2018-2019学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期六科联赛（12月）数学（文）试题 解析版

2018-2019学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期六科联赛（12月）数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 湖南省衡阳市第八中学2018-2019学年高二上学期六科联赛（12月）数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．给定下列命题：①全等的两个三角形面积相等；②3的倍数一定能被6整除；③如果，那么；④若，则。其中，真命题有 A、① B、①③④ C、①④ D、①②③④‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：显然，只有①是真命题。选A。‎ 考点：本题主要考查命题的概念及真假判断。‎ 点评：难度不大，但综合性强，涉及知识面广。‎ ‎2．若运行右图的程序，则输出的结果是(　　).‎ A． 4 B． 13‎ C． 9 D． 22‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，由于A=9，那么可知A= A+13=9+13=22，此时输出A的值，结束，故可知答案为22，选D.‎ 考点：赋值语句 点评：本题主要考查了赋值语句，理解赋值的含义是解决问题的关键，属于基础题 ‎3．下列四个命题中，假命题为（ ）‎ A．，使成立 B．，使成立 C．， 均成立 D．，均成立 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：对于A，若即满足不等式成立；对于B，时满足等式成立；对于C，显然正确；对于D，易知是可令显然不成立．‎ 考点：量词的应用.‎ ‎4．抛物线的焦点到准线的距离是(　　).‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的方程可知，故可写出焦点到准线的距离为.‎ ‎【详解】‎ 由可知，，‎ 所以焦点到准线的距离为.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的标准方程，及其简单几何性质，属于容易题.‎ ‎5．椭圆上的一点到左焦点的距离为2， 是的中点，则为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据椭圆定义， 为的中点，则为的中位线，所以，故选择B. ‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（ ）．‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 模拟执行程序框图，可得，‎ ‎ 满足条件；‎ 满足条件；‎ 满足条件；‎ 不满足条件，推出循环，输出的值为，故选B．‎ ‎7．函数的单调递减区间是(　　).‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求函数的导数，利用导数求函数的单调区间.‎ ‎【详解】‎ 由，令 可得，所以函数的单调递减区间为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，属于中档题.‎ ‎8．双曲线mx2+ y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于 （ ）‎ A． - B． -4 C． 4 D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 解：‎ ‎9．已知函数为偶函数，若曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由函数可知，所以，则，由得，，解得或（舍），所以，故选A.‎ 考点：1、函数的奇偶性；2、导数的几何意义.‎ ‎10．已知抛物线C: ，直线，PA,PB为抛物线C的两条切线，切点分别为A,B，则“点P在直线上”是“PAPB”的( )条件 A． 必要不充分 B． 充分不必要 C． 充要 D． 既不充分也不必要 ‎【答案】C ‎【解析】（1）若,设，切线斜率显然存在且不为，设方程为代入中得到： ，所以，由韦达定理可得，故在直线上；（2）若在直线上，设，切线方程为代入，可得，所以，故，“点在直线上”是“”的充要条件，故选C.‎ ‎11．双曲线： （， ）的焦点为、，抛物线： 的准线与交于、两点，且以为直径的圆过，则椭圆的离心率的平方为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵抛物线的方程为 ‎∴抛物线的焦点坐标为，准线方程为 ‎∵双曲线： （， ）的焦点为、，且抛物线的准线与交于、两点 ‎∴， ‎ ‎∵以为直径的圆过 ‎∴，即 ‎∵‎ ‎∴，即 ‎∴‎ ‎∵椭圆的离心率为 ‎∴椭圆的离心率的平方为 故选C.‎ 点睛：本题主要考查利用椭圆，双曲线及抛物线的简单性质求椭圆的离心率范围，属于难题. 求解与双曲线、抛物线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率的值或离心率范围，应先将有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的方程或不等式，从而求出.‎ ‎12．设函数，其中,若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是(　　).‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设 则存在唯一的整数，使得在直线的下方，由此利用导数性质能求出m的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 设,‎ 由题意知存在唯一的整数，使得在直线的下方，‎ ‎ ‎ ‎ 当时， ，当时，，‎ ‎ 当时，取最小值，‎ 又，直线恒过定点且斜率为m，‎ 故且 解得，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的运用，函数的极值，涉及数形结合思想，属于中档题.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．“”是“”的_____________条件；（填：充分非必要条件；必要非充分条件；充要条件之一.）‎ ‎【答案】充分非必要 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可知，所以两边同乘以可得 ，即能推出，当时，可得，推不出，即可知结论.‎ ‎【详解】‎ 由可知，所以两边同乘以可得 ，即能推出,‎ 当时，可得，推不出，‎ 所以“”是“”的充分非必要条件，故填充分非必要条件.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了充分条件，必要条件，属于中档题.‎ ‎14．已知双曲线的左、右顶点分别为两点，点，若线段的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得， 为正三角形，则，所以双曲线的离心率 .‎ ‎15．在半径为的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_______时它的面积最大.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设圆内接等腰三角形ABC的底边长为，高为，由勾股定理可得，进而得到面积函数的解析式，利用导数求函数单调区间，可得函数在处取得极大值且为最大值.‎ ‎【详解】‎ 设圆内接等腰三角形ABC的底边长为，高为,‎ 可得，解得，‎ 故三角形面积为，‎ 由，令 得,‎ 即时，S有最大值. 故填.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数在实际问题中求最值的运用，正确求出面积函数的解析式并求导数是解题关键，属于中档题.‎ ‎16．已知函数,若,则的取值范围是____________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先证明函数是偶函数，再利用导数证明在上递增，由是偶函数可得 在上递减，利用对数的运算法则将原不等式化简为，等价于，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ，‎ ‎，‎ 是偶函数，‎ 时，，‎ 在上递增，‎ 由是偶函数可得在上递减，‎ ‎，‎ 化为，，‎ 等价于，或，‎ 或，‎ 即的取值范围是，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用以及利用导数研究函数的单调性，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）求在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】(1) 的递增区间为，递减区间为．‎ ‎(2) 最大值，最小值．‎ ‎【解析】分析：（1）求导数后，由可得增区间，由可得减区间．（2）根据单调性求出函数的极值和区间的端点值，比较后可得最大值和最小值．‎ 详解：（1）∵，‎ ‎∴．‎ 由，解得或；‎ 由，解得，‎ 所以的递增区间为，递减区间为．‎ ‎（2）由（1）知是的极大值点，是的极小值点，‎ 所以极大值，极小值，‎ 又，，‎ 所以最大值，最小值．‎ 点睛：（1）求单调区间时，由可得增区间，由可得减区间，解题时注意导函数的符号与单调性的关系．‎ ‎（2）求函数在闭区间上的最值时，可先求出函数的极值和区间的端点值，通过比较后可得最大值和最小值．‎ ‎18．已知且，设命题：函数在上单调递减，命题：对任意实数 ‎，不等式恒成立.‎ ‎（1）写出命题的否定，并求非为真时，实数的取值范围；‎ ‎（2）如果命题“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）的取值范围是.‎ ‎【解析】分析：（1）根据命题的否定的改写方法即可，非为真，即存在实数 ,‎ 使得不等式成立.故即可；（2）此题是由命题的真假求参数的题目，可先求出每个命题为真时的参数的取值范围，再根据命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，判断出两个命题的真假关系，从而确定出实数c的取值范围 详解：‎ ‎（1）命题 的否定是：存在实数 ,‎ 使得不等式成立. ‎ 非为真时，，即，又且，‎ 所以.‎ ‎（2）若命题为真，则，‎ 若命题为真，则或， ‎ 因为命题为真命题，为假命题，‎ 所以命题和一真一假，若真假，则 所以， ‎ 若假真，则，所以. ‎ 综上：的取值范围是 点睛：本题考查命题的真假判断与应用，解题的关键是理解“命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题”，进行正确转化，求出实数c 的取值范围，解答过程中能正确对两个命题中c的范围正确求解也很关键，本题涉及到了指数的单调性，一元二次不等式的解的情况，或命题，且命题等，综合性较强 ‎19．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为， 与双曲线交于两点，求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题易知，双曲线方程为；（2）直线的方程为，由弦长公式得， ，所以 试题解析：‎ ‎（1）设所求双曲线方程为 代入点得，即 所以双曲线方程为，即.‎ ‎（2）.直线的方程为.设 联立得 满足 由弦长公式得 ‎ 点到直线的距离.‎ 所以 ‎20．已知函数，．‎ ‎（1）若，曲线在点处的切线与轴垂直，求的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求证 ‎【答案】（1）b=2；（2）详见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，由已知得在处的导数为，即可求的值 ‎ ‎（2）要证，只需证，设，求导数，确定函数单调性，即可证明.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）时， ‎ 所以 由题 ‎ ‎（2）由（1）可得只需证 设，‎ 令 ，得。 ‎ 当时，，当时，，‎ 所以，‎ 所以，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的几何意义，运用导数证明不等式，考查了学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.‎ ‎21．已知椭圆的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与相交于两点，与相交于两点，且，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的顶点可得，求出双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得，即可得到椭圆方程 设直线的方程为，联立双曲线方程，消去，运用韦达定理和判别式大于，结合向量的数量积的坐标表示，求得的关系式，再由直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到所求 ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可知：，‎ 又椭圆的上顶点为，‎ 双曲线的渐近线为：，‎ 由点到直线的距离公式有：，‎ 所以椭圆的方程为。‎ ‎（2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，代入，消去并整理得：‎ ‎，‎ 要与相交于两点，则应有：‎ ‎ ‎ 设，‎ 则有：，.‎ 又 .‎ 又：，所以有： ，‎ ‎，②‎ 将，代入，消去并整理得：，‎ 要有两交点，则 .③‎ 由①②③有：‎ 设、.‎ 有：，‎ ‎.‎ 将代入有：‎ ‎.‎ ‎,令,‎ 令 ,.‎ 所以在内恒成立，故函数在内单调递增，‎ 故 .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆和双曲线的方程和性质，主要考查了渐近线方程的运用，同时考查了直线和椭圆及双曲线方程的联立，运用韦达定理和弦长公式，考查了化简整理的运算能力，有一定的难度。‎ ‎22．.已知函数.‎ ‎（1）求过点的图象的切线方程；‎ ‎（2）若函数存在两个极值点， ，求的取值范围；‎ ‎（3）当时，均有恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) （3） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）设切点坐标为，则切线方程为 ，根据点坐标，即可求出，从而得到切线方程；（2）对求导，令，要使存在两个极值点， ，则方程有两个不相等的正数根，从而只需满足即可；（3）由 在上恒成立可得在上恒成立，令，求出的单调性，可得出的最大值，即可求得的取值范围.‎ 试题解析：（1）由题意得，函数的定义域为， ‎ 设切点坐标为，则切线方程为 ‎ 把点代入切线方程，得： ，‎ 过点的切线方程为： ‎ ‎（2）∵‎ ‎∴‎ ‎ 令 要使存在两个极值点， ，则方程有两个不相等的正数根.‎ 又， .‎ 故只需满足即可 解得： ‎ ‎（3）由于在上恒成立.‎ ‎∴在上恒成立.‎ 令 则 当时， ‎ 令，则 ‎ 在上单调递增 又， ‎ ‎∴存在便得，即， ‎ 故当时， ，此时 当时， 此时.‎ 故函数在上递增，在上递减 从而： ‎ 令， ‎ 则 ‎ 在上单调递增，‎ ‎∴‎ 故.‎ 点睛：解决不等式恒成立问题的常用方法通过分离参数的方法转化为求函数最值的问题，即若或恒成立，只需满足或即可，然后利用导数方法求出的最小值或的最大值，从而问题得解．‎