【数学】2020届一轮复习人教A版选讲内容（不等式选讲、极坐标与参数方程）学案

【数学】2020届一轮复习人教A版选讲内容（不等式选讲、极坐标与参数方程）学案

‎2020届一轮复习人教A版 选讲内容（不等式选讲、极坐标与参数方程） 学案 达标检测 ‎1．设a，b∈R＋且a＋b＝1，‎ 求证：＋≥.‎ 证明：因为(12＋12)[＋]‎ ‎≥ ‎＝ ‎＝≥25.‎ 所以＋≥.‎ ‎2．设a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝9，求＋＋的最小值．‎ 解：因为(a＋b＋c) ‎＝[()2＋()2＋()2]· ‎≥＝18.‎ 所以＋＋≥2.‎ 当且仅当a＝b＝c时取等号，‎ 所以＋＋的最小值为2.‎ ‎3．已知x，y，z均为实数．若x＋y＋z＝1，求证：＋＋≤3.‎ 证明：因为(＋＋)2≤(12＋12＋12)(3x＋1＋3y＋2＋3z＋3)＝27.‎ 所以＋＋≤3.‎ 当且仅当x＝，y＝，z＝0时取等号．‎ ‎4．已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|.‎ ‎(1)求f(x)的最小值m；‎ ‎(2)若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝m，求证：＋＋≥3.‎ 解：(1)当x<－1时，‎ f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x∈(3，＋∞)；‎ 当－1≤x<2时，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4∈[3，6)；‎ 当x≥2时，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x∈[6，＋∞)．‎ 综上，f(x)的最小值m＝3.‎ ‎(2)证明：a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝3，‎ 因为＋＋＋(a＋b＋c)‎ ‎＝＋＋ ‎≥2＝2(a＋b＋c)．‎ ‎(当且仅当a＝b＝c＝1时，取“＝”)‎ 所以＋＋≥a＋b＋c，即＋＋≥3.‎ ‎【背一背重点知识】‎ ‎1.平面直角坐标系中的伸缩变换：‎ ‎2.极坐标系 ‎（1）极坐标系的概念：平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.‎ ‎（2）直角坐标与极坐标的互化：把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是,则极坐标与直角坐标的互化公式如表:‎ 点 直角坐标 极坐标 互化公式 ‎（3） 常见曲线的极坐标方程：‎ 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为的圆 圆心为,半径为的圆 圆心为,半径为的圆 过极点,倾斜角为的直线 ‎(1)‎ ‎(2)‎ 过点,与极轴垂直的直线 过点,与极轴平行的直线 ‎3、参数方程 ‎（1）参数方程的概念：一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数①,并且对于的每一个允许值,由方程组①所确定的点都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. ‎ ‎（2）求中点的轨迹的参数方程．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）为参数， ‎ ‎（2）的参数方程为为参数，．设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是为参数，．‎ 不等式选讲 ‎【背一背基础知识】‎ 1． 三个正数的算术——几何平均不等式：‎ ‎(1)定理3：如果a，b，c∈　，那么，当且仅当时，等号成立．‎ 即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．‎ (2) 基本不等式的推广：对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即 ，当且仅当a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．‎ 2. 柯西不等式：‎ ‎(1)二维形式：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥ (ac＋bd)2，当且仅当 时，等号成立．‎ ‎(2)向量形式：设α、β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是向量或存在实数k使α＝kβ时等号成立．‎ ‎(3)一般形式：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当＝0 (i＝1,2，…，n)或存在一个实数k，使得 (i＝1,2，…，n)时，等号成立． ‎ ‎(4)二维形式的柯西不等式变式：①·≥|ac＋bd|； ②·≥|ac|＋|bd|.‎ 3. 排序不等式：‎ (1) 乱序和、反序和与顺序和：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn∈R，且a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn，设c1，c2，c3，…，cn是数组b1，b2，b3，…，bn的任意一个排列，则分别将S＝a1c1＋a2c2＋a3c3＋…＋ancn，S1＝a1bn＋a2bn－1＋a3bn－2＋…＋anb1，S2＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn称为数组(a1，a2，a3，…，an)和数组(b1，b2，b3，…，bn)的乱序和,反序和，与顺序和．‎ ‎(2)排序不等式(又称排序原理)：设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于乱序和等于顺序和. ‎ 4. 绝对值不等式：‎ ‎(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．‎ ‎(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当 时，等号成立．‎ ‎【讲一讲释疑解惑】‎ ‎1.必备技能：‎ ‎（1）绝对值不等式的解法 ‎①|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：‎ ‎|ax＋b|≤c(c>0)－c≤ax＋b≤c；‎ ‎|ax＋b|≥c(c>0)ax＋b≥c或ax＋b≤－c.‎ ‎②|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法：‎ ‎（ⅰ）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设ac(c>0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|；③图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解．注意求解的过程中应同解变形 .‎ （1） 绝对值不等式的证明 含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过公式法、平方法、换元法等去掉绝对值转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理： ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．‎ ‎（3）不等式证明的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.‎ ‎2.典型例题 例1.【2018年新课标I卷文】已知．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时不等式成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1).(2)．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）当时，，即 故不等式的解集为．‎ ‎（2）当时成立等价于当时成立．若，则当时；若，的解集为，所以，故．综上，的取值范围为．‎ 例2．【2018年全国卷Ⅲ文】设函数．‎ ‎（1）画出的图像；‎ ‎（2）当，，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）的图像如图所示．‎ ‎（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为．‎ 例3.【2017课标II，文23】已知.证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】(1)证明略；(2)证明略.‎ ‎【解析】‎ ‎(2)因为 所以，因此.‎ ‎【练一练能力提升】‎ 解答题（10*12=120）‎ ‎1．【2018年全国卷II文】设函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）,(2)‎ ‎【解析】‎ ‎（1）当时，‎ 可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．‎ ‎2.【2017课标1，文23】已知函数，．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎（2）当时，．‎ 所以的解集包含，等价于当时．‎ 又在的最小值必为与之一，所以且，得．‎ 所以的取值范围为．‎ ‎3.【2017课标3，文23】已知函数=│x+1│–│x–2│.‎ ‎（1）求不等式≥1的解集；‎ ‎（2）若不等式≥x2–x +m的解集非空，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎（2）原式等价于存在，使，‎ 成立，即，‎ 设，‎ 由（1）知，‎ 当时，，‎ 其开口向下，对称轴， ‎ ‎（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1)；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎（2）设点B的极坐标为,由题设知,于是面积 当时，S取得最大值.‎ 所以面积的最大值为.‎ ‎6.【2017课标3，文22】在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），直线的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．‎ ‎（1）写出C的普通方程；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)−=0，M为l3与C的交点，求M的极径.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 联立 得 ，‎ ‎∴，‎ ‎∴与C的交点的极径为. ‎ ‎7.【2018届新疆维吾尔自治区乌鲁木齐地区高三下学期第二次诊断】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设，直线交曲线于两点，是直线上的点，且，当最大时，求点的坐标．‎ ‎【答案】（Ⅰ），曲线：；（Ⅱ）或．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由（为参数）消去参数可得，‎ ‎∴直线的普通方程为．‎ 由可得，‎ 将代入上式可得，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（Ⅱ）设直线上的三点所对应的参数分别为，‎ 将代入，‎ 整理得，‎ 则，‎ 与异号，‎ 由，得，‎ 当，即时，最大，此时最大，‎ 且，此时，代入可得此时点的坐标为或．‎ ‎8．【2018届北京四中高三年级下学期第二次模拟】设函数，．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设不等式的解集为，当时，证明：．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎（1），‎ 则有①或②或③‎ 解①得，解②得，解③得，‎ 则不等式的解集为． ‎ ‎（2），解得，则，‎ 所以．‎ 当时， ，，‎ 由，有，则成立．‎ 当时，，，‎ 由，有，则．‎ 综上，成立．‎ ‎9．【2018届百校联盟TOP20三月联考】已知函数的最小值为.‎ ‎（1）若，求证：；‎ ‎（2）若， ，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）4‎ ‎【解析】‎ ‎（1）.‎ 要证明，只需证明，‎ ‎∵， ‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，∴， ‎ 可得.‎ ‎（2）由题意， ，‎ 故，‎ 当且仅当， 时，等号成立. ‎ ‎10．【2018届四川省广元市高三第二次统考】已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）若，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若不等式至少有一个负数解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）{x|−1≤x≤0}．（Ⅱ）(− ，2)． ‎ ‎（Ⅱ）作出y=的图象如图所示，当a<0时，的图象如折线①所示， ‎ 由， 得+x−a−2=0，若相切，则Δ=1+4(a+2)=0，得a=− ， ‎ 数形结合知，当a≤− 时，不等式无负数解，则− 至少有一个负数解． ‎ 当a>0时，的图象如折线②所示， ‎ 此时当a=2时恰好无负数解，数形结合知，‎ 当a≥2时，不等式无负数解，则0至少有一个负数解，‎ 则实数a的取值范围是(− ，2)． ‎