2017-2018学年安徽省蚌埠市第二中学高二8月月考数学试题 解析版

2017-2018学年安徽省蚌埠市第二中学高二8月月考数学试题 解析版

蚌埠二中 2017 年 8 月初月考新高二数学试卷 一、选择题(本大题共 12 小题，共 60 分) 1. 已知 tanα=2，tanβ=3，则 tan（α+β）=（ ） A. 1 B. -1 C. D. 【答案】B ..................... 本题选择 B 选项. 2. 在△ABC 中，∠A=60°，a= ，b=4，则满足条件的△ABC （ ） A. 有两个 B. 有一个 C. 不存在 D. 有无数多个 【答案】A 【解析】在△ABC 中,∵∠A=60°，a= ，b=4， ∴由正弦定理得 ,则 ， ∵b>a， ∴B>60°， 故 B 有一个为锐角，一个为钝角，满足条件的△ABC 有 2 个。 本题选择 A 选项. 3. 不等式 ax2+bx+2＞0 的解集是 ，则 a-b 等于（ ） A. -10 B. 10 C. -14 D. 14 【答案】A 【解析】由题意可得方程 ax2+bx+2=0 的解为 或 ， 故 则 a=−12，b=−2， a-b=−10. 本题选择 A 选项. 4. 已知数据 x1，x2，x3，…，x200 是上海市普通职工的 2016 年的年收入，设这 200 个数据的 平均数为 x，中位数为 y，方差为 z，如果再加上中国首富马云的年收入 x201 则这 201 个数据 中，下列说法正确的是（ ） A. x 大大增大，y 一定变大，z 可能不变 B. x 可能不变，y 可能不变，z 可能不变 C. x 大大增大，y 可能不变，z 也不变 D. x 大大增大，y 可能不变，z 变大 【答案】D 【解析】试题分析：：∵数据 x1，x2，x3，…，x200 是上海普通职工 n（n≥3，n∈N*）个人的 年收入， 而 x201 为世界首富的年收入 则 x201 会远大于 x1，x2，x3，…，x200， 故这 21 个数据中，年收入平均数大大增大， 但中位数可能不变，也可能稍微变大， 但由于数据的集中程序也受到 x201 比较大的影响，而更加离散，则方差变大 考点：极差、方差与标准差 5. 己知α为第二象限角，cosa=- ，则 sin2α=（ ） A. - B. - C. D. 【答案】A 【解析】∵α为第二象限角, ， ∴ ， ∴ . 本题选择 A 选项. 6. 一个三角形的三个内角 A、B、C 成等差数列，那么 tan（A+C）的值是（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】B 【解析】试题分析：因为，三角形的三个内角 A、B、C 成等差数列，所以，由三角形内角 和定理， B=60°，A+C=120°， = ，故选 B。 考点：本题主要考查等差数列的概念，三角形内角和定理，特殊角的函数值。 点评：简单题，本题具有一定综合性，解答思路明确，涉及三角形问题，要注意挖掘“隐含 条件”。 7. 某校 1000 名学生的高中数学学业水平考试成绩的频率分布直方图如图所示．规定 90 分 为优秀等级，则该校学生优秀等级的人数是（ ） A. 300 B. 150 C. 30 D. 15 【答案】B 【解析】根据频率分布直方图得，该校学生优秀等级的频率是 0.015×(100−90)=0.15； ∴该校学生优秀等级的人数是 1000×0.15=150. 本题选择 B 选项. 8. 现有 1 名女教师和 2 名男教师参加说题比赛，共有 2 道备选题目，若每位选手从中有放 回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】试题分析：设两道题分别为 A，B 题，所以抽取情况共有：AAA，AAB，ABA， ABB，BAA，BAB，BBA，BBB，其中第 1 个，第 2 个分别是两个女教师抽取的题目， 第 3 个表示男教师抽取的题目，一共有 8 种；其中满足恰有一男一女抽到同一题目的事件有： ABA，ABB，BAA，BAB，共 4 种； 故所求事件的概率为 考点：古典概型及其概率计算公式 9. 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，满足 an＞0，q＞1，且 a3+a5=20，a2a6=64，则 S6 等于（ ） A. 63 B. 48 C. 42 D. 36 【答案】A 【解析】在等比数列{an}中， ∵a2a6=64,∴a3a5=a2a6=64， 又 a3+a5=20， ∴a3 和 a5 为方程 x2−20x+64=0 的两根， ∵an>0，q>1， ∴a30,a11=b11>0， 由等差数列中项的性质可得 ,当且仅当 a1=a11 取得等号。 故答案为：a6 ⩾ b6. 16. 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ，且 ，则 sinA+sinC 的最大值是 ______ ． 【答案】 【解析】∵acosA=bsinA,∴ ， 又由正弦定理得 ， ∴ ， ∵ ， ∴ . ∴ . ∴ . ∴ . ∵ ， ∴ ， ∴ . ∴当 时,sinA+sinC 取得最大值 . 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17. 某学校团委组织了“文明出行，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出 60 名学生，将其成绩（单位：分）整理后，得到如图频率分布直方图（其中分组区间为[40， 50），[50，60），…，[90，100]）． （1）求成绩在[70，80）的频率和[70，80）这组在频率分布直方图中的纵坐标 a 的值； （2）求这次考试平均分的估计值． 【答案】(1)0.025； (2)72.5． 【解析】试题分析： (1)由频率值结合题意可得 ； (2)利用中位数结合频率分布直方图可估计这次考试平均分是 72.5. 试题解析： （1）根据频率分布直方图得，成绩在[70，80）的频率为 f=1-（0.005+0.015+0.020+0.030+0.005）×10=0.25， 对应直方图中纵坐标 a= =0.025； （2）根据频率分布直方图得，这次考试平均分的估计值为 =45×0.05+55×0.15+65×0.20+75×0.25+85×0.30+95×0.05=72.5． 点睛：一是在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率； 二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小 长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是 相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长 方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. 18. 已知 （1）求 sin（α-β）的值 （2）求 tan（α+β）的值． 【答案】(1) ；(2) . 【解析】试题分析： (1)由题意结合两角和差正余弦公式即可求得 的值为 ； 试题解析： （1）∵ ∴cosα=- =- ，sinβ=- =- ， ∴sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ= =- （2）∵tan =- ，tan = ， ∴tan（α+β）= = 19. 已知关于 x 的一元二次不等式 ax2+x+b＞0 的解集为（-∞，-2）∪（1，+∞）． （Ⅰ）求 a 和 b 的值； （Ⅱ）求不等式 ax2-（c+b）x+bc＜0 的解集． 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)答案见解析. 【解析】试题分析： (Ⅰ)由题意结合根与系数的关系得到关于实数 a,b 的方程组，求解方程组可得 ； (Ⅱ)结合(I)的结论化简不等式，然后分类讨论即可求得不等式的解集. 试题解析： （Ⅰ）由题意知-2 和 1 是方程 ax2+x+b=0 的两个根， 由根与系数的关系，得 ， 解得 ； （Ⅱ）由 a=1、b=-2，不等式可化为 x2-（c-2）x-2c＜0， 即（x+2）（x-c）＜0； 则该不等式对应方程的实数根为-2 和 c； 所以，①当 c=-2 时，不等式为（x+2）2＜0，它的解集为∅； ②当 c＞-2 时，不等式的解集为（-2，c）； ②当 c＜-2 时，不等式的解集为（c，-2）． 20. 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c 已知 c•cosB+（b-2a）cosC=0 （1）求角 C 的大小 （2）若 c=2，a+b=ab，求△ABC 的面积． 【答案】(1) ；(2) . 【解析】试题分析： (1)由题意首先利用正弦定理边化角，据此求得 ，则角 C 的大小是 ； (2)由题意结合余弦定理可得 ，然后利用面积公式可求得△ABC 的面积为 . 试题解析： （1）∵c•cosB+（b-2a）cosC=0， 由正弦定理化简可得：sinCcosB+sinBcosC-2sinAcosC=0，即 sinA=2sinAcosC， ∵0＜A＜π， ∴sinA≠0． ∴cosC= ． ∵0＜C＜π， ∴C= ． （2）由（1）可知：C= ． ∵c=2，a+b=ab，即 a2b2=a2+b2+2ab． 由余弦定理 cosC= = ， ∴ab=（ab）2-2ab-c2． 可得：ab=4． 那么：△ABC 的面积 S= absinC= ． 21. 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1，2，3，4 的四个球，现从甲乙两个盒子中各取 出 1 个球，球的标号分别记做 a，b，每个球被取出的可能性相等． （1）求 a+b 能被 3 整除的概率； （2）若|a-b|≤1 则中奖，求中奖的概率． 【答案】(1) ；(2) . 【解析】试题分析： (1)列出所有可能的事件，结合古典概型公式可得求 a+b 能被 3 整除的概率是 ； (2)结合(1)中列出的结果，找到满足题意的事件，可求得中奖的概率是 . 试题解析： （1）从甲乙两个盒子中各取一个球，每个球被取出的可能性相等的结果有： （1，1）（1，2）（1，3）（1，4）， （2，1）（2，2）（2，3）（2，4）， （3，1）（3，2）（3，3）（3，4）， （4，1）（4，2）（4，3）（4，4），16 种结果，每种结果出现的可能性相等，属于古典概率 记“取出的两个球上标号之和能被 3 整除”的事件为 A，则 A 的结果有（1，2）（2，1）（2， 4）（3，3）（4，2）5 种结果， 则 a+b 能被 3 整除的概率 P（A）= ． （2）而满足|a-b|≤1 的数对（a，b）有（1，1），（1，2），（2，1）、（2，2），（2，3）， （3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），共计 10 个， 则中奖的概率 P= ． 22. 各项均为正数的数列{an}中，前 n 项和 ． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若 恒成立，求 k 的取值范围； （3）是否存在正整数 m，k，使得 am，am+5，ak 成等比数列？若存在，求出 m 和 k 的值，若 不存在，请说明理由． 【答案】(1)an=2n-1；(2) ；(3)存在 m=1，k=61 满足题意. 【解析】试题分析： (1)由题中的递推关系结合题意可得数列的通项公式为 ； (2)首先裂项求数列的前 n 项和，然后结合恒成立的条件可得 k 的取值范围是 ； (3)由题中的结论讨论可得存在 m=1，k=61 满足题意. 试题解析： （1）∵ ，∴ ， 两式相减得 ， 整理得（an+an-1）（an-an-1-2）=0， ∵数列{an}的各项均为正数，∴an-an-1=2，n≥2， ∴{an}是公差为 2 的等差数列， 又 得 a1=1，∴an=2n-1． （2）由题意得 ， ∵ ， ∴ = ， ∴ ． （3）∵an=2n-1． 假设存在正整数 m，k，使得 am，am+5，ak 成等比数列，即 即（2m+9）2=（2m-1）•（2k-1）， ∵（2m-1）≠0，∴ ， ∵2k-1∈Z，∴2m-1 为 100 的约数， ∴2m-1=1，m=1，k=61．