2011年数学理（北京）高考试题

2011年数学理（北京）高考试题

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷）‎ 本试卷共5页，150分。考试时间长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎1．已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是 ‎ A．(-∞, -1] B．[1, +∞） ‎ ‎ C．[-1，1] D．（-∞，-1] ∪[1，+∞）‎ ‎2．复数 ‎ A．i B．-i C． D．‎ ‎3．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是 ‎ A． B． ‎ ‎ C． (1,0) D．(1，)‎ ‎4．执行如图所示的程序框图，输出的s值为 ‎ A．-3‎ ‎ B．-‎ ‎ C．‎ ‎ D．2‎ ‎5．如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，‎ 延长AF与圆O交于另一点G。给出下列三个结论：‎ ‎ ①AD+AE=AB+BC+CA；‎ ‎ ②AF·AG=AD·AE ‎ ③△AFB ～△ADG ‎ 其中正确结论的序号是 ‎ A．①② B．②③‎ ‎ C．①③ D．①②③‎ ‎6．根据统计，一名工作组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ‎ ‎（A，C为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是 ‎ A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16‎ ‎7．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是 ‎ A．8 B． C．10 D．‎ ‎8．设,，,.记为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为 ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ 第二部分 （非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎9．在中。若b=5，，tanA=2，则sinA=____________；a=_______________。‎ ‎10．已知向量a=（，1），b=（0，-1），c=（k，）。若a-2b与c共线，则k=___________________。‎ ‎11．在等比数列{an}中，a1=，a4=-4，则公比q=______________；____________。‎ ‎12．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有__________个。（用数字作答）‎ ‎13．已知函数若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是_______‎ ‎14．曲线C是平面内与两个定点F1（-1，0）和F¬2（1，0）的距离的积等于常数 的点的轨迹.给出下列三个结论：‎ ‎ ① 曲线C过坐标原点；‎ ‎ ② 曲线C关于坐标原点对称；‎ ‎ ③若点P在曲线C上，则△FPF的面积大于a。‎ 其中，所有正确结论的序号是 。‎ 三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎15．（本小题共13分）‎ ‎ 已知函数。‎ ‎ （Ⅰ）求的最小正周期：‎ ‎ （Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。‎ ‎16．（本小题共14分）‎ ‎ 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.‎ ‎(Ⅰ)求证：平面 ‎ （Ⅱ）若求与所成角的余弦值；‎ ‎ （Ⅲ）当平面与平面垂直时，求的长.‎ ‎17．本小题共13分 以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。‎ ‎ （Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；‎ ‎ （Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。‎ ‎ （注：方差，其中为，，…… 的平均数）‎ ‎18．（本小题共13分）‎ ‎ 已知函数。‎ ‎ （Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎ （Ⅱ）若对于任意的，都有≤，求的取值范围。‎ ‎19．（本小题共14分）‎ ‎ 已知椭圆.过点（m,0）作圆的切线I交椭圆G于A，B两点.‎ ‎ （I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；‎ ‎ （II）将表示为m的函数，并求的最大值.‎ ‎20．（本小题共13分）‎ ‎ 若数列满足，数列为数列，记=．‎ ‎ （Ⅰ）写出一个满足，且〉0的数列；‎ ‎ （Ⅱ）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；‎ ‎ （Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。‎ 参考答案 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎（1）C （2）A （3）B （4）D ‎（5）A （6）D （7）C （8）C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎（9） （10）1‎ ‎（11）—2 （12）14‎ ‎（13）（0，1） （14）②③‎ 三、解答题（共6小题，共80分）‎ ‎（15）（共13分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）因为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以的最小正周期为 ‎ （Ⅱ）因为 ‎ 于是，当时，取得最大值2；‎ ‎ 当取得最小值—1.‎ ‎（16）（共14分）‎ ‎ 证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，‎ 所以AC⊥BD.‎ 又因为PA⊥平面ABCD.‎ 所以PA⊥BD.‎ 所以BD⊥平面PAC.‎ ‎（Ⅱ）设AC∩BD=O.‎ 因为∠BAD=60°，PA=PB=2,‎ 所以BO=1，AO=CO=.‎ 如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O—xyz，则 P（0，—，2），A（0，—，0），B（1，0，0），C（0，，0）.‎ 所以 设PB与AC所成角为，则 ‎.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知 设P（0，－，t）（t>0），‎ 则 设平面PBC的法向量,‎ 则 所以 令则 所以 同理，平面PDC的法向量 因为平面PCB⊥平面PDC,‎ 所以=0，即 解得 所以PA=‎ ‎（17）（共13分）‎ 解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，‎ 所以平均数为 方差为 ‎（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=‎ 同理可得 所以随机变量Y的分布列为：‎ Y ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ P EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×+18×+19×+20×+21×‎ ‎=19‎ ‎（18）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）‎ 令，得.‎ 当k>0时，的情况如下 x ‎()‎ ‎(,k)‎ k ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎0‎ ‎↗‎ 所以，的单调递减区间是（）和；单高层区间是当k<0时，的情况如下 x ‎()‎ ‎(,k)‎ k ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎↘‎ ‎0‎ ‎↗‎ ‎↘‎ 所以，的单调递减区间是（）和；单高层区间是 ‎（Ⅱ）当k>0时，因为，所以不会有 当k<0时，由（Ⅰ）知在（0，+）上的最大值是 所以等价于 解得.‎ 故当时，k的取值范围是 ‎（19）（共14分）‎ 解：（Ⅰ）由已知得 所以 所以椭圆G的焦点坐标为 离心率为 ‎（Ⅱ）由题意知，.‎ 当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为 此时 当m=－1时，同理可得 当时，设切线l的方程为 由 设A、B两点的坐标分别为，则 又由l与圆 所以 由于当时，‎ 所以.‎ 因为 且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.‎ ‎（20）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。‎ ‎（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）‎ ‎（Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列，‎ 所以.‎ 所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.‎ 所以a2000=12+（2000—1）×1=2011.‎ 充分性，由于a2000—a1000≤1，‎ a2000—a1000≤1‎ ‎……‎ a2—a1≤1‎ ‎ 所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999.‎ ‎ 又因为a1=12，a2000=2011,‎ ‎ 所以a2000=a1+1999.‎ ‎ 故是递增数列.‎ ‎ 综上，结论得证。‎ ‎ （Ⅲ）令 ‎ 因为 ‎ ……‎ ‎ ‎ 所以 因为 所以为偶数,‎ 所以要使为偶数,‎ 即4整除.‎ 当 时，有 当的项满足，‎ 当不能被4整除，此时不存在E数列An，‎ 使得