河北省邢台二中2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

河北省邢台二中2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

‎2019-2020学年度邢台二中期末数学考试试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________‎ 评卷人 得分 一、单选题（每题5分，共60分)‎ ‎1．“双曲线的方程为”是“双曲线的渐近线方程为”的（ ）‎ A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 ‎2．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟，均为正整数）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，则它的极差不可能为（ ）‎ A．8 B．4 C．2 D．1‎ ‎3．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．若不等式的解集是，则的值为（　　）‎ A．12 B． C． D．10‎ ‎5．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取一个灯球，则这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知，则的最小值是 （ ）‎ A．2 B．6 C．2 D．2‎ ‎7．如图所示，在平行六面体中，设，，，是的中点，试用，，表示（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知直线，抛物线C：上一动点P到直线和轴距离之和的最小值是（ ）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎9．已知，是双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知实轴长为2的双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），点B为双曲线C虚轴上的一个端点，则△BF1F2的重心到双曲线C的渐近线的距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．正四棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知椭圆：（）的左，右焦点分别为，，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与在第一象限交于点，若直线恰好与圆相切于点，则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 评卷人 得分 二、填空题（每题5分共20分）‎ ‎13．在直三棱柱中，,,则异面直线与所成角的余弦值为__________．‎ ‎14．设双曲线的半焦距c，坐标原点到直线的距离等于，则c的最小值为_______‎ ‎15．已知椭圆E：，的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为，则E的方程为__________.‎ ‎16．是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为_______‎ 评卷人 得分 三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）‎ ‎17．已知集合,‎ ‎（1）若，求出m的取值范围；‎ ‎（2）是否存在实数m，使是的充分条件，若存在，求出m的范围．若不存在，请说明理由．‎ ‎18．某市预测2000年到2004年人口总数与年份的关系如下表所示 年份200x（年）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 人口数y（十）万 ‎5‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎11‎ ‎19‎ ‎(1)请根据上表提供的数据，计算，用最小二乘法求出关于的线性回归方程 ‎(2) 据此估计2005年该城市人口总数。‎ ‎(参考数值：0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132， ‎ 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式)‎ ‎19．某校两个班级100名学生在一次考试中的成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区如下表：‎ 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 分组 ‎（1）求频率表分布直方图中的值；‎ ‎（2）根据频率表分布直方图，估计这100名学生这次考试成绩的平均分；‎ ‎（3）现用分层抽样的方法从第三、四、五组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率.‎ ‎20．直线与双曲线相交于不同的两点．‎ ‎(1)若点分别在双曲线的左、右两支上,求实数的取值范围；‎ ‎(2)若以线段为直径的圆经过坐标原点,求实数的值．‎ ‎21．如图，为矩形，且平面平面，，，，，点是线段上的一点，且．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎22．已知椭圆的一个焦点为，离心率，左，右顶点分别为A，B，经过点F的直线与椭圆交于C，D两点（与A，B不重合).‎ ‎(1)求椭圆M的方程；‎ ‎(2)记与的面积分别为和，求|的最大值.‎ 参考答案 ‎1．A 2．D 3．A 4．B 5．B 6．B 7．A 8．A 9．C 10．A 11．C 12．A ‎13． 14．4 15． 16．‎ ‎17(1)若,则,‎ 即,得,得m≥0．‎ ‎(2) ,‎ ‎．‎ 假设存在实数m，使是的充分条件,则必有．‎ 所以,得,‎ 解得．‎ 所以存在实数使条件成立．‎ ‎18．解：（1） , ‎ ‎ ∴线性回归方程为y=3.2x+3.6；‎ ‎（2）令x=5，则y=16+3.6=19.6，故估计2005年该城市人口总数为19.6(万)‎ ‎19．解：（Ⅰ）由题意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005． ‎ ‎（Ⅱ）由直方图分数在[50，60]的频率为0.05，[60，70]的频率为0.35，[70，80]的频率为0.30，‎ ‎[80，90]的频率为0.20，[90，100]的频率为0.10，所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5‎ ‎（Ⅲ）由直方图，得：‎ 第3组人数为0.3×100=30，‎ 第4组人数为0.2×100=20人，‎ 第5组人数为0.1×100=10人．‎ 所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，‎ 每组分别为：‎ 第3组：人，‎ 第4组：人，‎ 第5组：=1人．‎ 所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人． ‎ 设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：‎ ‎（A1，A2），（A1，A3），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），‎ 其中恰有1人的分数不低于9（0分）的情形有：（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），共5种．所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为.‎ ‎20．(1)直线与双曲线方程联立得：.因为直线 与双曲线相交于不同的两点分别在双曲线的左、右两支上,所以有：, ‎ 因此实数的取值范围为；‎ ‎(2)设,因为线段为直径的圆经过坐标原点,所以有,即 ‎.‎ 由(1)可知：,‎ 即.‎ ‎21（1）证明：由题意知四边形是矩形，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，，，．‎ ‎，．‎ 平面平面，平面平面，，‎ 平面，，‎ ‎，平面．‎ 平面，．‎ ‎（2）解：由（1）知，，两两垂直，‎ 以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，‎ ‎，.‎ 设平面法向量为，则，‎ 取，则，，故为平面的一个法向量，‎ 易知平面的一个法向量为.‎ 设二面角的平面角为，由题中条件可知，‎ 则，‎ 二面角的余弦值为.‎ ‎22．（1）设椭圆M的半焦距为c，即c＝1，‎ 又离心率e，即 ‎∴a＝2，b2＝a2﹣c2＝3‎ ‎∴椭圆M的方程为.‎ ‎（2）设直线l的方程为x＝my﹣1，C（x1，y2），D（x2，y2），联立方程组 ‎，消去x得，（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0‎ ‎∴y1+y2，y1y20‎ S1＝S△ABC|AB|•|y1|，S2＝S△ABD|AB|•|y2|，且y1，y2异号 ‎∴|S1﹣S2||AB|•|y1+y2|4×|y1+y2|‎ ‎∵3|m|4，‎ 当且仅当3|m|，即m＝±时，等号成立 ‎∴|S1﹣S2|的最大值为.‎