数学理卷·2019届湖南省邵东县创新实验学校高二上学期创高杯考试（2017-12）

数学理卷·2019届湖南省邵东县创新实验学校高二上学期创高杯考试（2017-12）

‎2017年下期创新高二创高杯考试（理数）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．“ab＜‎0”‎是“方程ax2＋by2＝1表示双曲线”的(　　)．‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．‎2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示的是一枚‎8克圆形金质纪念币，直径22毫米，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷100粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值是(　　)．‎ A．　 B． C．2 D．4‎ ‎4．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为(　　)．‎ A．6 B．‎8 ‎C．10 D．12‎ ‎5．已知命题则有关命题的真假及的论述正确的是 假命题,‎ 真命题,‎ 假命题,‎ 真命题,‎ ‎6．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是(　　)．‎ A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是红球 C．至少有一个黑球与至少有1个红球 D．恰有1个黑球与恰有2个黑球 ‎7．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．若如图所示的程序框图输出的S的值为126，则条件①为(　　)．‎ A．n≤5?‎ B．n≤6?‎ C．n≤7?‎ D．n≤8?‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（）‎ A． B． C. D．‎ ‎10．设F‎1F2是椭圆E：的左、右焦点，P为直线上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　)．‎ A． B． C． D．‎ ‎11．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长 1 日，长为 3 尺；莞生长 1 日，长为 1 尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加 1 倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为（ ）（结果保留一位小数．参考数据：，）（ ）‎ A. 1.3‎‎ 日 B. 1.5 日 C. 2.6 日 D. 2.8 日 ‎12．设F为双曲线的左焦点，在x轴上F点的右侧有一点A，以FA为直径的圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M、N，则的值为(　　)．‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)‎ ‎13．在集合内任取一个元素，能使代数式的概率为__________．‎ ‎14．已知，且，则向量与向量的夹角是．‎ ‎15．已知曲线在处的切线经过点，则．‎ ‎16．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以线段F1，F2为直径的圆O与双曲线的一个交点为P，与y轴交于B，D两点，且与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，则下列命题正确的是　　．（写出所有正确的命题编号）‎ ‎①线段BD是双曲线的虚轴；‎ ‎②△PF‎1F2的面积为b2；‎ ‎③若∠MAN=120°，则双曲线C的离心率为；‎ ‎④△PF‎1F2的内切圆的圆心到y轴的距离为a．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．（本题满分10分）已知数列的前项和为，且对任意正整数，都有成立．‎ ‎（Ⅰ）记，求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和．‎ 18． ‎（本题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边依次为a，b，c，满足 acosB＋bcos A＝2ccos C.‎ ‎(Ⅰ)求角C的大小；‎ ‎(Ⅱ)若△ABC的周长为3，求△ABC面积S的最大值．‎ ‎19．（12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．‎ ‎（1）从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；‎ ‎（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．‎ ‎20．（本题满分12分）如图，三棱柱侧棱垂直于底面，，，为的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值．‎ ‎21.（本题满分12分）已知函数f(x)=‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间.‎ ‎(2)若函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,求a的取值范围.‎ ‎22．（本题满分12分）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率是，且直线：被椭圆截得的弦长为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与圆：相切：‎ ‎（i）求圆的标准方程；‎ ‎（ii）若直线过定点，与椭圆交于不同的两点、，与圆交于不同的两点、‎ ‎，求的取值范围．‎ 理科数学试卷答案 一、选择题 CDAB DDBBABCC 二、填空题 ‎13． 14． 15．—2 16．②③④‎ 三、解答题 ‎17．解：(1)(2)‎ ‎18．解：(Ⅰ)因为acosB＋bcosA＝2ccosC⇔sinAcosB＋sin BcosA＝2sin CcosC，‎ 即sin(A＋B)＝2sin CcosC，而sin(A＋B)＝sin C>0，则cos C＝，‎ 又C∈(0，π)，所以C＝.(5分)‎ ‎(Ⅱ)由余弦定理得a2＋b2－ab＝(3－a－b)2，化简得3＋ab＝2(a＋b)，(8分)‎ 而a＋b≥2，故3＋ab≥4，解得≥3或≤1.(10分)‎ 若≥3，则a，b至少有一个不小于3，这与△ABC的周长为3矛盾；‎ 若≤1，则当a＝b＝1时，ab取最大值1‎ 综上，知△ABC的最大面积值为Smax＝(12分)‎ ‎19．解：（1）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共六个．‎ 从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2，1和3两个．‎ 因此所求事件的概率为．‎ ‎（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，在从袋中随机取一个球，记下编号为n，其中一切可能的结果(m，n)有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个．‎ 所有满足条件n≥m＋2的事件为(1，3)(1，4)(2，4)，共3个，‎ 所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝．‎ 故满足条件n＜m＋2的事件的概率为1－P1＝1－＝．‎ ‎20．方法一：（1）证明：以为坐标原点，以方向为轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则，‎ 设，则，，‎ 设平面的法向量为，则，‎ ‎，取，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 平面，平面，平面．‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 平面的法向量为，‎ 类似可取平面的法向量为，‎ ‎，‎ 故二面角的平面角的余弦值为．‎ 方法二：（1）证明：连，交于点，连，‎ 分别为的中点，，‎ 平面，平面，平面．‎ ‎（2），‎ 底面底面，，‎ ‎，，‎ 平面，‎ 即二面角的平面角，‎ 平面，，，‎ 又，平面，平面，‎ 平面，‎ 设，则，，‎ 又，，‎ 故二面角的平面角的余弦值为．‎ ‎21.‎ ‎22．解：（Ⅰ）由已知得直线过定点，，，‎ 又，，解得，，‎ 故所求椭圆的标准方程为．…………………………………..3分 ‎（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）得直线的方程为，即，‎ 又圆的标准方程为，‎ ‎∴圆心为，圆的半径，‎ ‎∴圆的标准方程为．…………………………………..7分 ‎（ii）由题可得直线的斜率存在，‎ 设：，与椭圆的两个交点为、，‎ 由消去得，‎ 由，得，‎ ‎，，‎ ‎∴．‎ 又圆的圆心到直线：的距离，‎ ‎∴圆截直线所得弦长，‎ ‎∴，‎ 设，，‎ 则，‎ ‎∵的对称轴为，在上单调递增，，‎ ‎∴，‎ ‎∴．…………………………………..12分