天津市南开翔宇学校2020届高三下学期第八次统练数学试题

天津市南开翔宇学校2020届高三下学期第八次统练数学试题

‎2019-2020学年第二学期高三年级第八次统练数学试卷 满分：150 时间：120分钟 一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）‎ 1. 记全集，集合，集合，则 A. B. C. D. ‎ 2. 若，，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则    ‎ A. 16 B. ‎8 ‎C. 4 D. 2‎ 4. 函数的图象大致为 A. B. C. D. ‎ 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为 A. B. C. D. ‎ 6. 已知圆与直线交于A、B两点，过A、B分别作A轴的垂线，且与x轴分别交于C、D两点，若，则 A. 3 B. ‎2 ‎C. D. 1‎ 7. 已知函数的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿x轴向左平移个单位，纵坐标扩大到原来的2倍得到函数的图象，则下列关于函数的命题中正确的是 A. 函数是奇函数 B. 的图象关于直线对称 C. 在上是增函数 D. 当时，函数的值域是 8. 已知点是双曲线的左焦点，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点P，且点P在抛物线上，则该双曲线的离心率的平方是 A. B. C. D. ‎ 1. 已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数k的取值范围是   ‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）‎ 2. 已知复数，则复数z的虚部为______．‎ 3. 在二项式的展开式中，常数项是______ ．‎ 4. 如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为______．‎ 5. 在三棱锥中，平面ABC，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为______．‎ 6. 已知a，b均为正数，且，则当______时，代数式的最小值为______．‎ 7. 如图，在中，已知，，，D为边BC的中点若，垂足为E，连接BE，则的值为________．‎ 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）‎ 8. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．Ⅰ求角A的值；Ⅱ若，，求的值．‎ ‎ ‎ 1. 如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点E是棱的中点． 求证：平面ABC； 求二面角的余弦值； 在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ 2. 已知椭圆的左、右焦点为、，，若圆Q方程，且圆心Q满足．Ⅰ求椭圆的方程；Ⅱ过点的直线：交椭圆于A、B两点，过P与垂直的直线交圆Q于C、D两点，M为线段CD中点，若的面积为，求k的值． ‎ 1. 已知数列满足． 设，求数列的通项公式； 求数列的前n项和； 记，求数列的前n项和． ‎ 已知函数，． 当时，求函数的单调区间和极值； 若对于任意，都有成立，求实数k的取值范围； 若，且，证明：．‎ ‎2019-2020学年度第二学期高三年级第八次统练数学 答案和解析 ‎1.【答案】C ‎ ‎【解析】解：全集，集合或， 集合， ， ． 故选：C． 求出集合A，集合B，从而求出，由此能求出． 本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，均值不等式，考查了推理能力与计算能力． 充分条件和必要条件的定义结合均值不等式、特值法可得结果． 【解答】 解：，，， ，，即， 若，，则， 但， 即推不出， 是的充分不必要条件 故选A． 3.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查等比数列的性质和前n项和公式，考查方程思想，属基础题． 设等比数列的公比为，根据条件可得，解方程即可． 【解答】 解：设等比数列的公比为， 则由前4项和为15，且，有 ， 故选C． 4.【答案】D ‎ ‎【解析】解：函数的定义域为， ， 则函数为偶函数，图象关于y轴对称，排除B， 当时，，排除A， 当时，，排除C， 故选：D． 根据条件平时函数的奇偶性，结合函数值的符号是否对应，利用排除法进行判断即可． 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系，以及函数值的对应性，利用排除法是解决本题的关键． 5.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查对数、指数的大小比较，这里尽量借助于整数1作为中间量来比较．本题属中档题． 本题先将a、b、c的大小与1作个比较，发现，a、c都小于再对a、c的表达式进行变形，判断a、c之间的大小。 【解答】‎ 解：由题意，可知： ， ． ， 最大，a、c都小于1． ，． 而， ． ， ． 故选A．‎ ‎ 6.【答案】D ‎ ‎【解析】解：设，， 由，消去y，得， 由韦达定理知，， ， ， 即，， 解得或， 又，‎ ‎． 故选：D． 利用设而不求的思想，联立方程，设出，，由根与系数的关系结合列式求出m的值． 本题考查直线和圆的位置关系的运用，考查“设而不求”的解题思想方法，考查计算能力，是中档题． 7.【答案】C ‎ ‎【解析】解：函数， 由题意知，解得， 所以， 所以； 把函数的图象沿x轴向左平移个单位， 得； 纵坐标扩大到原来的2倍，得； 则函数； 所以不是定义域R上的奇函数，A错误； 时，，， 所以的图象不关于直线对称，B错误； 时，， 所以是增函数，C正确； 时，，， 所以函数的值域是，D错误． 故选：C． 由辅助角公式把三角函数化简，求出周期和的值，写出三角函数解析式， 再由图象平移变换得到的解析式，判断选项中的命题真假性即可． 本题考查了命题的真假判断问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题． 8.【答案】D ‎ ‎【解析】解：如图，设抛物线的准线为l，作于Q， 双曲线的右焦点为，由题意可知为圆的直径， ‎ 设，，则，且， 满足， 将代入得， 则， 即，或舍去 将代入， 得， 即，再将y代入得， ， 即， ， 即 ． 故选：D． 利用抛物线的性质、双曲线的渐近线、直线平行的性质、圆的性质、联立方程组，建立a，c的关系即可得到结论． 数列掌握抛物线的性质、双曲线的渐近线、直线平行的性质、圆的性质是解题的关键．本题运算量较大，综合性较强，难度较大． 9.【答案】A ‎ ‎【解析】 【分析】 由题意可化为函数图象与的图象有且只有四个不同的交点，结合题意作图求解即可． 本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用． 【解答】 解：函数 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上， 而函数关于直线的对称图象为， 的图象与的图象有且只有四个不同的交点． 作函数的图象与的图象如下， 易知直线恒过点， 设直线AC与相切于点， ， 故， 解得，； 故． 设直线AB与相切于点， ， 故， 解得，． 故； 故， 故． 故选A． 10.【答案】 ‎ ‎【解析】解：， 复数z的虚部为． 故答案为：． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 11.【答案】180 ‎ ‎【解析】解：二项式的展开式的通项公式为， 令，则， 常数项是 ‎， 故答案为：180． 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项． 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题． 12.【答案】9 ‎ ‎【解析】解：根据频率分布直方图，得： 日销售量不少于150个的频率为， 则估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为：． 故答案为：9． 根据频率分布直方图，求出对应的频率与频数即可． 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率的应用问题，是基础题目． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：在三棱锥中，平面ABC，，，，， 以AB，BC，PA为长宽高构建长方体， 则长方体的外接球就是三棱锥的外接球， 三棱锥的外接球的半径， 三棱锥的外接球的表面积为： ． 故答案为：． 以AB，BC，PA为长宽高构建长方体，则长方体的外接球就是三棱锥的外接球，由此能求出三棱锥的外接球的表面积． 本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题． 14.【答案】  ‎ ‎【解析】解：因为，所以， 则， 当且仅当且即时取等号，此时取得最小值． 故答案为：，． 结合已知，把所求的式子分子上的1进行代换，然后进行分离后结合基本不等式即可求解． 本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】【分析】 考查向量加法的几何意义，向量数量积的运算，余弦定理，考查运算求解能力，是较难题． 在中，由余弦定理即可求出，从而得出，并求出，这样在中，由余弦定理即可求出AD的值，从而求出，这样在中即可求出DE的值，而，从而可求出数量积的值． 【解答】 解：在中，，， 由余弦定理得： ， ，， ． 在中： ， ， ， 在中，； ． 故答案为：． 16.【答案】解：Ⅰ， 由正弦定理得，． 化简得，． 由余弦定理得，． 又， ．Ⅱ由Ⅰ知，， 又 ，， ‎ ‎． 又，， ． ， ， ． ‎ ‎【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．Ⅰ由正弦定理化简已知可得，由余弦定理cosA的值，结合范围，可求A的值．Ⅱ由正弦定理可求sinB，利用同角三角函数基本关系式可求cosB的值，根据二倍角公式可求sin2B，cos2B的值，利用两角和的正弦函数公式即可求解． 17.【答案】证明：，，， ， ，， 又侧面，， 又，平面ABC； 以B为原点，BC，，BA分别为x， y，z轴，建立空间直角坐标系， 则0，，0，，，， ，0，； 则，，0，； 设平面的法向量为y，，则，即， 令，得，，所以； 设平面的法向量为y，，则，即， 令，求得； ，， ‎ 二面角的余弦值为； 假设在棱CA上存在一点M，使得EM与平面所成角的正弦值为， 不妨设，； 又y，，0，； 即，所以0，； 所以，平面的法向量为； 则EM与平面所成角的正弦值为： ，， 化简得，解得或； 所以在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面所成角的正弦值为， 此时或． ‎ ‎【解析】推导出，，由此证明平面ABC． 以B为原点，BC，，BA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角的余弦值； 设在棱CA上存在一点M，使得EM与平面所成角的正弦值为，且，，利用法向量求出EM与平面所成角的正弦值，列方程求出的值即可． 本题考查了线面垂直的证明问题，也考查了线面角、面面角的计算问题，考查了运算求解能力，是中档题． 18.【答案】解：Ⅰ由题意可知：，，，，，， 椭圆的方程为；Ⅱ设，，由 消去y，得， ，，，， 为线段CD中点，， 又，，‎ ‎， 又点Q到的距离， ． 此时， 圆心Q到的距离，成立； 综上：即为所求． ‎ ‎【解析】Ⅰ由题意焦距及焦点在x轴的焦点坐标，和Q坐标即可求出，a，c再，即可写出椭圆方程；Ⅱ设的方程联立椭圆，设而不求的方法求出弦长AB，再由题意直线CD，联立圆，设而不求求出CD的中点M坐标，再用点到直线的距离公式求出M到直线AB的距离，由面积求出参数k的值． 考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题 19.【答案】解：数列满足，可得：，设，数列是等差数列，公差为1，首项为1，所以； 易得，其前n项和：， ， 可得： ； ， 或写成． ‎ ‎【解析】利用已知条件两边同除，推出数列是等差数列，然后求解的通项公式． 利用数列的通项公式，求解数列的通项公式，然后通过错位相减法求和即可． 化简通项公式，利用裂项求和求解即可． 本题考查数列通项公式的求法，数列求和的应用，考查计算能力． 20.【答案】解：， ‎ ‎，， 当时，，， 函数的单调增区间是，无单调减区间，无极值； 当时，令，解得， 当时，；当，， 函数的单调减区间是，单调增区间是， 在区间上的极小值为 ，无极大值． 对于任意，都有成立， ， 即问题转化为对于恒成立， 即对于恒成立， 令，则， 令，，则， 在区间上单调递增， 故， 故， 在区间上单调递增，函数， 要使，对于恒成立，只要， ，即实数k的取值范围是． 证明：，由知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且， 不妨设，则， 要证，只要证，即证， 在区间上单调递增， ，又，即证， 构造函数 ， 即， ‎ ‎， ，，，即， 函数在区间上单调递增，故， ，故， ，即， 成立． ‎ ‎【解析】本题考查函数的单调区间和极值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，属于难题． 由题意，，由此根据，利用导数性质分类讨论，能求出函数的单调区间和极值． 问题转化为对于恒成立，令，则，令，，则，由此利用导数性质能求出实数k的取值范围． 设，则，要证，只要证，即证，由此利用导数性质能证明． ‎