河北省承德市隆化县存瑞中学2020届高三上学期质检数学（文）试题

河北省承德市隆化县存瑞中学2020届高三上学期质检数学（文）试题

‎2019-2020学年第一学期存瑞中学第二次质检 高三数学（文）‎ 一．选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ ‎1.复数 (i为虚数单位)的共轭复数是 A. 1+i B. 1−i C. −1+i D. −1−i ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．‎ 详解：化简可得z= ‎ ‎∴z的共轭复数为1﹣i.‎ 故选B．‎ 点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．‎ ‎2.若集合，，则=(　 　).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据并集的定义求解即可.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以，根据并集的定义：是属于或属于的元素所组成的集合，‎ 可得，故选C.‎ ‎【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.‎ ‎3.已知，，，若，则（ ）‎ A. -5 B. ‎5 ‎C. 1 D. -1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过平行可得m得值，再通过数量积运算可得结果.‎ ‎【详解】由于，故，解得，于是，，‎ 所以.故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查共线与数量积的坐标运算，考查计算能力.‎ ‎4.已知等差数列{an},若a2=10,a5=1,则{an}的前7项和为 A. 112 B. ‎51 ‎C. 28 D. 18‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的通项公式和已知条件列出关于数列的首项和公差的方程组，解出数列的首项和公差，再根据等差数列的前项和可得解.‎ ‎【详解】由等差数列的通项公式结合题意有: ，解得：，‎ 则数列的前7项和为: ，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项公式，属于基础题.‎ ‎5.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos‎2A+cos ‎2A=0,a=7,c=6,则b等于(　　)‎ A. 10 B. ‎9 ‎C. 8 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意知,23cos‎2A+2cos‎2A-1=0,‎ 即cos‎2A=,‎ 又因△ABC为锐角三角形,‎ 所以cosA=.‎ ‎△ABC中由余弦定理知72=b2+62-2b×6×,‎ 即b2-b-13=0,‎ 即b=5或b=-(舍去),故选D.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎6.已知，是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题设， 则A. 若，则，错误；B. 若，，则 错误；D. 若，，当 时不能得到，错误.‎ 故选C.‎ ‎7.函数y=sin2x的图象可能是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.‎ 详解：令， ‎ 因为，所以为奇函数，排除选项A,B;‎ 因为时，，所以排除选项C，选D.‎ 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．‎ ‎8.已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）‎ A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 化简圆到直线的距离 ，‎ 又 两圆相交. 选B ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎9.在棱长为1的正方体ABCD-A1B‎1C1D1中，点E，F分别是侧面AA1D1D与底面ABCD的中心，则下列说法错误的个数为 ‎①DF∥平面D1EB1； ②异面直线DF与B‎1C所成的角为；‎ ‎③ED1与平面B1DC垂直; ④‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可判断①；由，可得异面直线与所成的角即是直线与所成的角（或其补角），可判断②；由且可判断③；由，可判断④，得解.‎ ‎【详解】对于①，平面平面平面，所以①正确；‎ 对于②，因为，所以异面直线与所成的角即是直线与所成的角（或其补角），因为为正三角形，所以，所以②正确；‎ 对于③，且平面，即平面，所以③正确；‎ 对于④，，所以④正确，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的判定、异面直线所成的角、线面垂直的判定和等体积法求三棱锥的体积，属于基础题.‎ ‎10.已知点是抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，是圆：上一动点，则的最小值为（ ）‎ A. 3 B. ‎4 ‎C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线定义和三角形三边关系可知当三点共线时，的值最小，根据圆的性质可知最小值为；根据抛物线方程和圆的方程可求得，从而得到所求的最值.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，利用抛物线的定义知：‎ 当三点共线时，的值最小，且最小值为 抛物线的准线方程：，‎ ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质的应用，关键是能够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解.‎ ‎11.若则的最小值为 A. 4 B. ‎5 ‎C. 7 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得代入中化简得，而，再利用基本不等式可得最小值，得解.‎ ‎【详解】由已知，，，，得，‎ 所以,‎ 那么，当且仅当时取得等号，‎ 所以，即的最小值为7，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式,关键于先化简已知表达式，巧用“‎1”‎构造基本不等式，属于基础题．‎ ‎12.已知双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线右支上一点，且．若直线与圆相切，则双曲线的离心率为（　　）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 取线段PF1的中点为A，连接AF2，又|PF2|＝|F‎1F2|，则AF2⊥PF1，∵直线PF1与圆x2＋y2＝a2相切，且,由中位线的性质可知|AF2|＝‎2a，∵|PA|＝|PF1|＝a＋c，∴‎4c2＝(a＋c)2＋‎4a2，‎ 化简得，即，‎ 则双曲线的离心率为.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ 二．填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13.设，满足约束条件，则的最大值是______.‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式组做出可行域，而表示直线在y轴上的截距，当直线过点A时，z取得最大值，由解得点A代入可得解.‎ ‎【详解】画出不等式组表示的可行域，如下图中的阴影部分所示，由得点，‎ 表示直线在y轴上的截距，当直线过点时，z取得最大值.‎ 故填：7.‎ ‎【点睛】本题考查简单的线性规划问题，做出可行域、理解目标函数的几何意义、结合数形结合找到目标函数取得最值的最优解是解决此类问题的常用步骤，属于基础题.‎ ‎14.点A(4,5)关于直线l的对称点为B(－2,7)，则l的方程为_______‎ ‎【答案】3x－y＋3＝0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出A、B的中点，再求AB的斜率，求出中垂线的斜率，然后用点斜式求出直线方程．‎ ‎【详解】对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线，‎ A、B的中点坐标(1,6)，AB的斜率为：‎ 中垂线的斜率为：3‎ 则l的方程为：y−6=3(x−1)即：3x−y+3=0‎ 故答案为：3x−y+3=0‎ ‎【点睛】本题主要考查直线垂直斜率之间的关系，考查了直线的点斜式方程的应用，属于基础题.‎ ‎15.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据和项与通项关系得结果.‎ ‎【详解】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，‎ 当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1，因此an＝.‎ ‎【点睛】本题考查和项与通项公式关系，考查基本分析求解能力.‎ ‎16.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的内切球的半径为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何体的三视图还原其直观图，由三视图以及边长可得出三棱锥的结构特征，底面是正三角形边长为,一个侧面垂直底面，再由棱锥的体积公式采用等体法即可求解.‎ ‎【详解】几何体是三棱锥,如图：‎ 底面是正三角形边长为,一个侧面垂直底面, ‎ 高为,,,,,‎ 几何体的表面积为：,‎ 几何体的体积为：,内切球的半径为r,‎ 所以,解得．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查几何体的三视图以及棱锥的体积公式，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，此题也考查了学生的计算能力，综合性比较强.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ ‎17.在直角坐标系中，圆C的参数方程（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求圆C的极坐标方程；‎ ‎（2）直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、‎ P，与直线l的交点为Q，求线段的长. ‎ ‎【答案】（1）；（2）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先利用对圆C的参数方程（φ为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C的极坐标方程．（2）设，联立直线与圆的极坐标方程，解得；设，联立直线与直线的极坐标方程，解得，可得．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）圆C的普通方程为，又，‎ 所以圆C的极坐标方程为.‎ ‎（2）设，则由解得，，得；‎ 设，则由解得，，得；‎ 所以 ‎【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎18.设数列的前项和，满足，且成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）数列前项和，求.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由条件满足，求得数列为等比数列，且公比，再根据成等差数列，求得首项的值，进而可得数列的通项公式；（2）根据，利用等比数列的前项和公式求得数列的前项和为.‎ ‎【详解】（1）由已知，由，‎ 即，‎ 从而，‎ 又因为成等差数列，所以，‎ 所以，解得.‎ 所以数列是首项为，公比为的等比数列 所以 .‎ ‎（2）由（1）得，所以.‎ ‎19.已知函数的部分图象如图所示.‎ ‎（1） 求函数的解析式；‎ ‎（2） 如何由函数的通过适当图象的变换得到函数的图象， 写出变换过程;‎ ‎（3） 若，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接由函数图象求得和周期，再由周期公式求得ω，由五点作图的第三点求；‎ ‎（2）由先平移后改变周期和先改变周期后平移两种方法给出答案；‎ ‎（3）由求出，然后把转化为余弦利用倍角公式得答案．‎ ‎【详解】解：（1）. ‎ ‎ （2）法1：先将的图象向左平移个单位，再将所得图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的倍，所得图象即为的图象.‎ ‎ 法2：先将的图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的倍，再将所得图象向左平移个单位，，所得图象即为的图象. ‎ ‎（3）由,‎ 得： ， ‎ 而.‎ ‎20.如图，四棱锥中，底面是边长为 4的菱形，，，为中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面；‎ ‎（3）若，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用条件可证明，再利用线面平行的判定即可得证；（2）根据线面垂直的判定可证明平面，再根据面面垂直的判定即可得证；（3）利用求得底面积和高即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，连结，‎ ‎∵为中点，为中点，∴∥，‎ 又∵平面，平面，∴∥平面；‎ ‎（2）连结，∵,为中点，‎ ‎∴，又∵底面为菱形，‎ ‎∴，∵,‎ ‎∴平面，又∵平面，‎ ‎∴平面平面；‎ ‎（3）‎ ‎21.已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2周长为8．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若直线y＝kx＋b与椭圆C分别交于A，B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．‎ ‎【答案】（1）； （2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据三角形周长为8，结合椭圆的定义可知，，利用，即可求得和的值,求得椭圆方程；(2)分类讨论，当直线斜率斜存在时,联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,求得和的关系，利用点到直线的距离公式即可求得点到直线的距离是否为定值.‎ ‎【详解】（1）由题意知，‎4a=8，则a=2，‎ 由椭圆离心率，则b2=3．‎ ‎∴椭圆C的方程；‎ ‎（2）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，-x0）．‎ 又A，B两点在椭圆C上，‎ ‎∴，‎ ‎∴点O到直线AB的距离，‎ 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b．设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 联立方程，消去y得（3+4k2）x2+8kbx+4b2-12=0．‎ 由已知△＞0，x1+x2=，x1x2=，‎ 由OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=0，‎ 整理得：（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=0，‎ ‎∴ ．‎ ‎∴7b2=12（k2+1），满足△＞0．‎ ‎∴点O到直线AB的距离为定值．‎ 综上可知：点O到直线AB距离d=为定值．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的定义及椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点到直线的距离公式，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）求曲线在点处切线方程；‎ ‎（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对求导得到，代入切点横坐标得到斜率，再写出切线方程；‎ ‎（2）令，证明其导函数在上恒为正，即在上恒增，而要满足在上恒成立，从而得到的取值范围 ‎【详解】（1），，‎ ‎（1），又（1），即切线的斜率，切点为，‎ 曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）令，，则，‎ 令，则．‎ 当时，，函数在上为增函数，故（1）；‎ 从而，当时，（1）．‎ 即函数在上为增函数，故（1）．‎ 因此，在上恒成立，必须满足．‎ 实数的取值范围为，．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数在某一点的切线，利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，属于常规题.‎