北京市海淀区2020届高三一模数学试题

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海淀区高三年级第二学期阶段性测试 数学2020春 第一部分(选择题共40分)‎ 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.在复平面内,复数对应点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：，对应的点为，在第一象限 考点：复数运算 ‎2.已知集合， ，则集合可以是（ ）‎ A. {1，2} B. {1，3} C. {0，1，2} D. {1，2，3 }‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 集合，是数集， ,, 集合中一定没有元素，由选项可得.‎ ‎【详解】，则集合中一定有元素，又,集合中一定没有元素 可以是 ‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查集合交集运算. 交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.‎ ‎3.已知双曲线的离心率为则b的值为（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题知 ， 及联解可得 ‎【详解】由题知 ，，，‎ ‎.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用双曲线离心率求双曲线方程.‎ 求双曲线方程的思路: (1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在轴上或轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．‎ ‎(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为求解．‎ ‎4.已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由数轴知 ，不妨取检验选项得解.‎ ‎【详解】由数轴知 ，不妨取，‎ 对于A， ， 不成立.‎ 对于B，， 不成立.‎ 对于C， ， 不成立.‎ 对于D， ，因此成立. ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．‎ ‎5.在的展开式中，常数项为（ ）‎ A. B. ‎120 ‎C. D. 160‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出二项式展开式的通项公式求出常数项.‎ ‎【详解】展开式的通项 ，令 ‎ 常数项 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查二项定理. 二项展开式问题的常见类型及解法:‎ ‎(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可．‎ ‎(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数．‎ ‎6.如图，半径为1的圆M与直线l相切于点A，圆M沿着直线l滚动.当圆M滚动到圆时，圆与直线相切于点B，点A运动到点，线段AB的长度为则点到直线的距离为（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 线段AB的长度为即圆滚动了圈，此时到达，，则点到直线的距离可求.‎ ‎【详解】线段AB的长度为设圆滚动了圈，则 即圆滚动了圈，‎ 此时到达，，则点到直线的距离为.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查圆的渐开线变式运用.‎ 圆的渐开线性质:(1)渐开线的发生线滚过的距离等于其在基圆滚过的弧长.(2)渐开线上任一点的法线恒与基圆相切.‎ ‎7.已知函数f(x)=|x-m|与函数g(x)的图象关于y轴对称.若g(x)在区间(1，2)内单调递减，则m的取值范围为（ ）‎ A. [-1，+∞) B. (-∞，-1] C. [-2，+∞) D. (-∞，-2]‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数与的图象关于轴对称,得到，再利用绝对值函数性质列出不等式求解.‎ ‎【详解】函数与函数的图象关于轴对称,‎ ‎，‎ 在区间内单调递减，‎ 则，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.‎ ‎8.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 四棱锥底面是直角梯形，底面,可知最长棱是,在直角三角形中利用勾股定理可解.‎ ‎【详解】‎ 由三视图知，四棱锥底面是直角梯形，底面,,最长棱是，‎ 在中，，在中，，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】由几何体三视图还原其直观图时应注意的问题.要熟悉柱、锥、球、台的三视图，结合空间想象将三视图还原为直观图．‎ ‎9.若数列满足则“”是“为等比数列”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎,不妨设，则可证充分性；‎ 为等比数列且时得不到，可知必要性不成立 ‎【详解】不妨设，则 ‎ 为等比数列；故充分性成立 反之若为等比数列，不妨设公比为，‎ ‎， ‎ 当时，所以必要性不成立 故选：A．‎ ‎【点睛】(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与中项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．‎ ‎(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．‎ ‎10.形如(n是非负整数)的数称为费马数，记为数学家费马根据 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出不是质数，那的位数是（ ）‎ ‎(参考数据: lg2≈0.3010 )‎ A. 9 B. ‎10 ‎C. 11 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎,设,两边取常用对数估算的位数即可.‎ ‎【详解】,设，则两边取常用对数得 ‎.‎ ‎，‎ 故的位数是10，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】解决对数运算问题的常用方法：‎ ‎(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．‎ ‎(2)将同底对数的和、差、倍合并．‎ ‎(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．‎ ‎(4)利用常用对数中的简化计算.‎ 第二部分(非选择题共110分)‎ 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.‎ ‎11.已知点P(1，2)在抛物线C上，则抛物线C的准线方程为___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 代入抛物线方程，求出，可求准线方程.‎ ‎【详解】在抛物线上，，‎ 准线方程为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的性质.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．‎ ‎12.在等差数列中，，则数列的前4项的和为___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列基本量关系求通项. 利用等差数列前项和公式求出.‎ ‎【详解】设等差数列的公差为.‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎（2）.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查解决等差数列通项公式及前项和.‎ ‎（1）等差数列基本量计算问题的思路：与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式和前项和公式，在两个公式中共涉及五个量：，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．‎ ‎13.已知非零向量 满足，则=__.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 两边平方求出；化简 可求解.‎ ‎【详解】由两边平方，得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查平面向量数量积的应用.‎ 求向量模的常用方法:‎ ‎(1)若向量是以坐标形式出现的，求向量的模可直接利用公式.‎ ‎(2)若向量 是以非坐标形式出现的，求向量的模可应用公式或，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．‎ ‎14.在△ABC中，，点D在边BC上，CD=2，则AD=___；△ACD的面积为____.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在中用正弦定理求解，在用面积公式可得.‎ ‎【详解】‎ 在中由正弦定理得：，‎ ‎.‎ 在中，，‎ 故答案为： ;.‎ ‎【点睛】本题考查平面几何中解三角形问题.‎ 其求解思路：(1)‎ 把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理、勾股定理求解；‎ ‎(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．‎ ‎15.如图，在等边三角形ABC中， AB=6.动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为f(x)，给出下列三个结论：‎ ‎①函数f(x)的最大值为12；‎ ‎②函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9；‎ ‎③关于x的方程最多有5个实数根.‎ 其中，所有正确结论的序号是____.‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出分别在上运动时的函数解析式，利用分段函数图象可解.‎ ‎【详解】‎ 分别在上运动时的函数解析式，‎ 分别在上运动时的函数解析式，‎ 分别在上运动时的函数解析式，‎ ‎，‎ 由图象知：正确的是①②.‎ 故答案为：①②‎ ‎【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.‎ 三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.‎ ‎16.如图，在三棱柱中，AB⊥平面，点E为的中点.‎ ‎(I)求证：平面ABC；‎ ‎(II)求二面角的大小.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I) 证，在同一平面内用“数据说话”，证 用线面垂直的性质；‎ ‎(II) 以为原点，建立空间直角坐标系，求出 求出平面求出的法向量，利用空间向量夹角公式可得.‎ ‎【详解】(I)⊥平面平面，，‎ 在中，，‎ ‎， ，，‎ 平面ABC；‎ ‎(II)由(I)知,则建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ 设平面的法向量为，‎ 故 ，.‎ 令，，‎ ‎，又平面的法向量为，‎ ‎.‎ 由题知二面角为锐二面角，所以二面角的大小为.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直判定及利用空间向量计算二面角大小.‎ 计算二面角大小的常用方法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小 ‎17.已知函数.‎ ‎(I)求f(0)的值；‎ ‎(II)从①；②这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f(x)在上的最小值，并直接写出函数f(x)的一个周期.‎ ‎【答案】(I) ；(II) ①时，；②时 ‎，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)将代入求值即可；‎ ‎(II)①用二倍角和辅助角公式化简可得，再由可得，结合正弦函数图象求解最值；‎ ‎②，利用抛物线知识求解 ‎【详解】(I)；‎ ‎(II)①，‎ 由题意得，，‎ ‎，，故，‎ 所以当时，取最小值.‎ ‎②，，‎ ‎，令，‎ ‎，‎ 当时，函数取得最小值为.‎ ‎，，‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用.‎ ‎（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成或的形式；‎ ‎（2）根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值. ‎ ‎（3）换元转化为二次函数研究最值.‎ ‎18.科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障，下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图:‎ 其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值(单位:十亿元).‎ ‎(I)从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；‎ ‎(II)从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；‎ ‎(III)根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由.‎ ‎【答案】(I)； (II)分布列如下：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎(III)2010年到2019年共10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，每年基本上都在增加，因此公司在发展的过程中重视研发.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I) 折线图中2010年到2019年共10年中，2010年公司研发投入占当年总营收的百分比在以下 ‎(II) 2010年到2019年共10年中，研发投入超过500亿元的有5年，的取值可能为0，1，2，超几何分布求概率.‎ ‎(III) 图中信息10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，每年基本上都在增加, 判断公司在发展的过程中比较重视研发.‎ ‎【详解】(I)由题知，2010年到2019年共10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，设从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%为事件 ,.‎ ‎(II)由题意得的取值可能为0，1，2‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎.‎ ‎（III）2010年到2019年共10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，每年基本上都在增加，因此公司在发展的过程中重视研发.‎ ‎【点睛】超几何分布的特征.‎ ‎(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．求离散型随机变量分布列的步骤.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎(I)当a=-1时，‎ ‎①求曲线y= f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；‎ ‎②求函数f(x)的最小值；‎ ‎(II)求证:当时，曲线与有且只有一个交点.‎ ‎【答案】（1）切线方程；；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(I)函数求导，求出得切线方程；解求单增区间，解求单减区间；利用单调性求最值；‎ ‎(II)构造得到函数调调性，由零点存在性定理证有且只有一个零点.‎ ‎【详解】(I)当时，‎ ‎①函数，，‎ ‎，即，‎ 曲线在点处的切线方程为.‎ ‎②令，得，令，得，‎ 所以在上单增，在单减,‎ 函数的最小值为.‎ ‎(II) 当时，曲线与有且只有一个交点.‎ 等价于有且只有一个零点.‎ ‎，‎ 当时，，‎ ‎，则，‎ 当时，，‎ ‎，则，‎ 在上单增，‎ 又，‎ ‎，‎ 由零点存在性定理得有唯一零点，即曲线与有且只有一个交点.‎ ‎【点睛】判断函数零点个数及分布区间的方法：‎ ‎（1）解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上；‎ ‎（2）定理法：利用零点存在性定理进行判断；‎ ‎（3）数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断.‎ ‎20.已知椭圆C：的离心率为，的面积为2.‎ ‎(I)求椭圆C的方程；‎ ‎(II)设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q.求证:△BPQ为等腰三角形.‎ ‎【答案】(I)；(II)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)运用椭圆离心率公式和三角形面积公式，结合的关系，解方程可得，从而得到椭圆方程 ‎(II) 设，直线的直线方程为直线的直线方程为，联解求出点坐标，同理求出坐标，,‎ ‎，只需证明,利用作差法可证明.‎ ‎【详解】(I)由题意得，解得，故椭圆的方程为.‎ ‎(II)由题意得,设点，则有，‎ 又直线的直线方程为，直线的直线方程为，‎ ‎，解得，‎ 点的坐标为.‎ 又直线的直线方程为，直线的直线方程为.‎ ‎，解得，‎ 点的坐标为.‎ ‎，.‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎，，△BPQ为等腰三角形.‎ ‎【点睛】‎ 圆锥曲线中的几何证明问题多出现在解答题中，难度较大，多涉及线段或角相等以及位置关系的证明等. 通常利用代数方法，即把要求证的等式或不等式用坐标形式表示出来，然后进行化简计算等进行证明 ‎21.已知数列是由正整数组成的无穷数列.若存在常数，使得任意的成立，则称数列具有性质.‎ ‎（1）分别判断下列数列是否具有性质； (直接写出结论)‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎（2）若数列满足，求证:“数列具有性质”是“数列为常数列”的充分必要条件；‎ ‎（3）已知数列中且.若数列具有性质，求数列的通项公式.‎ ‎【答案】（1）①时，数列具有性质；②时，数列不具有性质.（2）证明见解析（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）代入验证即可得.‎ ‎（2）充分性: 由及数列具有性质可得；必要性：数列为常数列，所以可证.‎ ‎（3）数列具有性质，求出，由，对取值进行证明排除，得到，猜想，用反证法证明猜想成立.‎ ‎【详解】（1）①时，数列具有性质.‎ ‎②时，数列不具有性质.‎ ‎（2），‎ ‎，等号成立，当且仅当，‎ 因为数列具有性质，即，‎ 所以数列为常数列.‎ 必要性：因为数列为常数列，所以，‎ 成立，即数列具有性质.‎ ‎（3）数列具有性质，，‎ ‎，.‎ 若，矛盾；‎ 若则矛盾.‎ 所以，‎ 所以猜想.‎ 证明如下：假设命题不成立，‎ 设（ ），‎ 考虑数列，当时具有性质，‎ 此时，‎ 即或，矛盾，.‎ ‎【点睛】数列与不等式相结合问题的处理方法 ‎(1)如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等．‎ ‎(2)如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等．‎ 总之，解决这类问题，要把数列和不等式的知识巧妙结合起来，综合处理．‎ ‎ ‎