福建省福建师范大学附属中学2019届高三下学期高考模拟（最后一模）数学（文）试题

福建省福建师范大学附属中学2019届高三下学期高考模拟（最后一模）数学（文）试题

‎2019届福建省福建师大附中文科数学高考模拟试卷20190528‎ ‎（满分：150分，时间：120分钟）‎ 说明：请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷。‎ 第I卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设集合，集合，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎2．已知是虚数单位，若，则 （ ） ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．已知某高中的一次测验中，甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图如图所示，下列判断错误的是（　 　）‎ A. 乙班的理科（物理、化学、生物）总成绩强于甲班 ‎ B. 甲班的文科（政治、历史、地理）总成绩强于乙班 C. 两班的英语平均分分差最大 D. 两班的语文平均分分差最小 ‎4.某省新高考将实行“3+1+2”模式，“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科。某考生已经确定“首选科目”为物理，如果他从“再选科目”中随机选择两科，则思想政治被选中的概率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.设双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的方程为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.如果执行右面的框图,输入,则输出的数等于( )‎ A． B. C. D. ‎ ‎7.在矩形中，，点为直线上一点，则=( )‎ A．0　　 B．2　　 　C．4　　 　D．8‎ ‎8．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为（　 　）‎ A. 40 B. 43 C. 46 D. 47‎ ‎9．函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，且函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数的值为( )‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎10.已知圆：与轴在第二象限所围区域的面积为，直线分圆的内部为两部分，其中一部分的面积也为，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎11.三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC且PA＝2，△ABC是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为(　　)‎ A． B．4π C．8π D．20π ‎12.已知函数，则函数有唯一零点的充要条件是（ ）‎ A．或或 B．或 C．或 D．或 第II卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13.已知函数为偶函数，当时，，则_________.‎ ‎14.若变量满足约束条件，则的最大值是_______.‎ ‎15. 已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是线段与的交点，若，为坐标原点，且的面积为，则的值为________.‎ ‎16.已知数列的前项和为，将该数列按下列格式（第行有个数）排成一个数阵，则该数阵第行从左向右第个数字为________.‎ 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知在中，角所对的边分别为，且．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的面积．‎ ‎18．(本题满分12分) ‎ 在四棱锥中，与相交于点，点在线段上，，且．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若，, 求点到平面的距离．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图（甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙）所示．‎ ‎（1）试估计该河流在8月份水位的众数；‎ ‎（2）我们知道若该河流8月份的水位小于40米的频率为，该河流8月份的水位小于40米的情况下发生1级灾害的频率为，则该河流8月份的水位小于40且发生1级灾害的频率为，其他情况类似．据此，试分别估计该河流在8月份发生1、2级灾害及不发生灾害的频率；‎ ‎（3）该河流域某企业，在8月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元．‎ 现此企业有如下三种应对方案：‎ 方案 防控等级 费用（单位：万元）‎ 方案一 无措施 ‎0‎ 方案二 防控1级灾害 ‎40‎ 方案三 防控2级灾害 ‎100‎ 试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由．‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左顶点为，离心率为，点在椭圆上.‎ ‎（1)求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于点，求证：在轴上存在点，使得无论非零实数怎样变化，以为直径的圆都必过点，并求出点坐标.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎22．（本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中，已知曲线与曲线（为参数，）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）写出曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）在极坐标系中，已知点是射线与的公共点，点是与的公共点，当在区间上变化时，求的最大值．‎ ‎23．（本小题满分10分）[选修4—5：不等式选讲]‎ 已知函数，其中．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若存在，使得，求实数的取值范围．‎ ‎2019届福建省福建师大附中文科数学高考模拟试卷参考答案20190528‎ ‎1. D 2. A 3. D 4. B 5. B 6. C 7. D 8. C 9.C 10. A 11. C 12．A ‎13. 2 14. 5 15. 16. ‎ ‎17．解：（1）‎ ‎， ……………………2分 ‎，因为……………………………………4分 ‎（2）由及正弦定理，可得，‎ ‎ ………………………………………6分 ‎，………………8分 ‎……………10分 所以的面积…………………………………………12分 ‎18．解：解法一：（1）因为,所以．…………………2分 因为，平面，‎ 平面平面，‎ 所以．……………………………………4分 所以，即． …………5分 ‎ (2) 因为，所以为等边三角形，所以，‎ 又因为，，所以且， 7分 所以且，又因为，所以 8分 因为平面，所以平面．‎ 作于，因为平面，所以平面． 9分 又因为，所以即为到平面的距离． 10分 在△中，设边上的高为，则，‎ 因为，所以，即到平面的距离为． 12分 解法二、（1）同解法一． 5分 ‎（2）因为，所以为等边三角形，所以，‎ 又因为，，所以且， 7分 所以且，又因为，所以 ． 8分 设点到平面的距离为，由得，‎ 所以， 即．………………10分 因为，，，‎ 所以，解得，即到平面的距离为． 12分 ‎19．解：（1）由题设，，‎ 估计该河流在8月份水位的众数为米…………………………………………2分 ‎（2）依据甲图，该河流8月份的水位小于40米，在40米和50米之间，大于50米的频率分别为．……5分 根据乙图，该河流在8月份发生1级灾害的频率为 该河流在8月份发生2级灾害的频率为 该河流在8月份不发生灾害的频率为 估计分别为．……………………………………8分 ‎（3）由（2）若选择方案一，则该企业在8月份的平均利润 ‎（万元）……………………9分 若选择方案二，则该企业在8月份的平均利润 ‎（万元）……………………………10分 若选择方案三，则该企业在8月份的平均利润 ‎（万元）…………………………………………………………11分 由于，因此企业应选方案二………………………………………………12分 ‎20.解：（1)依题意，，所以 ①，‎ 又因为点在椭圆上，所以 ②，………………………2分 由①②解得，，所以椭圆方程为.………………………4分 ‎（2）设，，则，不妨令.‎ 由可得，解得，，………6分 ‎，所以所在直线方程为，‎ 所在直线方程为，‎ 可得，同理可得，‎ 所以，，………………………10分 所以，，所以或，‎ 所以存在点且坐标为或,‎ 使得无论非零实数怎么变化，以为直径的圆都必过点. ………………………12分 ‎21.解：（Ⅰ）当时，，‎ 得，……………………………………1分 令，得，，‎ 由得或时，由得，………………………3分 ‎∴增区间为，；减区间为．……………………5分 ‎（Ⅱ）由条件得对恒成立，‎ ‎∵，∴对恒成立．‎ 设，则，令，得．……………………7分 ‎（1）当，即时，有，∴在上是减函数，‎ ‎∴，解得，不合题意．……………………………………9分 ‎（2）当，即时，‎ 则得在上是减函数，在上是增函数，‎ ‎∴，解得，符合题意．………………11分 综上可得，实数的取值范围是．……………………………………………12分 ‎22．解：（1）曲线的极坐标方程为，即．‎ ‎…………………………3分 曲线的普通方程为，即，所以曲线的极坐标方程为．………………………………………………………………5分 ‎（2） 由（1）知，，………………6分 ‎……8分 由知，当，‎ 即时，有最大值．…………………………………………10分 ‎23．解：（1）当时，，‎ 所以或或，解得或，‎ 因此不等式的解集的……………………5分 ‎（2），且，‎ 所以，所以存在，使得，等价于，‎ 所以，解得，‎ 所以实数的取值范围是…………………………………………10分