河北省唐山一中2019届高三下学期（4月）冲刺考试数学文试题 Word版含答案

河北省唐山一中2019届高三下学期（4月）冲刺考试数学文试题 Word版含答案

唐山一中 2019 届高三冲刺卷（一） 数学文科试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 卷 I（选择题 共 60 分） 一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 1.已知集合 ， ，则 （ ） A． B．(1,+∞) C． D． 2. 已知 ，则在 ， ， ， 中最大值是 （ ） A. B. C. D. 3.已知复 数 的实部与虚部和为 2，则实数 a 的值为 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 4. 关于圆周率 π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如注明的浦丰实验和查理斯 实验. 受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 π 的值：先请 120 名同学每人随机写下一 个 都小于 1 的正实数对(x，y)；再统计两数能与 1 构成钝角三角形三边的数对(x，y)的个数 m；最 后再根据统计数 m 估计 π 的值，假如统计结果是 ，那么可以估计 π 的值约为（ ） A. B. C. D. 5.在正项等比数列 中，若 成等差数列，则 的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 6.已知锐角 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． α π 3cos 6 5 α + =   πsin 2 3 α + =   12 25 12 25 ± 24 25 24 25 ± 2{ | 2 1 0}A x x x= − + > 2 1 2B y y x  = = +    A B = 1[ , )2 +∞ 1[ ,1)2 1[ ,1) (1, )2 +∞ 10 <<< ab ba ab aa bb ab aa ba bb 2 i 2 i 5 az −= +− 34m = 22 7 47 15 51 16 53 17 { }na 1 3 2 13 , ,22a a a 2016 2018 2015 2017 a a a a − − 3 1− 9 1 3 9 7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D.12 8.过点 且不垂直于 轴的直线 与圆 交于 两点，点 在 圆 上，若 是正三角形，则直线 的斜率是 （ ） A. B. C. D. 9. 在△ABC 中， ， M 是 AB 的 中点，N 是 CM 的中点，则 ( ) A． , B． C． D． 10. 设 函 数 满 足 . 且 当 时 ， ， 则 （ ） A. B. C. D. 11. 已知 F1，F2 是双曲线 （a＞0，b＞0）的左、右焦点，若点 F1 关于双曲线渐近线 的对称点 P 满足∠OPF2＝∠POF2（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为 （ ） A． 　　 B．2　　 　C． 　　 D． 12.若对于函数 图象上任意一点处的切线 ，在函数 的图象上总存在一条切线 ，使得 ，则实数 a 的取值范围为 ( ) A. B． C． D． 卷Ⅱ(非选择题 共 90 分) 二．填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 边长为 的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，这个定值等于 ；将这个 结论推广到空间是：棱长为 的正四面体内任一点到各面距离之和等于 _________ . （具体数值） 376 + 310 + 312 + ( 1, 1)P − − y l 2 2: 2 3 0M x y x+ − − = ,A B C M ABC∆ l 3 4 3 2 2 3 4 3 ,AB a AC b= =    AN = 1 2 3 3a b+  1 1 3 2a b+  1 1 2 4a b+  1 1 4 2a b+  ( )( )f x x R∈ ( ) ( ) sinf x f x xπ+ = + 0 x π≤ < ( ) 0f x = 23( )6f π = 1 2 3 2 0 1 2 − 2 2 2 2 1x y a b − = 5 3 2 ( ) ( ) 2ln 1f x x x= + + 1l xxxaxg −= 2cos2sin2)( 2l 1 2l l⊥ ( , 2] [ 2, )−∞ − +∞ 1 21 2  −−    ， 1 2 2 1 2 2    − −−∞ + ∞      ， ， 2 1 12  −     ， a 3 2 a a 14. 已知实数 x，y 满足约束条件 则 的最大值为__________． 15.已知向量 与 的夹角是 ， ， ，则向量 与 的夹角为 ． 16. 如图，已知球 是棱长为 的正方体 的内切 球，则平面 截球 的截面面积为 . 三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 17. 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c, 且 , 若 . （1）求角 B 的大小； （2）若 , 且△ABC 的面积为 , 求 sinA 的值. 18. 如图，四边形 ABCD 为菱形，ACEF 为平行四边形，且平面 ACEF⊥平面 ABCD，设 BD 与 AC 相交于点 G，H 为 FG 的中点. （Ⅰ）证明：BD⊥CH； （Ⅱ）若 AB=BD=2，AE= ，CH= ，求三棱锥 F-BDC 的 体积. 19.(本小题满分 12 分）某市电视台为了宣传举 办问答活动， 随机对该市 15～65 岁的人群抽样了 n 人，回答问题统计结果 如图表所示． 组号 分组 回答正确 的人数 回答正确的人数 占本组的概率 第 1 组 [15，25） 5 0.5 第 2 组 [25，35） a 0.9 第 3 组 [35，45） 27 x 第 4 组 [45，55） b 0.36 第 5 组 [55，65） 3 y O 1 1 1 1 1ABCD A B C D− 1ACD O 1 0, 2 2 0, 2, x y x y y − + ≥ − + ≤   ≤  2z x y= + a b 3 π | | 1a = 1| | 2b = 2a b−  a ca > )sin(2tan CBbBa += 7=b 4 33 3 3 2 （Ⅰ）分别求出 a，b，x，y 的值； （Ⅱ）从第 2，3，4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人，则第 2，3，4 组每组 应各抽取多少人？ （Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，电视台决定在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖，求： 所抽 取的人中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率． 20.（本题满分 12 分） 如 图 ， ， 直 线 分 别 与 抛 物 线 交 于 点 ， 与 轴 的 正 半 轴 分 别 交 于 点 ， 且 ， 直 线 的 方 程 为 ． （Ⅰ）设直线 的斜率分别为 ，求证： ； （Ⅱ）求 的取值范围． 21.(本题满分 12 分）已知 （m，n 为常数），在 处的切线方程为 ． （Ⅰ）求 的解析式并写出定义域； （Ⅱ）若 ，使得对 上恒有 成立，求实数 的取 值范围； （Ⅲ）若 有两个不同的零点 ，求证： . 选考题：共 10 分 ．请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计 分． 22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 是参数），直线 的方程 P是抛物线上位于第四象限点 , ,PA PB PC 2 4y x= , ,A B C x , ,L M N LM MN= PB 2 4 0x y− − = ,PA PC 1 2,k k 1 2 1 2k k k k+ = PAB PBC S S ∆ ∆ xnx mxf ln1)( ++= 1x = 2 0x y+ − = )f x（ 1 ,1x e  ∀ ∈   1 ,22t  ∀ ∈   3 2) 2 2f x t t at≥ − − +（ a )(1 2)()( Raxaxxfxg ∈+−−= 1 2,x x 2 1 2x x e⋅ > xOy C 2 3 cos 3sin x y α α  = + = α l 为 ，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线 的极坐标方程； （2）曲线 和直线 交于 两点，若 ,求 的值. 23. （本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 已知函数 （Ⅰ）若 m=1，求不等式 的解集； （Ⅱ）若函数 有三个零点，求实数 m 的取值范围． y kx= x C C l ,A B 2 3OA OB+ = k mxxxf +−−+= 22)( ).( Rm ∈ 0)( ≥xf xxfxg −= )()( 唐山一中 2019 届高三冲刺卷（一） 数学文科答案 一.选择题 1-5DCDBC 6-10CCDDA 11-12BA 二．填空题 13. 14. 6 15. 16. 三．解答题 17. （1）在∆ABC 中，sin(B+C) = sinA , 由正弦定理和已知条件得： sinA⋅tanB = 2sinB⋅sinA , 由于 sinA ≠0 , sinB ≠0, 则有：cosB = , 又 0c，得：a=3,c=1 , 由正弦定理得： , ∴ sinA = ………………12 分 18. （1）证明： 四边形 为菱形 ， ………………1 分 又 面 面 = ………………2 分 面 面 C………………3 分 ,………………4 分 ………………5 分 ………………………………6 分 （2）在 中， 1 2 3 π 1 2 1 2 3 π 3 3 4 3 π    =+ = 4 3 ca ac Asin 3 3sin 7 =π 14 213  ABCD ACBD ⊥∴  ACFE ∩ ABCD AC ABCDBD 平面⊂∴ ABCD ⊥ ACFE ACFEBD 面⊥∴  ACFECH 面⊂ CHBD ⊥∴ FCG∆ GFCHCHCFCG ⊥=== ,2 3,3 6 3 a 3 π 6 π 所以 ,………………6 分 ………………8 分 ， ,………………9 分 ………………………… 又 , , , ∴CH⊥平面 BDF. . . . . . . . . ……………………………12 分 19.解：（Ⅰ）第 1 组人数 5÷0.5=10，所以 n=10÷0.1=100，…（1 分） 第 2 组人数 100×0.2=20，所以 a=20×0.9=18，…（2 分） 第 3 组人数 100×0.3=30，所以 x=27÷30=0.9，…（3 分） 第 4 组人数 100×0.25=25，所以 b=25×0.36=9…（4 分） 第 5 组人数 100×0.15=15，所以 y=3÷15=0.2．…（5 分） （Ⅱ）第 2，3，4 组回答正确的人的比为 18：27：9=2：3：1， 所以第 2，3，4 组每组应各依次抽取 2 人，3 人，1 人．…（8 分） （Ⅲ）记抽取的 6 人中，第 2 组的记为 a1，a2，第 3 组的记为 b1，b2，b3，第 4 组的记为 c， 则从 6 名学生中任取 2 名的所有可能的情况有 15 种， 它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1）， （a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c）， （b2，b3），（b2，c），（b3，c）．…（10 分） 其中第 2 组至少有 1 人的情况有 9 种， 它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1）， （a2，b2），（a2，b3），（a2，c）． 故所求概率为 ．…（12 分） 20.【详解】（Ⅰ）联立 ，解得 ，由图象可知， 易知 ，由题意可设 ， ∴ （ ）， , , 故 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得， ， ， °=∠ 120GCF 3=GF ACFEBD 面⊥ ACFEGF 面⊂ GFBD ⊥∴ 3322 1 2 1 =××=⋅=∆ GFBDS BDF BDCH ⊥∴ GFCH ⊥ GGFBD =∩∴ BDFGFBD 平面⊂∴ , 2 3 2 333 1 3 1 =⋅⋅=⋅⋅== ∆−− CHSVV BDFBDFCBDCF 5 3 15 9 = 联立 ，得: ， 同理，得 设 A 点到 PB 的距离为 ，C 点到 PB 的距离为 ， ∴ ， ∴ ． 因为 ，所以 的取值范围是 ． 21.解：（Ⅰ）由 f（x）= +nlnx 可得 ， 由条件可得 ，把 x=-1 代入 x+y=2 可得，y=1， ∴ ，∴m=2， ，∴ ，x∈（0，+∞）， （Ⅱ）由（Ⅰ）知 f（x）在 上单调递减，∴f（x）在 上的最小值为 f（1）=1， 故只需 t3-t2-2at+2≤1，即 对任意的 上恒成立， 令 ，易求得 m（t）在 单调递减，[1，2]上单调递增， 而 ， ，∴2a≥m（t）max=g（2），∴ ，即 a 的取值范围为 （Ⅲ）∵ ，不妨设 x1＞x2＞0， ∴g（x1）=g（x2）=0， ∴ ， ， 相 加 可 得 ， 相 减 可 得 ， 由两式易得： ；要证 ，即证明 ，即证： ， 需 证 明 成 立 ， 令 ， 则 t ＞ 1 ， 于 是 要 证 明 ，构造函数 ，∴ ，故 ϕ（t） 在（1，+∞）上是增函数， 2 ,4 2 )t+C( ( 2+t ) 1+x m x n x mxf ++−= 2 ' )1()( 14)1(' −=+−= nmf 12)1( == mf 2 1−=n xxxf ln2 1 1 2)( −+= ]1,1[e ]1,1[e ttta 12 2 +−≥ ]2,2 1[∈t ttttm 1)( 2 +−= ]1,2 1[ 4 7)2 1( =m 2 5)2( =m 4 5≥a ),4 5[ +∞ bxxxg −−= ln2 1)( 11ln2 1 bxx =− 22ln2 1 bxx =− 2 1 21 21 21 lnlnln x x xx xxxx − +=+ 2 21 exx > 2lnln 21 >+ xx 2ln 2 1 21 21 >− + x x xx xx 21 21 2 1 2ln xx xx x x + −> tx x = 2 1 1 )1(2ln + −> t tt 1 )1(2ln)( + −−= t tttφ 0)1( )1( )1( 41)( 2 2 2 ' >+ −=+−= tt t tttφ ∴ϕ（t）＞ϕ（1）=0，∴ ，故原不等式成立． 22.解：（1） 所以曲线 的极坐标方程为 . （2）设直线 的极坐标方程为 ，其中 为直线 的倾斜角， 代入曲线 得 设 所对应的极径分别为 . 满足 或 的倾斜角为 或 ， 则 或 . 23. 解：（1） （2） 1 )1(2ln + −> t tt 2 23 cos 2 4 1 0 3sin x x x y y α α  = + ∴ − + + = = 2 分 C 2 4 cos 1 0ρ ρ θ− + = 4 分 l [ )1 1( , 0, )Rθ θ ρ θ π= ∈ ∈ 1 θ l C 2 14 cos 1 0,ρ ρ θ− + = ,A B 1 2,ρ ρ 2 1 2 1 1 2 14cos , 1 0, 16cos 4 0∴ + = = > ∆ = − >ρ ρ θ ρ ρ θ 1 2 1 2 2 3OA OB+ = + = + = ρ ρ ρ ρ 8 分 1 3cos 2 θ∴ = ± ， 0∆ > 1 6 πθ∴ = 5 6 π， l 6 π 5 6 π 1 3tan 3k θ= = 3 3 − 10 分 3 ( 2) 1 , ( ) 2 1 ( 2 2) 3 5 ( 2) 1( ) 0, 42 1 52 x m f x x x x f x x x x − < − = = + − ≤ ≤  > > ∴ ≥ −  ∴ ≥ −        当 时 分 分 不等式的解集为 分 ( ) ( ) : 4 ( 2) ( ) 2 ( 2 2) 7 4 ( 2) ( ) . 4 2, 2 2 104 2 g x f x x m x f x x m x y x m x y f x y x m mm = − − < − = + − ≤ ≤ =  + > = = − < −∴ ∴ − < < + >   若函数 有三个零点，只须 与 有三个交点即可 分 只须 的两个分段点位于 的两侧即可 分