广东省深圳市宝安区2019-2020学年高二上学期期末调研测试数学试题 含解析

广东省深圳市宝安区2019-2020学年高二上学期期末调研测试数学试题 含解析

‎2019-2020学年广东省深圳市宝安区高二（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是 A. 垂直且相交 B. 相交但不一定垂直 C. 垂直但不相交 D. 不垂直也不相交 2. 在等差数列中，，，则201是该数列的第项．‎ A. 60 B. ‎61 ‎C. 62 D. 63‎ 3. 方程和所表示的图形是 A. 前后两者都是一条直线和一个圆 B. 前后两者都是两点 C. 前者是一条直线和一个圆，后者是两点 D. 前者是两点，后者是一条直线和一个圆 4. 直线关于直线对称的直线方程是 A. B. C. D. ‎ 5. 数列中，，且数列是等差数列，则等于 A. B. C. D. ‎ 6. 经过点且在两轴上截距相等的直线是 A. B. C. 或 D. 或 7. 直线的倾斜角的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 8. 焦点在y轴上的椭圆的离心率为，则m的值为 A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ 9. 等差数列的首项为，且从第10项开始为比1大的项，则公差d的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 10. 已知抛物线上的点A到焦点F距离为4，若在y轴上存点使得，则该抛物线的方程为 A. B. C. D. ‎ 11. 已知点在圆上，则的最大值是 A. 1 B. C. D. ‎ 12. 已知是首项为32的等比数列，是其前n项和，且，则数列前10项和为 A. 58 B. ‎56 ‎C. 50 D. 45‎ 二、填空题（本大题共3小题）‎ 13. 九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为‎3升，下面3节的容积共‎4升，则第5节的容积为______升．‎ 14. 设等差数列满足，，的前n项和的最大值为M，则______．‎ 15. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，若直线l：上存在一点P，使得线段的垂直平分线过点，则该椭圆离心率的取值范围是______．‎ 三、解答题（本大题共7小题）‎ 16. 设，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得的值是______ ． ‎ 1. 如图所示，在长方体中，，，M是棱的中点．证明：平面平面 ‎ ‎ ‎ 2. 过点作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点． Ⅰ当面积最小时，求直线l的方程； Ⅱ当取最小值时，求直线l的方程． ‎ 3. 圆上一定点，为圆内一点，P，Q为圆上的动点． 求线段AP中点的轨迹方程； 若，求线段PQ中点的轨迹方程 ‎ 4. 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点到椭圆的最远距离是，求椭圆的标准方程． ‎ 1. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，，M是PB的中点． Ⅰ证明：平面平面PCD； Ⅱ求AC与PB所成的角余弦值； Ⅲ求平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值．‎ ‎ ‎ 2. 已知点，点P为平面上的动点，过点P作直线l：的垂线，垂足为Q，且． Ⅰ求动点P的轨迹C的方程； Ⅱ设点P的轨迹C与x轴交于点M，点A，B是轨迹C上异于点M的不同的两点，且满足，求的取值范围． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题． 取BD中点E，连结AE、CE，由已知条件推导出平面AEC，从而得到． 【解答】 解：取BD中点E，连结AE、CE． ，，，且AE、CE为平面ACE内两条相交直线， 平面AEC． 又平面AEC，． 故选：C． 2.【答案】B ‎ ‎【解析】解：数列为等差数列 又，， 则 当时 故选B 由已知中等差数列中，，，我们易求出数列的公差，进而得到数列的通项公式，根据，构造关于n的方程，解方程即可得到答案． 本题考查的知识点是等差数列的通项公式，其中根据已知条件求出等差数列的通项公式，是解答本题的关键． 3.【答案】C ‎ ‎【解析】解：方程，即或，表示一条直线和一个圆； 方程，即并且，表示是两点和． 故选：C． 分别将方程化简，即可得到相应的图形． 本题考查曲线和方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 4.【答案】A ‎ ‎【解析】解：因为直线的斜率为1，故有将其代入直线即得：， 整理即得． 故选：A． 利用当对称轴斜率为时，由对称轴方程分别解出x，y，代入已知直线的方程， 即得此直线关于对称轴对称的直线方程． 本题考查求一直线关于某直线的对称直线方程的求法．当对称轴斜率为时， 由对称轴方程分别解出x，y，代入已知直线的方程，即得此直线关于对称轴对称的直线方程． 5.【答案】A ‎ ‎【解析】解：根据题意，设，数列是等差数列， 则，， 则， 即； 解可得； 故选：A． 根据题意，设，结合题意计算可得、的值，由等差数列的性质计算可得的值，即可得，解可得的值，即可得答案． 本题考查等差数列的性质，关键是求出数列的通项公式． 6.【答案】D ‎ ‎【解析】解：当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为， 把代入所设的方程得：，则所求直线的方程为； 当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为， 把代入所求的方程得：，则所求直线的方程为． 综上，所求直线的方程为：或． 故选：D． 分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程． 此题考查直线的一般方程和分类讨论的数学思想，要注意对截距为0和不为0分类讨论，是一道基础题． 7.【答案】B ‎ ‎【解析】解：直线的斜率， 设直线的倾斜角为， 则， 得． 故选：B． 由直线方程求出直线斜率的范围，再由斜率等于倾斜角的正切值求解． 本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础的计算题． 8.【答案】D ‎ ‎【解析】解：焦点在y轴上的椭圆的方程为：， ，， ， 该椭圆的离心率， ， 解得． 故选：D． 将焦点在y轴上的椭圆的方程标准化：，可知，，利用及其离心率，即可求得m的值． 本题考查椭圆的简单性质，着重考查椭圆的离心率，属于中档题． 9.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 由题意可知，，把代入即可求得d 的范围．属于一般题． 本题主要考查了等差数列的通项公式的应用．要熟练记忆等差数列的通项公式． 【解答】 解：依题意可知，， 故选D． 10.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由题意可得：，，解得，取 ，，， 解得经过检验满足条件． 该抛物线的方程为． 故选：A． 由题意可得：，，解得，取利用，即可得出． 本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11.【答案】C ‎ ‎【解析】解：设上一点， 则， 故选：C． 设圆上一点，则，利用三角函数求最值，得出结论． 考查圆的参数方程的应用，中档题． 12.【答案】A ‎ ‎【解析】解：是首项为32的等比数列，是其前n项和，且， ， ， ， ， 数列前10项和为， 故选：A． 由是首项为32的等比数列，是其前n项和，且，求出q，可得，再求数列前10项和． 本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：由题设知， 解得， ． 故答案为：． 由题设知，先求出首项和公差，然后再由等差数列的通项公式求第5节的容积． 本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式，解题时要注意公式的灵活运用． 14.【答案】2 ‎ ‎【解析】解：设等差数列的公差为d ‎，，， ，，． ， 令， 解得， 因此当时，的前n项和取得最大值， ． 故答案为：2． 利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得：，，即可得出． 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质，考查了计算能力，属于中档题． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：由，设， 由中点公式得的中点M坐标为， 由与垂直得， 化简得， 所以， 即，得，或舍去， 故 故答案为： 设，则由中点公式可得线段的中点M的坐标，根据 线段的斜率与的斜率之积等于，求出的解析式，再利用，得到，求得e的范围，再结合椭圆离心率的范围进一步e的范围． 本题考查线段的中点公式，两直线垂直的性质，以及椭圆的简单性质的应用，属于中档题． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：， 故答案为： 由已知中，我们易求出的表达式，进而得到为定值，利用倒序相加法，即可求出的值． 本题考查的知识点是函数的值，倒序相加法，其中根据已知条件计算出的表达式，进而得到为定值，是解答本题的关键． 17.【答案】证明：由长方体的性质可知平面， 又平面，． 又，M为的中点， 在中，， 同理，又， ，从而 又，平面， 平面ABM，平面平面 ‎ ‎【解析】由长方体的性质可知平面，推导出，，从而平面，由此能证明平面平面 本题考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题． 18.【答案】解：根据题意，设直线l的方程为，因为直线l过点，从而有 Ⅰ 因为， 由基本不等式可得，即，当且仅当，即，等号成立， 此时的面积刚好取得最小值，此时直线l的方程为，即 Ⅱ因为 当且仅当，即，等号成立． 此时直线l的方程为，即． ‎ ‎【解析】直线l的方程为，因为直线l过点，从而有 对于Ⅰ，由基本不等式的性质可得，即，进而结合三角形面积公式计算可得答案； 对于Ⅱ，，结合基本不等式的性质分析可得答案． 本题考查直线的截距式方程，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题． 19.【答案】解：设AP中点为， 由中点坐标公式可知，P点坐标为 点在圆上，． 故线段AP中点的轨迹方程为． 设PQ的中点为， 在中，， 设O为坐标原点，则， 所以， 所以． 故线段PQ中点的轨迹方程为． ‎ ‎【解析】设出AP的中点坐标，利用中点坐标公式求出P的坐标，据P在圆上，将P坐标代入圆方程，求出中点的轨迹方程． 利用直角三角形的中线等于斜边长的一半得到，利用圆心与弦中点连线垂直弦，利用勾股定理得到 ，利用两点距离公式求出动点的轨迹方程． 本题考查中点坐标公式、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、圆心与弦中点的连线垂直弦、相关点法求动点轨迹方程． 20.【答案】解：椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率， 设，，则，，故， 设为椭圆上的点， 由 ‎ ‎， 当，当时有最大值，由，得，不成立； 当，，当时有最大值，由，，， 故椭圆的标准方程为：． ‎ ‎【解析】根据题意求出，设为椭圆上的点，由，求出最大值时的a，b，代入即可． 考查椭圆的性质，求椭圆的标准方程，中档题． 21.【答案】因为，，，以A为坐标原点AD长为单位长度， 如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 0，，2，，1，，0，，0，，1， Ⅰ证明：因，，故， 由题设知，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得面PAD． 又DC在面PCD上，故面面PCD． Ⅱ解：因 ， Ⅲ设平面AMC、平面BMC的法向量分别为 ，由，取； ，由，取 ． 平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值为． ‎ ‎【解析】以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 0，，2，，1，，0，，0，，1， Ⅰ证明面PAD即可得面面PCD． Ⅱ由 ，得 Ⅲ求出平面AMC、平面BMC的法向量分别为，求出 即可得平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值 本题考查了空间位置关系，及利用空间向量求空间角的基本方法，属于中档题． 22.【答案】解：Ⅰ设，则， 因为，， 所以， 即， 整理得，所以点P的轨迹C的方程为； Ⅱ根据题意知，设MA：， 联立，解得，所以点， 设AB：， 联立，消去x 得， 设，，则， 因为，所以， 则， 所以， 设，则， 令，对称轴为，所以y在上单调递增， 所以当时，y取最小值，即取最小值， 所以最小值为， 则最小值为， 所以取值范围是． ‎ ‎【解析】Ⅰ设，则，根据代入整理即可得P点的轨迹方程； Ⅱ表示出MA方程并与轨迹C联立，可得A的坐标，设出直线AB的方程并与C联立，利用根于系数关系表示出，并用换元思想及二次函数最值可求出范围． 本题考查动点轨迹方程，考查抛物线与直线形成线段的取值范围，利用根与系数关系，二次函数求最值等知识点是关键，属于中档题． ‎