2018-2019学年河北省沧州盐山中学高二下学期期中考试数学（理）试题（word版)

2018-2019学年河北省沧州盐山中学高二下学期期中考试数学（理）试题（word版)

河北省沧州盐山中学2018-2019学年高二下学期期中考试理科数学 ‎（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）‎ 注意事项：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。‎ ‎3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ 1. 复数的虚部是（　　）‎ A. i B. 1 C. -i D. -1‎ 2. 在一项调查中有两个变量和，下图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为关于的回归方程的函数类型是 ‎ ‎ A. B. C. D. （）‎ 3. 聊斋志异中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则　‎ A. 7 B. 35 C. 48 D. 63‎ 4. 用三段论演绎推理：“复数都可以表示成实部与虚部之和的形式，因为复数的实部是2，所以复数z的虚部是3i”对于这段推理，下列说法正确的是     ‎ A. 大前提错误导致结论错误 B. 小前提错误导致结论错误 C. 推理形式错误导致结论错误 D. 推理没有问题，结论正确 1. 用反证法证明命题：“a，b，c，，，，且，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为　　‎ A. a，b，c，d全都大于等于0 B. a，b，c，d全为正数 C. a，b，c，d中至少有一个正数 D. a，b，c，d中至多有一个负数 2. 从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为（）‎ A. 48 B. 72 C. 90 D. 96‎ 3. ‎2017年离考考前第二次适应性训练考试结束后，对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N（95，82）的密度曲线非常拟合．据此估计：在全市随机柚取的4名高三同学中，恰有2名冋学的英语成绩超过95分的概率是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为（　　）.‎ A. B. 7 C. D. 28‎ 5. 事件A，B相互独立，它们都不发生的概率为，且，则= （）‎ A. B. C. D. ‎ 6. 小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点各不相同”，事件B＝“小赵独自去一个景点”，则P（A|B）＝（）‎ A. B. C. D. ‎ 7. 从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )‎ A. 28 B. 49 C. 56 D. 85‎ 8. 已知（1-2x）2017=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a2016（x-1）2016+a2017（x-1）2017（x∈R），则a1-2a2+3a3-4a4+…-2016a2016+2017a2017=（　　）‎ A. 2017 B. 4034 C. -4034 D. 0‎ 请点击修改第II卷的文字说明 ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 9. 设随机变量X～B（3，），随机变量Y＝2X＋1，则Y的方差D（Y）＝________．‎ 10. 直线的参数方程为（为参数），则的倾斜角大小为_________‎ 11. 某学校组织的数学竞赛中，学生的成绩服从正态分布，且，则式子的最小值为      ．‎ 12. 将三项式(x2+x+1)n展开,当n=0,1,2,3,…时,得到以下等式: ‎ ‎(x2+x+1)0=1,‎ ‎(x2+x+1)1=x2+x+1,‎ ‎(x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1,‎ ‎(x2+x+1)3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1,‎ ‎……‎ 观察多项式系数之间的关系,可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角,其构造方法:第0行为1,以下各行每个数是它正头顶上与左右两肩上3个数(不足3个数的,缺少的数记为0)的和,第k行共有2k+1个数,若(x2+x+1)5(1+ax)的展开式中,x7项的系数为75,则实数a的值为____.  ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）‎ 1. ‎(10)当实数a为何值时z=a2-2a+（a2-3a+2）i． （1）为纯虚数； （2）为实数； （3）对应的点在第一象限．‎ ‎18.(12)  观察下列式子：‎ ‎（Ⅰ）由此猜想一个一般性的结论；‎ ‎（Ⅱ）用数学归纳法证明你的结论.‎ ‎19.(12)设过原点O的直线与圆（x-4）2+y2=16的一个交点为P，M点为线段OP的中点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求点M的轨迹C的极坐标方程； （Ⅱ）设点A的极坐标为，点B在曲线C上，求△OAB面积的最大值． 20.(12)2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”：高铁、扫码支付、共享单车和网购．为拓展市场，某调研组对甲、乙两个品牌的共享单车在5个城市的用户人数进行统计，得到如下数据：‎ 城市 品牌 Ⅰ ‎ Ⅱ ‎ Ⅲ ‎ Ⅳ ‎ Ⅴ ‎ 甲品牌（百万）‎ ‎4 ‎ ‎3 ‎ ‎8 ‎ ‎6 ‎ ‎12 ‎ 乙品牌（百万）‎ ‎5 ‎ ‎7 ‎ ‎9 ‎ ‎4 ‎ ‎3 ‎ ‎（Ⅰ）如果共享单车用户人数超过5百万的城市称为“优质潜力城市”，否则“非优”，请据此判断是否有85%的把握认为“优质潜力城市”与共享单车品牌有关？‎ ‎（Ⅱ）如果不考虑其他因素，为拓展市场，甲品牌要从这5个城市中选出3个城市进行大规模宣传．‎ ‎（ⅰ）在城市Ⅰ被选中的条件下，求城市Ⅱ也被选中的概率；‎ ‎（ⅱ）以Ｘ表示选中的城市中用户人数超过5百万的个数，求随机变量X的分布列及数学期望．‎ 下面临界值表供参考：‎ P(K2≥k0) ‎ ‎0.150 ‎ ‎0.100 ‎ ‎0.050 ‎ ‎0.025 ‎ ‎0.010 ‎ ‎0.005 ‎ ‎0.001 ‎ k0 ‎ ‎2.072 ‎ ‎2.706 ‎ ‎3.841 ‎ ‎5.024 ‎ ‎6.635 ‎ ‎7.879 ‎ ‎10.828 ‎ 参考公式：，n＝a+b+c+d． 21.(12)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12，且曲线C的左焦点F在直线l上．‎ ‎(1)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|FA|·|FB|的值；‎ ‎(2)求曲线C的内接矩形的周长的最大值． 22.(12)随着电商的快速发展，快递业突飞猛进，到目前，中国拥有世界上最大的快递市场.某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的 包裹，在收费10元的基础上，每超过（不足，按计算）需再收5元.‎ 该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：‎ 公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：‎ 以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.‎ ‎（1）计算该公司未来5天内恰有2天揽件数在101~300之间的概率；‎ ‎（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；‎ ‎②根据以往的经验，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？ ‎ 答案和解析 ‎1.B 2.B 3.D 4.A 5.A 6.D 7.D 8.B 9.C 10.A 11.B 12.C 【解析】‎ 解：∵（1-2x）2017=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a2016（x-1）2016+a2017（x-1）2017（x∈R）， ∴-2×2017（1-2x）2016=a1+2a2（x-1）+…+2017a2017（x-1）2016， 令x=0，则-4034=a1-2a2+3a3-4a4+…-2016a2016+2017a2017， 故选：C． 对（1-2x）2017=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a2016（x-1）2016+a2017（x-1）2017（x∈R），两边求导，取x=0即可得出． 本题考查了二项式定理的应用、导数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎13.【答案】 14.【答案】 15.【答案】18 ‎ ‎16.【答案】1 ‎ ‎【解答】 根据题意可得广义杨辉三角第5行为1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1, 故(1+ax)(x2+x+1)5的展开式中,x7项的系数为30+45a=75,得a=1. 故答案为1.‎ ‎17.【答案】解：（1）复数z是纯虚数，则由，得，即a=0． （2）若复数z是实数，则a2-3a+2=0，得a=1或a=2． （3）在复平面内对应的点位于对应的点在第一象限， 则， 即，解得a＜0或a＞2． 【解析】‎ ‎ ‎ ‎18.【答案】（Ⅰ）解：∵1+＜，1+＜，1++＜，‎ ‎∴一般性结论：1++…+＜; （Ⅱ）证明:‎ ‎①时，左右，猜想成立；‎ ‎②假设时猜想成立，即 则当时，‎ ‎ ‎ 即时，猜想也成立.‎ 综上: 由①②可知，猜想成立.‎ ‎ 【解析】‎ 本题考查归纳推理及用放缩法和数学归纳法证明不等式. （Ⅰ）根据题意可猜想出1++…+＜; （Ⅱ）用数学归纳法，放缩法即可证明.‎ ‎19.【答案】解：（Ⅰ）设M（ρ，θ），则P（2ρ，θ） 又点P的轨迹的极坐标方程为ρ=8cosθ ∴2ρ=8cosθ， 化简，得点M的轨迹C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，，k∈Z． （Ⅱ）直线OA的直角坐标方程为 点（2，0）到直线的距离为：， ∴△OAB面积的最大值． 【解析】‎ ‎ （Ⅰ）设M（ρ，θ），则P（2ρ，θ），由点P的轨迹的极坐标方程为ρ=8cosθ，能求出点M的轨迹C的极坐标方程． ‎ ‎（Ⅱ）直线OA的直角坐标方程为，点（2，0）到直线的距离为：，由此能求出△OAB面积的最大值． 本题考查点的轨迹的极坐标方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎20.【答案】解：（Ⅰ）根据题意列出2×2列联表如下：‎ 优质城市 单车品牌 优质城市 非优质城市 合计 甲品牌（个）‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎5‎ 乙品牌（个）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 合计 ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ 所以,  所以没有85%的理由认为“优质潜力城市”与共享单车品牌有关; （Ⅱ）(i)令事件C为“ 城市 Ⅰ被选中”；事件D为"城市 Ⅱ被选中”， 则, 所以;    (ii)随机变量X的所有可能取值为1，2，3， 故X的分布列为：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴数学期望.‎ ‎ 【解析】‎ 本题考查独立性检验的应用及超几何分布,分布列和数学期望及条件概率． (Ⅰ)根据题意列出2×2列联表，根据2×2列联表，代入求临界值的公式，求出观测值，利用观测值同临界值表进行比较，K2=0.4＜2.706，即可得结论; (Ⅱ)(i)由条件概率公式求解即可;‎ ‎(ii)由题意求得X的取值1，2，3，运用排列组合的知识，可得各自的概率，求得X的分布列，由期望公式计算即可得到（X）． ‎ ‎21.【答案】解：（1）曲线C的直角坐标方程为x2+3y2=12，即． ‎ ‎∴曲线C的左焦点F的坐标为．  ∵在直线l上，  ∴直线l的参数方程为（t为参数）．  将直线l的参数方程代入x2+3y2=12得：t2-2t-2=0，  ∴|FA|•|FB|=|t1t2|=2． ‎ ‎（2）由曲线C的方程为＋＝1， 可设曲线C上的动点P(2cos θ，2sin θ)， 则以P为顶点的内接矩形周长为: 4×(2cos θ＋2sin θ)＝16sin， 因此该内接矩形周长的最大值为16.‎ ‎ 【解析】‎ 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，函数的最值，参数方程的几何意义，属于中档题． （1）求出曲线C的普通方程和焦点坐标，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出； （2）可设曲线C上的动点P(2cos θ，2sin θ)，则以P为顶点的内接矩形周长为:4×(2cos θ＋2sin θ)＝16sin​，求出此函数的最大值．‎ ‎22.【答案】解：（1）样本中包裹件数在101～300之间的天数为36，频率f==， 故可估计概率为， 显然未来5天中，包裹件数在101～300之间的天数X服从二项分布， 即X～B，故所求概率为=； （2）①样本中快递费用及包裹件数如下表：‎ 包裹重量（单位：kg）‎ ‎（0，1]‎ ‎(1,2]‎ ‎(2,3]‎ ‎(3,4]‎ ‎(4,5]‎ 快递费（单位：元）‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ 包裹件数 ‎43‎ ‎30‎ ‎15‎ ‎8‎ ‎4‎ 故样本中每件快递收取的费用的平均值为：=15， 故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元． ②根据题意及①，揽件数每增加1，公司快递收入增加15（元）， 若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：‎ ‎ 包裹件数范围 ‎ 0～100‎ ‎101～200‎ ‎ 201～300‎ ‎ 301～400‎ ‎ 401～500‎ ‎ 包裹件数（近似处理）‎ ‎ 50‎ ‎ 150‎ ‎ 250‎ ‎ 350‎ ‎ 450‎ ‎ 实际揽件数 ‎ 50‎ ‎ 150‎ ‎ 250‎ ‎ 350‎ ‎ 450‎ ‎ 频率 ‎ 0.1‎ ‎ 0.1‎ ‎ 0.5‎ ‎ 0.2‎ ‎ 0.1‎ ‎ EY ‎ 50×0.1+150×0.1+250×0.5+350×0.2+450×0.1=260‎ 故公司平均每日利润的期望值为 260×15×-3×100=1000（元）； 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：‎ ‎ 包裹件数范围 ‎ 0～100‎ ‎101～200‎ ‎ 201～300‎ ‎ 301～400‎ ‎ 401～500‎ ‎ 包裹件数（近似处理）‎ ‎ 50‎ ‎ 150‎ ‎ 250‎ ‎ 350‎ ‎ 450‎ ‎ 实际揽件数 ‎ 50‎ ‎ 150‎ ‎ 250‎ ‎ 300‎ ‎300‎ ‎ 频率 ‎ 0.1‎ ‎ 0.1‎ ‎ 0.5‎ ‎ 0.2‎ ‎ 0.1‎ ‎ EY ‎ 50×0.1+150×0.1+250×0.5+300×0.2+300×0.1=235‎ 故公司平均每日利润的期望值为 235×15×-2×100=975（元）. 因为975＜1000， 故公司不应将前台工作人员裁员1人． 【解析】‎ ‎ 本题考查了频率分布直方图的性质及其应用、茎叶图、相互对立事件、相互独立及其条件概率计算公式、超几何分布列的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． ​（1）样本中包裹件数在101～300之间的天数为36，频率f=，故可估计概率为f．显然未来5天中，包裹件数在101～300之间的天数X服从二项分布，即X～B； （2）①样本中快递费用及包裹件数如下表格，故样本中每件快递收取的费用的平均值． ②根据题意及①，揽件数每增加1，公司快递收入增加15（元），若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如表格．若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如表格．可得公司平均每日利润的期望值．‎