2020二轮复习(理)　圆锥曲线中的综合问题作业

2020二轮复习(理)　圆锥曲线中的综合问题作业

专题限时集训(十一)　圆锥曲线中的综合问题 ‎(建议用时：20分钟)‎ ‎1．[易错题]已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴长为2.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM·kON＝，求原点O到直线l的距离的取值范围．‎ ‎[解](1)由题意知e＝＝，2b＝2，又a2＝b2＋c2，所以b＝1，a＝2，‎ 所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 由得(4k2＋1)x2＋8kmx＋‎4m2‎－4＝0.‎ 则Δ＝(‎8km)2－4(4k2＋1)(‎4m2‎－4)＞0，化简得m2＜4k2＋1.　①‎ x1＋x2＝－，x1x2＝，y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，‎ 若kOM·kON＝，则＝，即4y1y2＝5x1x2，所以4k2x1x2＋‎4km(x1＋x2)＋‎4m2‎＝5x1x2，则(4k2－5)x1x2＋‎4km(x1＋x2)＋‎4m2‎＝0，‎ 所以(4k2－5)·＋‎4km·＋‎4m2‎＝0，化简得m2＋k2＝.　②‎ 由①②得0≤m2＜，＜k2≤.‎ 因为原点O到直线l的距离d＝，所以d2＝＝＝－1＋，‎ 又＜k2≤，所以0≤d2＜，解得0≤d＜.‎ 所以原点O到直线l的距离的取值范围为.‎ ‎2．(2019·北京高考)已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)．‎ ‎(1)求抛物线C的方程及其准线方程；‎ ‎(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．‎ ‎[解](1)由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)，得p＝2.‎ 所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.‎ ‎(2)抛物线C的焦点为F(0，－1)．‎ 设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)．‎ 由得x2＋4kx－4＝0.‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4.‎ 直线OM的方程为y＝x.‎ 令y＝－1，得点A的横坐标xA＝－.‎ 同理得点B的横坐标xB＝－.‎ 设点D(0，n)，‎ 则＝，＝，‎ ·＝＋(n＋1)2‎ ‎＝＋(n＋1)2‎ ‎＝＋(n＋1)2‎ ‎＝－4＋(n＋1)2.‎ 令·＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，则n＝1或n＝－3.‎ 综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0，－3)．‎ 题号 内容 押题依据 ‎1‎ 椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系证明问题 直线与椭圆的位置关系及椭圆方程的求解是高考常规性问题，注重双基，体现运算能力，证明问题、考查学生的逻辑推理的素养，符合高考最近动态 ‎2‎ 待定系数法求曲线的方程，设而不求的思想，探索性问题 探索性问题是一种动态问题，可以较好的考查学生的动手、动脑能力，而“设而不求”思想是解答圆锥曲线常用的方法，符合高考最新动态 ‎【押题1】　已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为F，且该椭圆过点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)当动直线l与椭圆C相切于点A，且与直线x＝相交于点B时，求证：△FAB为直角三角形．‎ ‎[解](1)由题意得＝，＋＝1，又a2＝b2＋c2，所以b2＝1，a2＝4，即椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由题意可得直线l的斜率存在，‎ 设l：y＝kx＋m，联立 得(4k2＋1)x2＋8kmx＋‎4m2‎－4＝0，‎ 判别式Δ＝64k‎2m2‎－16(4k2＋1)(m2－1)＝0，‎ 得m2＝4k2＋1＞0.‎ 设A(x1，y1)，则x1＝＝＝－，y1＝kx1＋m＝＋m＝，即A ‎.‎ 易得B，F(，0)，‎ 则＝，＝，‎ ·＝＋＝－－1＋＋1＝0，‎ 所以⊥，即△FAB为直角三角形，得证．‎ ‎【押题2】　如图，由部分抛物线y2＝mx＋1(m＞0，x≥0)和半圆x2＋y2＝r2(x≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C”，若“黄金抛物线C”经过点(3,2)和.‎ ‎(1)求“黄金抛物线C”的方程；‎ ‎(2)设P(0,1)和Q(0，－1)，过点P作直线l与“黄金抛物线C”交于A，P，B三点，问是否存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解](1)因为“黄金抛物线C”过点(3,2)和，‎ 所以r2＝＋＝1,4＝‎3m＋1，解得m＝1.‎ 所以“黄金抛物线C”的方程为y2＝x＋1(x≥0)和x2＋y2＝1(x≤0)．‎ ‎(2)假设存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB.‎ 显然直线l的斜率存在且不为0，‎ 结合题意可设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，不妨令xA＜0＜xB.‎ 由消去y并整理，得k2x2＋(2k－1)x＝0，‎ 所以xB＝，yB＝，即B，由xB＞0知k＜，所以直线BQ的斜率为kBQ＝.‎ 由消去y并整理，得(k2＋1)x2＋2kx＝0，‎ 所以xA＝－，yA＝，即A，由xA＜0知k＞0，所以直线AQ的斜率为kAQ＝－.‎ 因为QP平分∠AQB，且直线QP的斜率不存在，所以kAQ＋kBQ＝0，‎ 即－＋＝0，由0＜k＜，可得k＝－1.‎ 所以存在直线l：y＝(－1)x＋1，使得QP平分∠AQB.‎