【数学】2019届一轮复习人教A版选修4-2矩阵与变换第2课时逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量学案

【数学】2019届一轮复习人教A版选修4-2矩阵与变换第2课时逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量学案

第2课时　逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与 ‎ 特征向量（对应学生用书（理）194 197页）
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‎ ‎① 掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并能进行矩阵的运算.② 会求二阶矩阵的特征值和特征向量，会利用特征值和特征向量进行矩阵运算.‎ ‎① 理解逆矩阵的意义，掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并能进行矩阵的运算.② 会求二阶矩阵的特征值和特征向量，会利用矩阵求解方程组，会利用特征值和特征向量进行矩阵运算.‎ ‎
‎ ‎1. 设二阶矩阵A，B满足A－1＝，BA＝，求B－1.‎ 解：∵ B＝BAA－1＝＝，‎ 设B－1＝，则＝，‎ 即＝，‎ ‎∴ 解得 ‎∴ B－1＝.‎ ‎2. 已知矩阵A＝，B＝，求矩阵A－1B.‎ 解：设矩阵A的逆矩阵为，‎ 则＝，‎ 即＝，‎ 所以a＝－1，b＝c＝0，d＝，‎ 从而矩阵A的逆矩阵为A－1＝，‎ 所以A－1B＝＝.‎ ‎3. 已知矩阵M＝的一个特征值为－2，求M2.‎ 解：将λ＝－2代入＝λ2－（x－1）λ－（x＋5）＝0，得x＝3.‎ ‎∴ 矩阵M＝，∴ M2＝.‎ ‎4. 设是矩阵M＝的一个特征向量，求实数a的值.‎ 解：设是矩阵M属于特征值λ的一个特征向量，则＝λ，故解得 ‎5. 已知矩阵M＝的属于特征值8的一个特征向量是e＝，点P（－1，2）在M对应的变换作用下得到点Q，求点Q的坐标.‎ 解：由题意知＝8×，‎ 故解得 ‎∴ ＝，‎ ‎∴ 点Q的坐标为（－2，4）.‎ ‎
‎ ‎1. 逆变换与逆矩阵 ‎（1） 对于二阶矩阵A，B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵.‎ ‎（2） 若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且（AB）－1＝B－‎1A－1.‎ ‎（3） 利用行列式解二元一次方程组.‎ ‎2. 特征值与特征向量 ‎（1） 设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量.‎ ‎（2） 从几何上看，特征向量经过矩阵A对应的变换作用后，与原向量保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变（λ>0），或者方向相反（λ<0）.特别地，当λ＝0时，特征向量就被变换成了零向量.‎ ‎
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,　　　　　　　　　1　求逆矩阵与逆变换)‎ ‎
,　　　　　1)　已知矩阵A＝，B＝.求矩阵C，使得AC＝B.‎ 解： 因为det（A）＝2×3－1×1＝5，‎ 所以A－1＝＝.‎ 由AC＝B，得（A－‎1A）C＝A－1B，‎ 所以C＝A－1B＝‎ ＝.‎ ‎
变式训练 ‎ （2017·常州期末）已知矩阵A＝，列向量X＝，B＝.若AX＝B，直接写出A－1，并求出X.‎ 解：由A＝，得A－1＝.‎ 由AX＝B，得X＝A－1B＝＝.‎ ‎
,　　　　　　　　　2　求特征值与特征向量)‎ ‎
,　　　　　2)　求矩阵的特征值及对应的特征向量.‎ 解：特征多项式f（λ）＝＝（λ－3）2－1＝λ2－6λ＋8.‎ 由f（λ）＝0，解得λ1＝2，λ2＝4.‎ 将λ1＝2代入特征方程组，得⇒x＋y＝0，可取为属于特征值λ1＝2的一个特征向量.‎ 同理，当λ2＝4时，由⇒x－y＝0，‎ 所以可取为属于特征值λ2＝4的一个特征向量.‎ 综上所述，矩阵有两个特征值λ1＝2，λ2＝4；‎ 属于λ1＝2的一个特征向量为，属于λ2＝4的一个特征向量为.‎ ‎
变式训练 ‎（2017·苏北三市模拟）已知矩阵A＝，若A＝，求矩阵A的特征值.‎ 解： 因为A＝＝＝，‎ 所以 解得 所以A＝.‎ 所以矩阵A的特征多项式为f（λ）＝＝（λ－2）（λ－1）－6＝λ2－3λ－4.‎ 令f（λ）＝0，解得矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝4.‎ ‎
,　　　　　　　　　3　根据特征值或特征向量求矩阵)‎ ‎
,　　　　　3)　已知矩阵A＝.若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝，属于特征值1的一个特征向量为α2＝，求矩阵A，并写出A的逆矩阵.‎ 解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝，可得＝6，即c＋d＝6　①.‎ 由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2＝，可得＝，即‎3c－2d＝－2　②.‎ 联立①②解得即A＝，‎ 所以A的逆矩阵是.‎ 已知二阶矩阵M有特征值λ＝3及对应的一个特征向量e1＝，并且在矩阵M对应的变换作用下将点（－1，2）变换成（9，15），求矩阵M.‎ 解： 设M＝，则＝3＝，‎ 故 ＝，故 联立以上两个方程组解得 故M＝.‎ ‎
,　　　　　　　　　4　特征值与特征向量的综合应用)‎ ‎
,　　　　　4)　已知矩阵A＝，向量α＝，计算A5α.‎ 解：因为f（λ）＝＝λ2－5λ＋6.‎ 由f（λ）＝0，得λ＝2或λ＝3.‎ 当λ＝2时，对应的一个特征向量为α1＝；当λ＝3时，对应的一个特征向量为α2＝.‎ 设＝m＋n，解得 所以A5α＝2×25＋1×35＝.‎ ‎
变式训练 已知矩阵M＝的两个特征向量α1＝，α2＝.若β＝，求M2β.‎ 解：设矩阵M的特征向量α1对应的特征值为λ1，特征向量α2对应的特征值为λ2，‎ 则由可解得 又β＝＝＋2＝α1＋2α2，‎ 所以M2β＝M2（α1＋2α2）＝λα1＋2λα2＝4＋2＝.‎ ‎
‎ ‎1. （2017·苏州期初）已知α＝为矩阵A＝属于λ的一个特征向量，求实数a，λ的值及A2.‎ 解：由条件可知，＝λ，‎ 所以解得 因此A＝，‎ 所以A2＝＝.‎ ‎2. （2017·苏州期中）已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝，并且矩阵M将点（－1，3）变换为（0，8）.‎ ‎（1） 求矩阵M；‎ ‎（2） 求曲线x＋3y－2＝0在矩阵M对应的变换作用下的新曲线方程.‎ 解：（1） 设M＝，由＝8及＝，‎ 得解得∴ M＝.‎ ‎（2） 设原曲线上任一点P（x，y）在矩阵M对应的变换作用下的对应点为P′（x′，y′），‎ 则＝，即 解得 代入x＋3y－2＝0并整理得x′－2y′＋4＝0，‎ 即曲线x＋3y－2＝0在矩阵M对应的变换作用下得到的新曲线方程为x－2y＋4＝0.‎ ‎3. （2017·南京、盐城期末）设矩阵M＝的一个特征值λ对应的一个特征向量为，求实数m与λ的值.‎ 解：由题意得＝λ，‎ 则解得 ‎4. （2017·无锡期末）已知变换T将平面内的点，（0，1）分别变换成点，.设变换T对应的矩阵为M.‎ ‎（1） 求矩阵M；‎ ‎（2） 求矩阵M的特征值.‎ 解：（1） 设M＝，则＝，‎ ＝，‎ 得a＝3，b＝－，c＝－4，d＝4，‎ ‎∴ M＝.‎ ‎（2） 设矩阵M的特征多项式为f（λ），‎ ‎∴ f（λ）＝＝（λ－3）（λ－4）－6＝λ2－7λ＋6.‎ 令f（λ）＝0，则λ1＝1，λ2＝6.‎ ‎
‎ ‎1. 已知a，b是实数，如果矩阵A＝所对应的变换T把点（2，3）变成点（3，4）.‎ ‎（1） 求a，b的值；‎ ‎（2） 若矩阵A的逆矩阵为B，求B2.‎ 解：（1） 由题意，得＝，‎ 故解得 ‎（2） 由（1），得A＝.‎ 由矩阵的逆矩阵公式得B＝.‎ 所以B2＝.‎ ‎2. （2017·南通、泰州模拟）设矩阵A满足：A＝，求矩阵A的逆矩阵A－1.‎ 解：（解法1）设矩阵A＝，则＝，所以a＝－1，‎2a＋6b＝－2，c＝0，‎2c＋6d＝3.‎ 解得b＝0，d＝，所以A＝.根据逆矩阵公式得A－1＝.‎ ‎（解法2）在A＝两边同时左乘逆矩阵A－1，得＝A－1.‎ 设A－1＝，则＝，‎ 所以－a＝1，－‎2a＋3b＝2，－c＝0，－‎2c＋3d＝6.‎ 解得a＝－1，b＝0，c＝0，d＝2，从而A－1＝.‎ ‎3. 已知矩阵M＝，求逆矩阵M－1的特征值.‎ 解：设M－1＝，‎ 则MM－1＝＝，‎ 所以＝，‎ 所以解得所以M－1＝.‎ M－1的特征多项式为f（λ）＝＝（λ－1），令f（λ）＝0，解得λ＝1或λ＝.‎ 所以矩阵M的逆矩阵M－1的特征值为1和.‎ ‎4. 已知矩阵M＝，β＝，计算M6β.‎ 解：矩阵M的特征多项式为f（λ）＝＝λ2－2λ－3.‎ 令f（λ）＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，对应的一个特征向量分别为α1＝，α2＝.‎ 令β＝mα1＋nα2，得m＝4，n＝－3.‎ M6β＝M6（4α1－3α2）＝4（M6α1）－3（M6α2）＝4×36－3×（－1）6＝.‎ [备课札记]‎