【数学】2018届一轮复习人教A版 绝对值不等式 学案

【数学】2018届一轮复习人教A版 绝对值不等式 学案

选修4－5　不等式选讲 第一节　绝对值不等式 ‎————————————————————————————————‎ ‎[考纲传真]　1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)，|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.‎ ‎1．绝对值三角不等式 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．‎ 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．‎ ‎2．绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解法：‎ 不等式 a>0‎ a＝0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎{x|x＞a或x＜－a}‎ ‎{x∈R|x≠0}‎ R ‎(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：‎ ‎①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；‎ ‎②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.‎ ‎(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法 ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解；‎ ‎②利用零点分段法求解；‎ ‎③构造函数，利用函数的图象求解．‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和．(　　)‎ ‎(2)不等式|a|－|b|≤|a＋b|等号成立的条件是ab≤0.(　　)‎ ‎(3)不等式|a－b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是ab≤0.(　　)‎ ‎(4)当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|成立．(　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2．(教材改编)若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为，则实数a＝________.‎ ‎－3　[依题意，知a≠0.‎ 又|ax－2|＜3⇔－3＜ax－2＜3，‎ ‎∴－1＜ax＜5.‎ 由于|ax－2|＜3的解集为，‎ ‎∴a＜0，＝－且－＝，则a＝－3.]‎ ‎3．(教材改编)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．‎ ‎(－∞，－3]∪[3，＋∞)　[由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，‎ ‎∴|x＋1|＋|x－2|的最小值为3，‎ 要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，‎ 只需|a|≥3，∴a≥3或a≤－3.]‎ ‎4．解不等式x＋|2x＋3|≥2.‎ ‎[解]　当x≥－时，原不等式化为3x＋3≥2，3分 解得x≥－.6分 当x＜－时，原不等式化为－x－3≥2，‎ 解得x≤－5.8分 综上，原不等式的解集是.10分 ‎5．(2016·江苏高考)设a>0，|x－1|<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4|1的解集．‎ 图1‎ ‎[解]　(1)由题意得f(x)＝ ‎3分 故y＝f(x)的图象如图所示．‎ ‎6分 ‎(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，‎ 当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；‎ 当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.8分 故f(x)＞1的解集为{x|1＜x＜3}，‎ f(x)＜－1的解集为.‎ 所以|f(x)|＞1的解集为.10分 ‎[规律方法]　1.本题用零点分段法画出分段函数的图象，结合图象的直观性求出不等式的解集，体现数形结合思想的应用．‎ ‎2．解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，零点分段法操作程序是：找零点，分区间，分段讨论．此外还常利用绝对值的几何意义求解．‎ ‎[变式训练1]　(2016·吉林实验中学模拟)设函数f(x)＝|x－a|.‎ ‎(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥4－|x－1|；‎ ‎(2)若f(x)≤1的解集为[0,2]，＋＝a(m＞0，n＞0)，求证：m＋2n≥4.‎ ‎[解]　(1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥4，‎ ‎①当x≥2时，不等式可化为x－2＋x－1≥4，解得x≥；‎ ‎②当＜x＜时，不等式可化为2－x＋x－1≥4，‎ 不等式的解集为∅；‎ ‎③当x≤时，不等式可化为2－x＋1－x≥4，‎ 解得x≤－.‎ 综上可得，不等式的解集为∪.‎ ‎(2)证明：因为f(x)≤1，即|x－a|≤1，‎ 解得a－1≤x≤a＋1，而f(x)≤1的解集是[0,2]．‎ 所以解得a＝1，‎ 所以＋＝1(m＞0，n＞0)，‎ 所以m＋2n＝(m＋2n) ‎＝2＋＋≥2＋2＝4，‎ 当且仅当m＝2，n＝1时取等号.‎ 绝对值三角不等式性质的应用 ‎　对于任意的实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，记实数M的最大值是m.‎ ‎(1)求m的值；‎ ‎(2)解不等式|x－1|＋|x－2|≤m.‎ ‎[解]　(1)不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，‎ 即M≤对于任意的实数a(a≠0)和b恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值.2分 因为|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|，‎ 当且仅当(a－b)(a＋b)≥0时等号成立，‎ ‎|a|≥|b|时，≥2成立，‎ 也就是的最小值是2，即m＝2.5分 ‎(2)|x－1|＋|x－2|≤2.‎ 法一：利用绝对值的意义得：≤x≤.10分 法二：①当x＜1时，不等式为－(x－1)－(x－2)≤2，‎ 解得x≥，所以x的取值范围是≤x＜1.‎ ‎②当1≤x≤2时，不等式为(x－1)－(x－2)≤2，‎ 得x的取值范围是1≤x≤2.8分 ‎③当x＞2时，原不等式为(x－1)＋(x－2)≤2,2＜x≤.‎ 综上可知，不等式的解集是.10分 ‎[规律方法]　1.(1)利用绝对值不等式性质定理要注意等号成立的条件：当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|；当(a－b)(b－c)≥0时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|.‎ ‎(2)对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．‎ ‎2．第(2)问易出现解集不全或错误．对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值符号还是利用几何意义，都要不重不漏．‎ ‎[变式训练2]　对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围．‎ ‎ 【导学号：31222444】‎ ‎[解]　因为|a－b|≤1，|2a－1|≤1，‎ 所以|3a－3b|≤3，≤，4分 所以|4a－3b＋2|＝ ‎≤|3a－3b|＋＋≤3＋＋＝6，8分 则|4a－3b＋2|的最大值为6，‎ 所以m≥|4a－3b＋2|max＝6，m的取值范围是[6，＋∞).10分 绝对值不等式的综合应用 ‎　(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a＞0.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；‎ ‎(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.‎ 当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；‎ 当－10，解得0，解得1≤x＜2.‎ 所以f(x)>1的解集为.4分 ‎(2)由题设可得f(x)＝ 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)．因此△ABC的面积S＝|AB|·(a＋1)＝(a＋1)2.8分 由题设得(a＋1)2>6，故a>2.‎ 所以a的取值范围为(2，＋∞).10分 ‎[规律方法]　1.研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法．‎ ‎2．第(2)问求解要抓住三点：(1)分段讨论，去绝对值符号，化f(x)为分段函数；(2)数形结合求△ABC的三个顶点坐标，进而得出△ABC的面积；(3)解不等式求a的取值范围．‎ ‎[变式训练3]　(2016·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.‎ ‎(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；‎ ‎(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，恒有f(x)＋g(x)≥3，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.‎ 解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.‎ 因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}.4分 ‎(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|(2x－a)＋(1－2x)|＋a＝|1－a|＋a，6分 当x＝时等号成立，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.　①8分 当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．‎ 当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.‎ 所以a的取值范围是[2，＋∞).10分 ‎[思想与方法]‎ ‎1．绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，几何法(利用绝对值几何意义)，构造函数法．前者体现了分类讨论思想，后者体现了数形结合思想的应用．‎ ‎2．不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件．‎ ‎2．形如|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)的不等式，在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c的符号判断，若c≤0，则不等式解集为R.‎ 课时分层训练(六十九)　绝对值不等式 ‎1．已知|2x－3|≤1的解集为[m，n]．‎ ‎(1)求m＋n的值；‎ ‎(2)若|x－a|＜m，求证：|x|＜|a|＋1.‎ ‎[解]　(1)由不等式|2x－3|≤1可化为－1≤2x－3≤1，‎ 得1≤x≤2，3分 ‎∴m＝1，n＝2，m＋n＝3.5分 ‎(2)证明：若|x－a|＜1，则|x|＝|x－a＋a|≤|x－a|＋|a|＜|a|＋1.10分 ‎2．若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，求实数a的值．‎ ‎[解]　当a＝－1时，f(x)＝3|x＋1|≥0，不满足题意；‎ 当a＜－1时，f(x)＝ ‎3分 f(x)min＝f(a)＝－3a－1＋2a＝5，‎ 解得a＝－6；5分 当a＞－1时，f(x)＝ ‎7分 f(x)min＝f(a)＝－a＋1＋2a＝5，‎ 解得a＝4.9分 综上所述，实数a的值为－6或4.10分 ‎3．(2017·衡水中学调研)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. 【导学号：31222445】‎ ‎(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；‎ ‎(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)当a＝－3时，‎ 不等式f(x)≥3化为|x－3|＋|x－2|≥3.(*)‎ 若x≤2时，由(*)式，得5－2x≥3，∴x≤1.‎ 若2＜x＜3时，由(*)式知，解集为∅.‎ 若x≥3时，由(*)式，得2x－5≥3，∴x≥4.‎ 综上可知，f(x)≥3的解集是{x|x≥4或x≤1}.4分 ‎(2)原不等式等价于|x－4|－|x－2|≥|x＋a|，(**)‎ 当1≤x≤2时，(**)式化为4－x－(2－x)≥|x＋a|，‎ 解得－2－a≤x≤2－a.8分 由条件，[1,2]是f(x)≤|x－4|的解集的子集，‎ ‎∴－2－a≤1且2≤2－a，则－3≤a≤0，‎ 故满足条件的实数a的取值范围是[－3,0].10分 ‎4．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)＜2的解集．‎ ‎(1)求M；‎ ‎(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.‎ ‎[解]　(1)f(x)＝ 当x≤－时，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1；‎ 当－＜x＜时，f(x)＜2；‎ 当x≥时，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1.‎ 所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}.5分 ‎(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0.‎ 因此|a＋b|＜|1＋ab|.10分 ‎5．(2017·湖南长郡中学模拟)已知正实数a，b满足：a2＋b2＝2. ‎ ‎【导学号：31222446】‎ ‎(1)求＋的最小值m；‎ ‎(2)设函数f(x)＝|x－t|＋(t≠0)，对于(1)中求得的m是否存在实数x，使得f(x)＝成立，说明理由．‎ ‎[解]　(1)∵2＝a2＋b2≥2ab，‎ ‎∴≥ab(a＞0，b＞0)，则≤1.‎ 又＋≥≥2，‎ 当且仅当a＝b时取等号，‎ ‎∴＋的最小值m＝2.5分 ‎(2)函数f(x)＝|x－t|＋≥＝＝|t|＋≥2.‎ 对于(1)中的m＝2，＝1＜2.‎ ‎∴满足条件的实数x不存在.10分 ‎6．(2017·郑州质检)已知函数f(x)＝|3x＋2|.‎ ‎(1)解不等式|x－1|＜f(x)；‎ ‎(2)已知m＋n＝1(m，n＞0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a＞0)恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)依题设，得|x－1|＜|3x＋2|，‎ 所以(x－1)2＜(3x＋2)2，则x＞－或x＜－，‎ 故原不等式的解集为.4分 ‎(2)因为m＋n＝1(m＞0，n＞0)，‎ 所以＋＝(m＋n)＝2＋＋≥4，‎ 当且仅当m＝n＝时，等号成立．‎ 令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|‎ ‎＝8分 则x＝－时，g(x)取得最大值＋a，‎ 要使不等式恒成立，只需g(x)max＝＋a≤4.‎ 解得a≤.‎ 又a＞0，因此0＜a≤.10分