已知分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由椭圆上存在点，使可得以原点为圆心，以c为半径的圆与椭圆有公共点，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴‎ ‎∴．‎ 由，‎ ‎∴，即椭圆离心率的取值范围为．选B．‎ 点睛：求椭圆离心率或其范围的方法 ‎(1)求出a，b，c的值，由直接求．‎ ‎(2)列出含有a，b，c的方程(或不等式)，借助于消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．‎ ‎11.已知数列满足，，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. 10 D. 11‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据累加法可求出数列的通项公式，再利用均值不等式（或对勾函数）求最小值.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以 ‎，‎ 累加得：，‎ 所以，‎ 故，‎ 由于，当且仅当，即，‎ 由于，‎ 所以当时，最小值为.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了累加法求数列的通项公式，均值不等式，属于中档题.‎ ‎12.设等差数列的前n项和为，若不等式对任意正整数n都成立，则实数m的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令,由，当时，取得最小值，由此能求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 令，‎ 则，‎ 当时，取最小值，‎ 即，，‎ 因为不等式对任意正整数n都成立，‎ 当，‎ 所以，‎ 当时，，‎ 综上.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式与求和公式，二次函数的单调性，分类讨论，不等式的性质，属于难题.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应的位置．‎ ‎13.不等式的解集为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简分式不等式为，转化为，根据二次不等式求解即可.‎ ‎【详解】由可得，‎ 即，‎ 解得，‎ 所以不等式解集为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了分式不等式，二次不等式的解法，属于中档题.‎ ‎14.在等比数列中，，，则的值是________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的性质可知，，根据完全平方和公式即可求解.‎ ‎【详解】因为在等比数列中，‎ ‎,,‎ 所以，‎ 又，‎ 所以 故答案为：5‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，考查了运算能力，属于容易题.‎ ‎15.已知椭圆的左、右焦点为，，点P为椭圆上动点，则的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设为椭圆上任意一点，根据向量数量积运算求，利用二次函数求值域即可.‎ ‎【详解】设为椭圆上任意一点,‎ 则，‎ 所以，‎ 因为P在椭圆上，所以，‎ 所以，‎ 即的取值范围是 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，椭圆的简单几何性质，属于中档题.‎ ‎16.已知实数x，y满足，，且，则最小值为________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 变形，则，利用基本不等式，建立关于的一元二次不等式，求解即可.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 当且仅当时，取等号.‎ 上式可化为，‎ 解得，‎ 所以的最小值为3.‎ 故答案为：3‎ ‎【点睛】本题主要考查了均值不等式，一元二次不等式，考查了变形推理运算能力，属于难题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区城内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.已知关于x的不等式的解集为；关于x的不等式的解集为N．‎ ‎（1）求实数m的取值集合M；‎ ‎（2）对（1）中的M，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分两种情况讨论，当时，由求解即可（2）由题意可知为的真子集，结合集合的关系即可建立不等式求解.‎ ‎【详解】（1）当时，，不等式恒成立．‎ 当时，，解得．‎ 综上，．‎ ‎（2）因为．‎ 由是的充分不必要条件，得为的真子集，‎ 所以，得．‎ ‎【点睛】本题主要考查了二次不等式恒成立，子集，充分不必要条件，分类讨论，属于中档题.‎ ‎18.已知数列是公差的等差数列，其前n项和为，满足，且，，恰为等比数列的前三项．‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前n项和为，求证：．‎ ‎【答案】（1），；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等差数列，等比数列基本量计算即可求出通项公式（2）由可知数列利用错位相减法求和即可.‎ ‎【详解】（1）由题意，，得，‎ 由，得，．‎ 所以．‎ 由，，得公比，所以．‎ ‎（2）因为，所以①‎ 得②‎ ‎①-②得 ‎．‎ 所以．‎ 从而．‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列基本量的运算，错位相减法求数列的和，属于中档题.‎ ‎19.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆过点，离心率为，点B，C分别是椭圆E的左、右顶点，点P是直线上的一个动点（与x轴交点除外），直线PC交椭圆于另一点M．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）当直线PB过椭圆E的短轴顶点时，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆过点及离心率联立方程求解即可（2）先由题意得直线PB方程，求出P点坐标，即可写出直线PC方程，联立椭圆，求出M点坐标，即可得到弦长及高，写出三角形面积即可.‎ ‎【详解】（1）由题意，‎ 因为，得，，．‎ 所以椭圆E的方程为．‎ ‎（2）直线PB的方程为，得．‎ 所以直线PC的方程，‎ 联立方程组，化简得，‎ 解得，，得点．‎ 又点M到直线PB的距离，，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的交点，属于中档题.‎ ‎20.某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．‎ ‎（1）写出y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）从第几年开始，该设备开始盈利？‎ ‎（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．‎ ‎【答案】（1）（万元）；（2）第4年该设备开始盈利；（3）选择方案①处理较为合理，理由见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意总收入去掉每年的维修费之和及购置费用即为盈利，写出函数关系即可（2）由（1），令，解一元二次不等式求解即可（3）分别计算两种方案，根据均值不等式及二次函数求最值，比较大小即可.‎ ‎【详解】（1）由题意使用x年的维修，保养费用为（万元）‎ 所以盈利总额（万元）．‎ ‎（2）由，得，即，‎ 解得，‎ 由，得．‎ 答：第4年该设备开始盈利．‎ ‎（3）方案①年平均盈利，‎ 当且仅当，即时取“=”，．‎ 所以方案①总利润为（万元），‎ 方案②，时，‎ 所以方案②总利润为（万元），‎ 答：选择方案①处理较为合理．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数在实际问题的应用，涉及二次不等式，二次函数，均值不等式，属于中档题.‎ ‎21.如图，在平面直角坐标系xOy中，，分别是椭圆的左，右焦点，点P是椭圆E上一点，满足轴，．‎ ‎（1）求椭圆E的离心率；‎ ‎（2）过点的直线l与椭圆E交于两点A，B，若在椭圆B上存在点Q，使得四边形OAQB为平行四边形，求直线l的斜率．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，，，建立的方程即可求解（2）斜率不存在时不符合题意，斜率存在时利用平行四边形的对角线互相平分，求出AB 中点，可得出Q坐标，利用点在椭圆上上求出斜率.‎ ‎【详解】（1）由轴，得，所以．‎ 因为，，所以，‎ 即，得，‎ 解得或（舍），所以．‎ ‎（2）因为，所以，‎ 椭圆E方程可化为．‎ 若直线l斜率不存在，直线，与椭圆E只有一个交点，不成立．‎ ‎（法一）设直线l方程为，，，AB中点，‎ 因为直线l过点，所以，‎ 联立方程组，得．‎ ‎，得．‎ 由韦达定理，，，‎ 得，，即点．‎ 因为平行四边形OAQB，所以点，‎ 因为点Q在椭圆上，所以，‎ 化简得．‎ 由，得，解得．‎ ‎（法二）设直线l的方程为，，，AB中点，‎ 由，得，‎ ‎，得．‎ 由韦达定理，，，‎ 得，，即点．‎ 因为平行四边形OAQB，所以点，‎ 因为点Q在椭圆上，所以，‎ 化简得，解得．‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，对运算能力要求较高，属于难题.‎ ‎22.已知数列的首项为，设其前n项和为，且对有，．‎ ‎（1）设，求证：数列为等差数列；‎ ‎（2）求数列的通项公式;‎ ‎（3）是否存在正整数m，k，使得，，成等差数列？若存在，求出m，k的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（2）存在，，或，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据与的关系可得，由递推关系知为等差数列，即可求出通项公式（2）由（1）知，可得 ‎，根据累乘法即可求出（3）由裂项相消法求出，假设存在正整数m，k，使，，成等差数列，根据等差中项化简计算可得，存在正整数m，k使，，成等差数列.‎ ‎【详解】（1）因为①，，‎ 所以时，，得．‎ 当时，②，‎ ‎①-②得，‎ 因为，所以．‎ 当时，有．‎ 所以数列为等差数列．‎ ‎（2）因为，公差，得．‎ 所以，得．‎ 所以,‎ 得，即．‎ ‎（3）‎ ‎．‎ 因为，，成等差数列，所以，即，‎ 化简得．‎ 因为，所以时，，（舍去）；时，，；‎ 时，，．‎ 综上，存在，或，．‎ ‎【点睛】本题主要考查了数列前n项和与项的关系，等差数列的定义，累乘法求通项公式，裂项相消法求和，等差中项，属于难题.‎ ‎ ‎