2019-2020学年河北省大名一中高二上学期第一次月考数学试题 解析版

2019-2020学年河北省大名一中高二上学期第一次月考数学试题 解析版

河北省大名一中2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试题 2019.9‎ ‎ ‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ ‎1.若曲线表示椭圆，则k的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. 或 ‎2.不等式2x2-5x-3≥0成立的一个必要不充分条件是（　　）‎ A. B. 或 C. D. 或 ‎3.若样本数据x1，x2，…，x10的方差为8，则数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的方差为（）‎ A. 31 B. 15 C. 32 D. 16‎ ‎4.已知一组数据的频率分布直方图如图所示则众数、中位数、平均数分别为（ ） ​‎ A. 63、64、66 ‎ B. 65、65、67 ‎ C. 65、64、66 ‎ D. 64、65、64‎ ‎5.有线性相关关系的变量x，y有观测数据（xi，yi）（i=1，2，…，15），已知它们之间的线性回归方程是，若，则（　　）‎ A. 17 B. 86 C. 101 D. 255‎ ‎6.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到200住在第Ⅰ营区，从201到500住在第Ⅱ营区，从501到600住在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）‎ A. 16，26，8 B. 17，24，9 C. 16，25，9 D. 17，25，8‎ ‎8.甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.给出如下四个命题： ①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题； ②命题“若a＞b，则2a＞2b-1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b-1”； ③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1”； ④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件． 其中正确的命题的个数是（　　）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎10.四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放一枚质地均匀的硬币，所有人同时抛掷自己面前的硬币一次．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着，那么，事件“相邻的两个人站起来”没有发生的概率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.椭圆中，以点M（1，2）为中点的弦所在直线斜率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知椭圆的左，右焦点是F1、F2，P是椭圆上一点，若|PF1|=2|PF2|，则 椭圆的离心率的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13.命题“∀x∈R，3x2-2x+1＞0”的否定是______．‎ ‎14.某中心医院体检中心对某学校高二年级的1200名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一个容量为150的样本，已知样本中女生比男生少抽了10人，则该年级的女生人数是________．‎ ‎15.设椭圆的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为______ ．‎ ‎16.在平面直角坐标系xOy中，已知F是椭圆的左焦点，A为右顶点，P 是椭圆上一点且PF⊥x轴．若 ，则该椭圆的离心率为______．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.第17题10分，第18-22题每题12分）‎ ‎17.已知p：∀x∈R，不等式恒成立，q：椭圆的焦点在x轴上．若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎18.某培训班共有n名学生，现将一次某学科考试成绩(单位：分)绘制成频率分布直方图，如图所示其中落在[80，90)内的频数为36． ​​ (1)请根据图中所给数据，求出a及n的值； (2)从如图5组中按分层抽样的方法选取40名学生的成绩作为一个样本，求在第一组、第五组(从左到右)中分别抽取了几名学生的成绩？ (3)在(2)抽取的样本中的第一与第五组中，随机抽取两名学生的成绩，求所取两名学生的平均分不低于70分的概率． ‎ ‎19.某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表： ‎ 年份 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ 年份代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人均纯收入y ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎5.2‎ ‎5.9‎ ‎（1）求y关于t的线性回归方程； （2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入． 附：用最小二乘法求线性回归方程系数公式 ‎ ‎20.随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图． （1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； （2）计算甲班的样本方差； （3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．‎ ‎21.已知椭圆+=1（a＞b＞0）右顶点与右焦点的距离为-1，短轴长为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为，求直线AB的方程．‎ ‎22.设椭圆的对称中心为坐标原点，其中一个顶点为A(0，2)，右焦点F与点的距离为2． (1)求椭圆的方程； (2)是否存在经过点(0，-3)的直线l，使直线l与椭圆相交于不同的两点M，N 满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D 【解析】‎ ‎【分析】 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 曲线表示椭圆，可得，解出即可得出． 【解答】 解：∵曲线表示椭圆，∴，解得-1＜k＜1，且k≠0． 故选D． ‎ ‎2.【答案】B 【解析】‎ ‎【分析】 本题主要考查了充分必要条件，考查不等式解法，是一道基础题； 解题时，先​求出不等式2x2-5x-3≥0的解集，再根据集合的包含关系判断即可． 【解答】 解：解不等式2x2-5x-3≥0得：x≥3或x≤-， ∴不等式2x2-5x-3≥0成立的一个必要不充分条件是：x＜0或x＞2， 故选B．‎ ‎3.【答案】C 【解析】‎ ‎【分析】 本题考查了方差的性质与应用问题，属于基础题目． ​根据样本数据的方差是，得出对应数据的方差是 【解答】  解：因为样本数据的方差为8，所以数据的方差为 故选C．‎ ‎4.【答案】B 【解析】‎ ‎【分析】 本题考查了利用频率分布直方图求数据的众数、中位数和平均数的问题，属于基础题，在频率分布直方图中，众数是最高的小长方形的底边的中点横坐标的值 ‎，中位数是所有小长方形的面积相等的分界线，平均数是各小长方形底边中点的横坐标与对应频率的积的和，由此求出即可． 【解答】‎ 解：由频率分布直方图可知， 众数为=65， 由10×0.03+5×0.04=0.5，所以面积相等的分界线为65，即中位数为65， 平均数为55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67. 故选B.‎ ‎5.【答案】D 【解析】‎ 解：∵， ∴===， 则=5×+11=5×+11=6+11=17， 则15=15×17=255， 故选：D． 根据条件求出，的值，即可得到结论． 本题主要考查线性回归方程的应用，根据直线过样本中心（，）是解决本题的关键．‎ ‎6.【答案】C 【解析】‎ ‎【分析】 本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论． 【解答】 解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有6种方法.红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法；红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法， ​所以所求的概率为=． 另解：由列举法可得，红、黄、白、紫记为1，2，3，4， 即有（12，34），（13，24），（14，23），（23，14），（24，13），（34，12）， 则P==． 故选C． ‎ ‎7.【答案】D 【解析】‎ ‎【分析】 本题解题的关键是看出每一个组里的人数，属于基础题．依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则构成以3为首项，12为公差的等差数列，从而得出三个营区被抽中的人数．本题考查系统抽样方法，‎ ‎【解答】 解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人， 则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列， 所以,解得n， 故可分别求出在001到200中有17人， ,解得m， 在201至500号中共有42-17=25人， ​则501到600中有50-17-28=8人． 故选D．‎ ‎8.【答案】A 【解析】‎ ‎【分析】 首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两人平局的情况，再利用概率公式即可求得答案．此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【解答】 解：甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，所有可能出现的结果列表如下：‎ ‎       甲  乙 锤 剪子 包袱 锤 ‎（锤，锤）‎ ‎（锤，剪子）‎ ‎（锤，包袱）‎ 剪子 ‎（剪子，锤）‎ ‎（剪刀，剪子）‎ ‎（剪子，包袱）‎ 包袱 ‎（包袱，锤）‎ ‎（包袱，剪子）‎ ‎（包袱，包袱）‎ ‎∵由表格可知，共有9种等可能情况．其中平局的有3种：（锤，锤）、（剪子，剪子）、（包袱，包袱）． ∴甲和乙平局的概率为：=． 故选：A． ‎ ‎9.【答案】C 【解析】‎ 解：①若“p且q”为假命题，则p、q存在至少一个假命题，但不一定均为假命题，故错误； ②命题“若a＞b，则2a＞2b-1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b-1”，故正确； ③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1”，故正确； ‎ ‎④在△ABC中，“A＞B”⇔“a＞b”⇔“2RsinA＞2RsinB”⇔“sinA＞sinB”， 故“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件，故正确． 故选：C． 根据复合命题真假判断的真值表，可判断①；根据四种命题的定义，可判断②；根据全称命题的否定，可判断③；根据充要条件的定义，可判断④． 本题以命题的真假判断与应用为载体考查了复合命题，四种命题，全称命题，充要条件等知识点，难度中档．‎ ‎10.【答案】B 【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题主要考查古典概型求概率，利用间接法，先计算有相邻的两个人站起来的概率，属中档题.‎ ‎【解答】‎ 解：由题意可知，四个人抛硬币，一共有24=16种不同的情况，‎ 其中有相邻两个人同为正面需要站起来有4种情况，三个人需要站起来有4种情况，‎ 四个人都站起来共有1种情况，所以有相邻的两个人站起来的概率，‎ 故没有相邻的两个人站起来的概率为，‎ 故选B.‎ ‎11.【答案】D 【解析】‎ ‎【分析】 本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系，属于基础题. 在解决弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的，先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率. 【解答】 解：设弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2）， 代入椭圆得， ‎ 两式相减得+=0， 即=， 即=， 即=， 即=， ∴弦所在的直线的斜率为. 故选D.‎ ‎12.【答案】C 【解析】‎ ‎【分析】 本题考查椭圆的定义以及离心率范围，考查计算能力，属于中档题． 根据已知及椭圆的性质及几何意义，求出离心率e的取值范围. 【解答】 解：∵由椭圆的定义：|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|=2|PF2| ∴|PF1|=，|PF2|= 又即 所以： 所以椭圆的离心率e的取值范围是[，1）， 故选C．‎ ‎13.【答案】∃x0∈R，3x02-2x0+1≤0 【解析】‎ 解：命题为全称命题，则命题“∀x∈R，3x2-2x+1＞0”的否定是的否定为∃x0∈R，3x02-2x0+1≤0， 故答案为：∃x0∈R，3x02-2x0+1≤0． 根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．‎ ‎14.【答案】560 【解析】‎ ‎【分析】本题主要考查分层抽样的应用. 【解答】解：设该校的女生人数为x，则男生人数为1200－x． ‎ 抽样比例为， ∵女生比男生少抽了10人， ∴，解得x＝560． 故该校的女生人数为560. ​故答案为560.‎ ‎15.【答案】[-2，1] 【解析】‎ 解：如下图所示，在直角坐标系中作出椭圆：   由椭圆，a=2，b=1，c=，则焦点坐标为F1（-，0），F2（，0）， 设点M坐标为M（x，y），由，可得y2=1-； =（--x，-y），=（-x，-y）； =（--x，-y）•（-x，-y）=x2-3+1-=-2， 由题意可知：x∈[-2，2]，则x2∈[0，4]， ∴的取值范围为[-2，1]． 故答案为：[-2，1]． 由题意可知：焦点坐标为F1（-，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），可得y2=1-，=（--x，-y）•（-x，-y）=x2-3+1-=-2，则x2∈[0，4]，的取值范围为[-2，1]． 本题考查椭圆的简单几何性质，考查向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎16.【答案】 【解析】‎ 解：把x=-c带入椭圆方程得+=1，解得y=±，∴PF==， 由PF=AF可得：=（a+c），即=， ∴e==． 故答案为：． 计算PF，根据化简得出离心率的值． 本题考查了椭圆的简单性质，属于中档题．‎ ‎17.【答案】解：∵p：∀x∈R，不等式恒成立， ‎ ‎∴(x-)2+， 即， 解得：； q：椭圆的焦点在x轴上， ∴m-1＞3-m＞0， 解得：2＜m＜3， 由p∧q为真知，p，q皆为真， 解得． 【解析】‎ 通过不等式恒成立求出p中m的范围；椭圆的焦点在x轴上求出m的范围，利用命题p∧q为真命题，求出m的交集即可．‎ ‎18.【答案】解：(1)由频率分布表可得第4组的频率为：1-0.05-0.225-0.35-0.075=0.3 ∴a==0.03，n==120. (2)由分层抽样的特点可得：第一组应抽0.05×40=2个，第五组应抽0.075×40=3个 (3)设第一组抽到的2个分数记作A1，A2，第五组的3个记作B1，B2，B3 从这两组中抽取2个有A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3， B1B2，B1B3，B2B3共10种，其中平均分不低于70分的有9种， 故所求的概率为：P=. 【解析】‎ ‎ 本题考查频率分布直方图，分层抽样，和古典概型计算公式，属于基础题. ​(1)由频率分布表各频率和为1的特点易得第4组的频率，进而可得a和n的值； (2)利用分层抽样的特点进行求解； (3)由(2)可知第一组，第五组分别抽到的2个分数，3个分数，分别记作A1，A2，和B1，B2，B3由列举法可得答案．‎ ‎19.【答案】解：（1）由题意， =×（1+2+3+4+5+6+7）=4， =×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3， ∴===0.5， =-=4.3-0.5×4=2.3． ∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3； （2）由（1）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元． 将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得： =0.5×9+2.3=6.8， 故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元 【解析】‎ ‎ ‎ ‎（1）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程． （2）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值 本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题 ‎20.【答案】解：（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160～169之间，而乙班身高集中于170～180之间． 因此乙班平均身高高于甲班 （2）， 甲班的样本方差为： ×[（158-170）2+（162-170）2+（163-170）2+（168-170）2+（168-170）2+（170-170）2+（171-170）2+（179-170）2+（179-170）2+（182-170）2]=57.2． （3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A； 从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173）（181，176） （181，178）（181，179）（179，173）（179，176）（179，178）（178，173） （178，176）（176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件．∴．（12分） 【解析】‎ ‎ 本题中“茎是百位和十位”，叶是个位，从图中分析出参与运算的数据，代入相应公式即可解答． 茎叶图的茎是高位，叶是低位，所以本题中“茎是百位和十位”，叶是个位，从图中分析出参与运算的数据，代入相应公式即可解答．从茎叶图中提取数据是利用茎叶图解决问题的关键．‎ ‎21.【答案】解：（Ⅰ）由题意，，解得a=，c=1． 即椭圆方程为=1. （Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，|AB|=，此时S=,不符合题意，故舍掉； 当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2-6）=0． 设A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以|AB|=． 原点到直线的AB距离d=‎ ‎， 所以三角形的面积S=． 由S=可得k2=2，∴k=±， 所以直线AB：=0或AB：=0． 【解析】‎ 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理确定三角形的面积是关键． （Ⅰ）根据椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为，可得，由此，即可求得椭圆方程； （Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时不符合题意；当直线AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得，进而可求三角形的面积，利用，即可求出直线AB的方程．‎ ‎22.【答案】解：(1)依题意，设椭圆方程为， 则其右焦点坐标为，由|FB|=2， 得，即，故． 又 ∵b=2，∴a2=12， 从而可得椭圆方程为． (2)由题意可设直线l的方程为y=kx-3(k≠0)，由|AM|=|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上， 由消去y得x2+3(kx-3)2=12，即可得方程(1+3k2)x2-18kx+15=0…(*) 当方程 (*)的△=(-18k)2-4(1+3k2)×15=144k2-60＞0 即时方程(*)有两个不相等的实数根． 设M (x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点P(x0，y0)， 则x1，x2是方程(*)的两个不等的实根，故有． 从而有，． 于是，可得线段MN的中点P的坐标为 又由于k ≠0，因此直线AP的斜率为 ‎， 由AP ⊥MN，得，即5+6k2=9，解得， ∴， ∴综上可知存在直线l：满足题意． 【解析】‎ ‎(1)直接根据条件得到以及b=2；求出a2=12即可得到椭圆的方程； (2)设直线l的方程为y=kx-3(k≠0)，由|AM|=|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上；联立直线方程和椭圆方程得到k的屈指范围以及点M，N的坐标和k的关系，结合点A在线段MN的垂直平分线对应的斜率相乘等于-1即可求出结论．‎