【数学】2019届一轮复习北师大版三角解答题学案

【数学】2019届一轮复习北师大版三角解答题学案

专题一 三角解答题 三角函数与三角恒等变换综合题 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．熟悉诱导公式、同角关系式、两角和与差、倍角公式是化简求值的关键；‎ ‎2．熟悉三角函数的图像是解决有关性质问题的前提；‎ ‎3．切化弦、变角处理是三角化简与求值的常用手段．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．必备技能 高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数的性质之中．常需要利用这些公式，先把函数解析式化为的形式，再进一步讨论其定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、周期性和对称性等性质．‎ ‎2．典型例题 ‎ 例1．【2018全国名校大联考高三第二次联考】设函数．‎ ‎（I）求函数的值域和函数的的单调递增区间；‎ ‎（II）当，且时，求的值．‎ ‎【答案】（I）值域是，单调递增区间为；（II）．‎ ‎【解析】试题分析 （I）根据三角函数的关系式，即可求求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间；‎ ‎（II）根据三角函数的诱导公式即可得到结论．‎ 试题解析 （I）依题意 ．‎ 因为，则．即函数的值域是 ‎．‎ 令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，．‎ ‎【名师点睛】三角函数求值的三种类型 ‎（I）给角求值 关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．‎ ‎（II）给值求值 关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．‎ ‎①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；‎ ‎②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．‎ ‎（III）给值求角 实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．‎ 例2．【2018陕西西安长安区高三上学期质量检测大联考（一）】设函数．‎ ‎（I）试说明的图象由函数的图象经过怎样的变化得到？并求的单调区间；‎ ‎（II）若函数与的图象关于直线对称，当时，求函数的最值．‎ ‎【答案】（I）见解析（II）最小值为﹣1；最大值为 ‎ ‎【解析】试题分析 （I）利用三角恒等变换化简 的解析式，再利用函数 的图象变换规律，得出结论． ‎ ‎（II）先根据对称性求得的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得当]时，函数的最值．‎ 试题解析 （I）∵函数=sinxcos﹣cosxsin﹣cosx﹣1=sinx﹣cos﹣1=sin（x﹣）﹣1，‎ 故把函数的图象向右平移1个单位，可得y=sin（x﹣）的图象；‎ 再向下平移1个单位，可得f（x）的图象．‎ ‎（II）函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=2对称，∴g（x）=f（4﹣x）=sin[（4﹣x）﹣]﹣1=sin（x）﹣1，‎ 当x∈[0，1]时，x∈[0，]，故当x=0时，函数y=g（x）取得最小值为﹣1；当x=1时，函数y=g（x）取得最大值为﹣1．学- ‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解，单调增区间即的解集．‎ 的函数的单调区间的求法 （I） 代换法 ①若，把看作是一个整体，由 求得函数的减区间，求得增区间；②若，则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；（II） 图象法 画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018北京西城区高三模拟】已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的定义域；‎ ‎（Ⅱ）设，且，求的值．‎ ‎【答案】（I）（II），或．‎ ‎（Ⅱ）依题意，得，所以，‎ 整理得，所以，或． ‎ 因为 ，所以，由，得，；‎ 由，得，，所以，或．‎ ‎2．【2018江西赣州高三模拟】已知函数图像的两条相邻对称轴为．‎ ‎（I）求函数的对称轴方程；‎ ‎（II）若函数在上的零点为，求的值．‎ ‎【答案】（I） ；（II） ．‎ ‎【解析】试题分析 （I）化简可得，由题意可得周期，所以的值，易得函数的对称轴；（II）由（I）可得的一条对称轴，则，，结合条件求解即可．‎ 试题解析 （I），‎ 由题意可得周期，所以，所以，故函数的对称轴方程为，即．‎ ‎（II）由条件知，且，‎ 易知与关于对称，则，‎ 所以．‎ 三角函数与平面向量综合题 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．向量是具有大小和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问题时要注意数形结合思想的应用 ‎2．向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以实现与三角函数无缝对接．‎ ‎3．两向量平行与垂直关系、向量数量积、向量的模等知识点是与三角函数知识的交汇点 ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1必备技能 等价转化能力，主要是将向量形式的条件等价转化为三角函数的等量关系，再利用三角恒等变换实现解决问题目的，如 ‎2典型例题 ‎ 例1．【2018全国名校大联考高三第二次联考】已知向量，，其中，且．‎ ‎（I）求和的值；学- ‎ ‎（II）若，且，求角．‎ ‎【答案】（I），；（II）．‎ ‎【解析】试题分析 （I）由已知得，从而由即可得和，由二倍角公式即可得解；（II）由利用两角差的正弦展开即可得解．‎ 试题解析 （I）∵，∴，即．‎ 代入，得，且，则，．‎ 则 ， ．‎ ‎（II）∵，，∴．又，∴‎ ‎．‎ ‎∴ ．‎ 因，得．‎ 例2．【2018江西宜春昌黎实验学校高三第二次段考】在△中，角所对的边分别为，且，．‎ ‎(Ⅰ) 求角的大小；‎ ‎(Ⅱ) 若，求证 △为等边三角形．‎ ‎【答案】（I） ；（II）见解析．‎ ‎【解析】试题分析 利用向量的坐标和向量的数量积的运算求得关于的一元二次方程求得的值，则可求得．‎ 根据已知条件，利用余弦定理可求得的值，和的关系，代入原式可求得，进而判断出，即三角形为等边三角形．‎ 解析 (Ⅰ) 由，，得 ‎．‎ 因为，所以，解得或．因为，所以． ‎ ‎【名师点睛】利用向量的数量积转化为关于的一元二次方程，继而求出角 的大小，在遇到边长的数量关系时可以运用正弦定理或者余弦定理求得边长，证得三角形形状．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018河北保定高三下一模】已知 .‎ ‎（I）求的解析式；‎ ‎（II）在中，分别是内角的对边，若的面积为，求的值.‎ ‎【答案】（I） ；（II） .‎ ‎【解析】试题分析 （I）根据平面向量的数量积公式和三角恒等变换化简即可；（II）根据计算，根据面积计算，再利用余弦定理求出.‎ 试题解析 （I），‎ ‎（II）， ．‎ ‎，，，，‎ ‎，，，．‎ ‎2．【2018湖南（长郡中学、株洲市第二中学）、江西（九江一中）等十四校高三第一次联考】设函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的递增区间；‎ ‎（Ⅱ）在中，，，分别为内角，，的对边，若，，且，求的面积．‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．‎ ‎【解析】试题分析 ‎ ‎(Ⅰ)函数的解析式可化为 ．结合正弦函数的性质可得的递增区间为．‎ ‎(Ⅱ)由，结合(Ⅰ)的结论可得，由，结合正弦定理得，所以，由余弦定理可得的面积．‎ 试题解析 (Ⅰ)函数的解析式可化为 ．‎ 由，得函数的递增区间为．‎ ‎(Ⅱ)因为，即，所以，因为是三角形的内角，所以，又因为，由正弦定理得，‎ 所以，所以， ‎ 因为，，由余弦定理得．‎ 所以，，故的面积为．‎ 三角函数与三角形综合题 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．正余弦定理，三角形面积公式 ‎2．根据已知条件，正确合理选用正余弦定理．一般已知两角用正弦定理，已知一角求边用余弦定理 ‎3．关注三角形中隐含条件，如 ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1必备技能 等价变形是应用三角函数解三角形时的注意点．大边对大角，在三角形中等价为大角对大正弦值．在解三角形时，由正弦值求角时一定要注意角的取值范围，否则易出现增根或失根．在三角形中求三角函数最值或取值范围更要挖掘三角形中隐含条件，密切注意角的范围对三角函数值的影响．‎ ‎2典型例题 ‎ 例1．【2018广东中山一中、仲元中学等七校模拟】在中，设角所对的边分别为，且．‎ ‎（I）求角的大小； ‎ ‎（Ⅱ）若的面积为1，求．‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．‎ ‎【解析】试题分析 （Ⅰ）由已知求出，利用两角和的余弦公式求得，再由诱导公式求得，从而得角；（Ⅱ）由三角形面积公式可分别求得，从而相乘可得．‎ ‎（II）法一 由得 ，同理得，所以，故=‎ 法二 由得 ，由得 ，即，∴，∴ ，即的值分别为 所以=‎ ‎【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是 第一步 ‎ 定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出 ，然后确定转化的方向．第二步 定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．第三步 求结果．‎ 例2．【2018山东枣庄三中高三一调模拟】设．‎ ‎（I）求的单调递增区间；‎ ‎（II）在中，分别为角的对边，已知，‎ 求面积的最大值．‎ ‎【答案】（I） 的单调递减增区间为 （II） ‎ ‎【解析】试题分析 （I）利用二倍角的正弦余弦公式以及辅助角公式将函数化为的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（II）根据，求解和的值，由余弦定理、利用基本不等式可得，从而根据三角形面积公式可求得面积的最大值．‎ ‎（II）由，得，由余弦定理，，得，即，当且仅当是等号成立，‎ 所以，即面积的最大值为．‎ ‎【方法点睛】本题考查正弦定理与余弦定理、与三角恒等变换，属中档题；解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解题过程中要注意边角关系的转化，根据题目需要合理选择合理的变形方向，利用三角恒等变换公式进行转化．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018内蒙古呼和浩特市高三年级质量普查调研】中，内角 所对的边分别为．已知．‎ ‎（I）求角；‎ ‎（II）若，，设为边上的点，，求边及长．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎【解析】试题分析 （I）根据条件得=，所以，可得．（II）由余弦定理得，解得，从而，在，可得=．‎ 试题解析 ‎ ‎（I）由已知得，所以=，所以，‎ 又，∴．‎ ‎（II）在，所以 整理得解得．‎ 在，‎ 又在，所以==．‎ ‎2．【2018江苏苏州高三模拟】某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民．为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）．已知该扇形的半径为200米，圆心角，点在 上，点在上，点在弧上，设．‎ ‎（I）若矩形是正方形，求的值；‎ ‎（II）为方便市民观赏绿地景观，从点处向修建两条观赏通道和（宽度不计），使，，其中依而建，为让市民有更多时间观赏，希望最长，试问 此时点应在何处？说明你的理由．‎ ‎【答案】（I）矩形是正方形时，（II）当是的中点时，最大 ‎【解析】试题分析 （I）因为四边形是扇形的内接正方形，所以，注意到，代入前者就可以求出．（II）由题设可由，，利用两角差的正弦和辅助角公式把化成的形式，从而求出的最大值．‎ ‎（II）因为所以， ，．所以，即时，最大，此时是的中点． ‎ 答 （I）矩形是正方形时，；（II）当是的中点时，最大． ‎ 三角形与向量综合题 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．三角形中的边长与内角和向量的模及夹角的对应关系 ‎2．向量加法、减法、投影、数量积、共线等几何意义在三角形中体现 ‎3．正余弦定理、面积公式中边长及角与涉及向量模及夹角关系 ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1必备技能 若分所成比为，则；若，则三点关线．夹角为钝角的充要条件是且不反向；同样夹角为锐角的充要条件是且不同向．‎ ‎2典型例题 ‎ 例1．【2018湖南五市十校教研教改共同体高三12月联考】已知向量，且函数．‎ ‎（I）若，求的值；‎ ‎（II）在中，且，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎【解析】试题分析 （I）先根据向量数量积为零得，再根据正切二倍角公式求的值；（II）先由，得，再由余弦定理得 ‎，最后根据基本不等式得，根据三角形面积公式可得面积的最大值．‎ 试题解析 （I）由题意知，，∴，∴．‎ ‎（II）由题意知，，∴，又，∴．在中，．∴，当且仅当时“”成立，故的面积的最大值为．‎ 例2．【2018河南漯河市高级中学高三上学期第四次模拟（12月）】在平面直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴的正半轴重合，终边交单位圆于点，且，点的坐标为．‎ ‎（I）若，求点的坐标；‎ ‎（II）若，且在中，角，，的对边分别为，，，，，求的最大值．‎ ‎【答案】（I） ．（II） ．‎ ‎【解析】试题分析 （I）由题意结合平面向量数量积的坐标运算法则结合三角函数的性质可得点的坐标是；（II）由题意结合正弦定理将边长问题转化为三角函数问题，结合辅助角公式可得的最大值是．‎ 试题解析 （I）由题意，，，‎ 因为，所以，即．‎ 又，所以，，，所以点的坐标为．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018河南豫南豫北高三第二次联考】在中，角所对的边分别为，且．‎ ‎（I）若，求；‎ ‎（II）若，求最小值．‎ ‎【答案】（I） ；（II） 的最小值为．‎ ‎【解析】试题分析 （I）由题意得，可得，可判断A为锐角，故，根据求解即可．（II）由余弦定理及基本不等式得，可得，所以，故最小值为-5．‎ 试题解析 （I）在中，由得，，，故为锐角，，∴．‎ ‎（II）由余弦定理得，，当且仅当时等号成立．，∴，故的最小值为．‎ ‎2．【2018甘肃肃南县一中高三模拟】已知向量，，设函数．‎ ‎（I）求函数的最小正周期；‎ ‎（II）已知分别为三角形的内角对应的三边长，为锐角，，，且恰是函数在上的最大值，求和三角形的面积．‎ ‎【答案】（I）；（II），或，或．‎ ‎【解析】试题分析 本题主要考查平面向量的数量积、二倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数、余弦定理、三角形面积等基础知识，意在考查考生的运算求解能力、转化化归想象能力和数形结合能力．第一问，先利用向量的数量积得到的解析式，利用降幂公式、倍角公式、两角和的正弦公式化简表达式，使之化简成的形式，利用求函数的周期；第二问，先将代入得到的范围，数形结合得到的最大值，并求出此时的角A，在三角形中利用余弦定理得到边b的值，最后利用求三角形面积．‎ 试题解析 （I） [ 学 ]‎ ‎，因为，所以最小正周期．6分 ‎（II）由（I）知，当时，．由正弦函数图象可知，当时，取得最大值，又为锐角，所以 ‎．8分 由余弦定理得，所以或，经检验均符合题意． 10分 从而当时，△的面积； 11分 当时，．12分 解答题（共10题）‎ ‎1．【2018浙江温州高三9月高考适应性测试（一模）】已知函数．‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）求的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎【答案】（I） ；（II），（）．‎ ‎【解析】试题分析 （I）将代入，由两角和的余弦公式结合特殊角的三角函数可得结果；（II）将展开与相乘后利用余弦的二倍角公式以及辅助角公式可得，根据周期公式可得的最小正周期，根据利用正弦函数 的单调性，解不等式即可得到单调递增区间． ‎ 试题解析 （I） ．‎ ‎（II） ‎ ‎ ．‎ 所以，的最小正周期为，当（）时，单调递增，‎ 即的单调递增区间为（）．‎ ‎2．【2018安徽淮南高三一模】在中，角的对边分别是，已知，，．‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）若角为锐角，求的值及的面积．‎ ‎【答案】（I） ；（II） ，．‎ ‎【解析】试题分析（I）根据题意和正弦定理求出a的值； （II）由二倍角的余弦公式变形求出，由的范围和平方关系求出，由余弦定理列出方程求出的值，代入三角形的面积公式求出的面积．‎ 试题解析 （I）因为，，由正弦定理，得．‎ ‎（II）因为，且，所以，．‎ 由余弦定理，得，解得或 (舍)，‎ 所以．‎ ‎3．【2018江苏兴化市楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校高三12月联考】已知向量，若 ‎（I）求的值；‎ ‎（II）若，求角的值．‎ ‎【答案】（I）;（II）．‎ 试题解析 （I）∵，∴，‎ ‎∴，（显然，否则与矛盾．），‎ ‎∴．∵，∴．‎ ‎（II）∵且，∴，‎ 又∵，∴．‎ ‎∴ ．‎ ‎4．【2018安徽黄山高三一模】已知函数．‎ ‎（I）求的单调递增区间；‎ ‎（II）设的内角的对边分别为，且，若，求 的值．‎ ‎【答案】（I） ；（II） ．‎ ‎【解析】试题分析 ‎ ‎（I）整理函数的解析式有．结合正弦函数的性质可得函数的单调递增区间为．‎ ‎（II）由，可得，则．结合正弦定理、余弦定理得到关于a，b的方程组，求解方程组可得．‎ 试题解析 （I） ‎ ‎．‎ 由，得 ‎∴函数的单调递增区间为．‎ ‎（II）由，得，，．‎ 又，由正弦定理得①;‎ 由余弦定理得，即，②‎ 由①②解得． ‎ ‎5．【2018黑龙江哈尔滨市三中高三一模】已知函数．‎ ‎（I）当时，求的值域；‎ ‎（II）已知的内角的对边分别为，，，求的面积．‎ ‎【答案】（I） （II） ‎ ‎【解析】试题分析 （I）利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合，即可求得的值域；（II）由求得的值，利用余弦定理求得的值，可得的面积．‎ 试题解析 （I）由题意知，由．‎ ‎∵，∴，∴，∴．‎ ‎（II）∵，∴，∵，∴，‎ ‎∵，∴由余弦定理可得，∴，‎ ‎∴．‎ ‎6．【2018辽宁省大连市高三模拟】已知的内角，，的对边分别为，，，且满足 ‎．‎ ‎（Ⅰ）求角；‎ ‎（Ⅱ）向量，，若函数的图象关于直线对称，求角、．‎ ‎【答案】（I）;（II）．‎ ‎【解析】试题分析 ‎ ‎(I)根据同角的基本关系可知，再由正弦定理和余弦定理即可求出，再根据，即可求出角的值；(II)解法一 根据数量积公式和恒等变换可知，其中，所以的图象关于直线对称，可得，在根据，即，在由(I)得，可得，由此即可求出结果．‎ ‎ (II)解法一 ，其中，‎ ‎∵的图象关于直线对称，∴，∴，‎ ‎∴，即，由(I)得，∴，解得，‎ ‎∴．‎ 解法二 ，∵的图象关于直线对称，∴，‎ 即，由(I)得，∴，解得，∴． ‎ ‎7．【2018内蒙古呼和浩特市高三年级质量普查调研】已知函数．‎ ‎（I）求函数的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（II）将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，求使得的的取值范围．‎ ‎【答案】（I）最小正周期T=π，函数在 上单调递增；（II）．‎ ‎【解析】试题分析 （I）利用和与差以及二倍角公式，辅助角公式化简即可求函数 的最小正周期和单调减区间；（II）根据三角函数平移变换的规律求解 的解析式，利用预先函数的性质可求使得的的取值范围．‎ 试题解析 （I）∵=-10sinxcosx + 10cos2 ==10sin+5．‎ ‎∴所求函数的最小正周期T=π，令，解得，所以函数在 上单调递增．‎ ‎（II）将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，所以当，所以，‎ 所以 ．‎ ‎8．【2018河北廊坊八中高三模拟】在中，内角所对的边分別为，且．‎ ‎（I）求角；‎ ‎（II）若，求 的面积．‎ ‎【答案】（I） （II） ‎ ‎【解析】试题分析 （I）因为，所以，根据正弦定理，它可以化简为，故．（II）因为，所以利用正弦定理把可以转化为，再利用余弦定理有，解关于的方程组即可得到，从而求出面积．另一方面，我们也可以把化成，从而求得，也就得到和，再利用正弦定理求出，最后求出面积．‎ 解析 （I）因为，所以有，由正弦定理可得，因，故，所以得到，∵ 所以．‎ ‎（II）法1 根据正弦定理，于是可得．∵，∴，又因为，由余弦定理得，两式联立得，解得或（负值舍去）．∴‎ ‎．‎ 法2 因为，所以，代入得，所以．因为，所以．根据正弦定理，于是可得，∴ ‎ ‎9．【2018江苏如皋高三第一学期教学质量调研（三）】在某城市街道上一侧路边边缘某处安装路灯，路宽为米，灯杆长4米，且与灯柱成角，路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩，灯罩轴线与灯的边缘光线(如图，)都成角，当灯罩轴线与灯杆垂直时，灯罩轴线正好通过的中点．‎ ‎（I）求灯柱的高为多少米;学- ‎ ‎（II）设，且，求灯所照射路面宽度的最小值．‎ ‎【答案】（I）（II）‎ ‎【解析】试题分析 （I）连接，设，则，在直角与直角中，根据直角三角形的性质可得，解得，从而可得；（II）以为坐标原点，，分别为轴，建立直角坐标系，可求出，，所以，切化弦后利用两角和与差的正弦公式以及辅助角公式可得，结合，可得到取最小值．‎ 试题解析 （I）连接，设，则，‎ 在直角中，，‎ 在直角中，， ‎ 则有，解得， ‎ 在直角中，．‎ 直线的方程为，则；‎ 所以 ‎ ‎== ‎ 又，所以当且仅当时，取最小值．‎ 综合①②知，当时，取最小值．‎