高二数学人教A版选修4-5教案：2-2综合法和分析法x

高二数学人教A版选修4-5教案：2-2综合法和分析法x

‎2.2综合法和分析法 一、教学目标 ‎1．了解综合法与分析法证明不等式的思考过程与特点．‎ ‎2．会用综合法、分析法证明简单的不等式．‎ 二、课时安排 ‎1课时 三、教学重点 了解综合法与分析法证明不等式的思考过程与特点．‎ 四、教学难点 会用综合法、分析法证明简单的不等式．‎ 五、教学过程 ‎（一）导入新课 已知a＞0，b＞0,2c＞a＋b，求证：c－＜a.‎ ‎【证明】　要证c－＜a，‎ 只需证明c＜a＋，‎ 即证b－a＜2，‎ 当b－a＜0时，显然成立；‎ 当b－a≥0时，只需证明b2＋a2－2ab＜4c2－4ab，‎ 即证(a＋b)2＜4c2，‎ 由2c＞a＋b知上式成立．‎ 所以原不等式成立．‎ ‎（二）讲授新课 教材整理1　综合法 一般地，从 出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做 ，又叫或 ．‎ 教材整理2　分析法 证明命题时，我们还常常从要证的 出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为 或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做 ，这是一种执果索因的思考和证明方法．‎ ‎（三）重难点精讲 题型一、用综合法证明不等式 例1已知a，b，c是正数，求证：‎ ≥abc.‎ ‎【精彩点拨】　由a，b，c是正数，联想去分母，转化证明b2c2＋c2a2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)，利用x2＋y2≥2xy可证．或将原不等式变形为＋＋≥a＋b＋c后，再进行证明．‎ ‎【自主解答】　法一　∵a，b，c是正数，‎ ‎∴b2c2＋c2a2≥2abc2，b2c2＋a2b2≥2ab2c，c2a2＋a2b2≥2a2bc，‎ ‎∴2(b2c2＋c2a2＋a2b2)≥2(abc2＋ab2c＋a2bc)，‎ 即b2c2＋c2a2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)．‎ 又a＋b＋c＞0，‎ ‎∴≥abc.‎ 法二　∵a，b，c是正数，‎ ‎∴＋≥2＝2c.‎ 同理＋≥2a，＋≥2b，‎ ‎∴2≥2(a＋b＋c)．‎ 又a＞0, b＞0，c＞0，‎ ‎∴b2c2＋a2c2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)．‎ 故≥abc.‎ 规律总结：‎ ‎1．综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式(切入点)，这是证明的关键．‎ ‎2．综合法证明不等式的主要依据：(1)不等式的基本性质；(2)基本不等式及其变形；(3)三个正数的算术几何平均不等式等．‎ ‎[再练一题]‎ ‎1．已知a＞0，b＞0，c＞0，且abc＝2.‎ 求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞8.‎ ‎【证明】　∵a＞0，b＞0，c＞0，‎ ‎∴1＋a≥2，当且仅当a＝1时，取等号，‎ ‎1＋b≥2，当且仅当b＝1时，取等号，‎ ‎1＋c≥2，当且仅当c＝1时，取等号．‎ ‎∵abc＝2，‎ ‎∴a，b，c不能同时取1，∴“＝”不同时成立．‎ ‎∴(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞8＝8.‎ 即(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞8.‎ 题型二、综合法与分析法的综合应用 例2设实数x，y满足y＋x2＝0，且0＜a＜1，求证：loga(ax＋by)＜＋loga2.‎ ‎【精彩点拨】　要证的不等式为对数不等式，结合对数的性质，先用分析法探路，转化为要证明一个简单的结论，然后再利用综合法证明．‎ ‎【自主解答】　由于0＜a＜1，则t＝logax(x＞0)为减函数．‎ 欲证loga(ax＋ay)＜＋loga2，只需证ax＋ay＞2a.‎ ‎∵y＋x2＝0,0＜a＜1，‎ ‎∴x＋y＝x－x2＝－＋≤.‎ 当且仅当x＝时，(x＋y)max＝，‎ ‎∴ax＋y≥a，≥a.①‎ 又ax＋ay≥2(当且仅当x＝y取等号), ②‎ ‎∴ax＋ay≥2a.③‎ 由于①，②等号不能同时成立，‎ ‎∴③式等号不成立，即ax＋ay＞2a成立．‎ 故原不等式loga(ax＋ay)＜＋loga2成立．‎ 规律总结：‎ ‎1．通过等式或不等式运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明．体现了分析法与综合法之间互为前提、互相渗透、相互转化的辩证关系．‎ ‎2．函数与不等式综合交汇，应注意函数性质在解题中的运用．‎ ‎[再练一题]‎ ‎2．已知a，b，c都是正数，求证：2≤3－.‎ ‎【证明】　法一　要证2≤3－，只需证a＋b－2≤a＋b＋c－3，‎ 即－2≤c－3，‎ 移项，得c＋2≥3.‎ 由a，b，c都为正数，得c＋2＝c＋＋≥3，∴原不等式成立．‎ 法二　∵a，b，c都是正数，‎ ‎∴c＋＋≥3＝3，‎ 即c＋2≥3，‎ 故－2≤c－3，‎ ‎∴a＋b－2≤a＋b＋c－3，‎ ‎∴2≤3.‎ 题型三、分析法证明不等式 例3已知a＞b＞0，求证：＜－＜.‎ ‎【精彩点拨】　本题要证明的不等式显得较为复杂，不易观察出怎样由a＞b＞0得到要证明的不等式，因而可以用分析法先变形要证明的不等式，从中找到证题的线索．‎ ‎【自主解答】　要证原不等式成立，‎ 只需证＜a＋b－2＜，‎ 即证＜(－)2＜.‎ 只需证＜－＜，‎ 即＜1＜，‎ 即＜1＜.‎ 只需证＜1＜.‎ ‎∵a＞b＞0，∴＜1＜成立．‎ ‎∴原不等式成立．‎ 规律总结：‎ ‎1．解答本题的关键是在不等式两边非负的条件下，利用不等式的开方性质寻找结论成立的充分条件，采用分析法是常用方法．证明过程一要注意格式规范，二要注意逻辑关系严密、准确．‎ ‎2．当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径．常常利用移项、去分母、平方、开方等方法进行分析探路．‎ ‎[再练一题]‎ ‎3．已知a＞0，求证： －≥a＋－2.‎ ‎【证明】　因为a＞0，要证原不等式成立，只需证 ＋2≥a＋＋，‎ 即证a2＋＋4＋4‎ ‎≥＋2＋2，‎ 只需证·≥a＋，‎ 即证2≥a2＋＋2，‎ 只需证a2＋≥2.‎ 由基本不等式知a2＋≥2显然成立，‎ 所以原不等式成立．‎ ‎（四）归纳小结 综合法与分析法— ‎（五）随堂检测 ‎1．已知a＜0，－1＜b＜0，则(　　)‎ A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a C．ab＞a＞ab2 D.ab＞ab2＞a ‎【解析】　∵－1＜b＜0，‎ ‎∴1＞b2＞0＞b.‎ 又a＜0，∴ab＞ab2＞a.‎ ‎【答案】　D ‎2．下列三个不等式：①a＜0＜b；②b＜a＜0；③b＜0＜a.其中能使＜成立的充分条件有(　　)‎ A．①② B．①③‎ C．②③ D.①②③‎ ‎【解析】　①a＜0＜b⇒＜；②b＜a＜0⇒＜；③b＜0＜a⇒＞.故选A.‎ ‎【答案】　A ‎3．已知a，b∈(0，＋∞)，Ρ＝，Q＝，则P，Q的大小关系是________.‎ ‎【解析】　∵a＋b≥，‎ ‎∴≥.‎ ‎【答案】　P≤Q 六、板书设计 ‎2.2综合法和分析法 教材整理1　综合法 教材整理2　分析法 例1：‎ 例2：‎ 例3：‎ 学生板演练习 七、作业布置 同步练习：2.2综合法和分析法 八、教学反思