【数学】内蒙古开鲁县第一中学2019-2020学年高二下学期期末考试（理）

【数学】内蒙古开鲁县第一中学2019-2020学年高二下学期期末考试（理）

参考答案 一．选择题： 1.A；2.C；3.D；4.C；5.B；6.D；7.C；8.A；9.B；10.B；11.D；12.A 二.填空题：13. 12 11 ；14. 62 ； 15.9 4 2 ；16. ),6()6,(   三．解答题 17.解：（1）设等差数列的 na 的公差为 d 由 1 2 3 3a a a    ，得 23 3a   所以 2 1a   .........1 分 又 1 2 3 15a a a  得 1 3 15a a   ，即 1 1 1 1 ( 2 ) 15 a d a a d        ............2 分 所以 1 5 4 a d     ，或 1 3 4 a d     ..................3 分 即 4 9na n  或 7 4na n  .......5 分 （2）当公差 0d  时， 4 9na n  ...........6 分 1）当 2n  时， 设数列 na 的前项和为 nS ，则 2( 5 4 9) 2 72n nS n n n      ............7 分 2）当 3n  时， 4 9 0na n   1 2 3 1 2 3n n nT a a a a a a a a               1 2 3 1 22na a a a a a       2 22 2 7 12nS S n n     ......9 分 所以数列 na 的前 n 项和      )3(1272 )2(27 2 2 nnn nnnTn ......10 分 18.（1）由  cos8)2cos1(  得  cos4sin2  ，所以  cos4sin22  ， 由 yx   sin,cos ，得曲线C 的直角坐标方程为 xy 42  …………….…….3 分 当直线 l 在 x 轴正半轴及 y 轴正半轴截距相等时, 1tan  , ........4 分 由 ,sin1 cos1        ty tx 得 1tan1 1    x y ，所以 2x y  ， 即此时直线 l 的直角坐标方程为 02  yx ……………………………6 分 （2）当 3   时，直线 l 的参数方程为 11 2 , 31 2 x t y t       (t 为参数）.....7 分 将直线 l 的参数方程带入 xy 42  ，得 2 3 11 4 12 2t t              ， 23 ( 3 2) 3 04 t t    ，..........9 分 1 2 1 2 4 (2 3), 43t t t t     ，………..…………10 分 故 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 3 | | | | 3 t t PA PB t t t t       …………………12 分 19.（1）依题意 631  xx ，解集为 )2,4( ……………………………...………5 分 （2） bababxaxbxaxxf  )()()( ，.......7 分 所以 2 ba …9 分 1)1 1 1 12(4 1)1 1 1 1)(11(4 1 1 1 1 1    b a a b bababa ……….……12 分 20.解：（I）抽取的 40 件产品中，产品尺寸 x∈[12，15]的件数为：40×[（0.2+0.175+0.075） ×1]=18， ......1 分 其中 x∈[14，15]的产品件数为 40×（0.075×1）=3， ......2 分 ∴ξ的可能取值为 0，1，2， ∴P（ξ=0） 2 15 2 18 35 51 C C   ，P（ξ=1） 1 1 15 3 2 18 5 17 C C C   ，P（ξ=2） 2 3 2 18 1 51 C C   ， ∴ξ的分布列为： ......3 分 ∴Eξ＝0 35 51   1 5 17   2 1 1 51 3   . ......4 分 （II）三级品的概率为（0.1+0.075）×1=0.175， 若对剩余产品逐一检验，则厂家需支付费用 50×100=5000； ......5 分 若对剩余产品不检验，则厂家需支付费用 50×10+200×90×0.175=3650，.....6 分 ∵5000＞3650， 故不对剩余产品进行逐一检验. ........8 分 （III）设甲设备生产一件产品的利润为 y1，乙设备生产一件产品的利润为 y2， 则 E（y1）=500×（0.3+0.2）+400×（0.150+0.175）+200×0.175=415，......10 分 E（y2）=500 2 5   400 1 2   200 1 10   420. ......11 分 ∵E（y1）＜E（y2）. ∴应选购乙设备. ......12 分 21.解：（1）根据题意，可得 3 4 5 6 7 55x      ， 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31 0.485y      ， ......1 分 而 y 与 x 之间的线性回归方程为 .88ˆ 0ˆy bx  ， 则 ˆ0.48 5 0.88b  ，解得： ˆ 0.08b   ，......2 分 当 8x  时， 0.08 8 0. .24ˆ 88 0y      ， 所以当海水浓度为 8‰时，该品种的亩产量为 0.24 吨. .......4 分 （2）①由（1）知 0.08 0.8ˆ 8y x   ， 根据残差公式 ˆ ˆi i ie y y  ，得残差表如下： 海水浓度 ix (‰) 3 4 5 6 7 亩产量 iy (吨) 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31 残差 ie  -0.02 0.02 0.01 0 -0.01 ........8 分 ②根据题意，可得：   2 22 2 2 2 0.0004 0.0004 0.0001 0 0.00011 0.14 0.1 0.01 0.08 0.17 R           0.001 641 0.980.065 65     ，.....11 分 所以浇灌海水浓度对亩产量的贡献率是98% . .......12 分 22.（1）当 1a  时，    2ln 2ln1 h xx x xf x x x x      ………..………….…….1 分 则   2 21 xh x x x      ，由于 2y x   在 1, 上单调递减，存在唯一零点 2x  知  h x ： x  1,2 2  2,  h x + 0 -  h x 单调递增 极大值 单调递减 ..................................................................................................................................................3 分 知  1,x  时，      2 2 ln 2 1 0h x h    ，即   0f x  恒成立 知  f x 为 1, 上的减函数，即    1 1f x f   ，证毕；....................................5 分 （2）等价于 2ln x ax  有两个零点，设函数   2ln xg x x  ..............................................6 分     2 2 ln ln 0x xg x x    ，解得 ln 2 ln 0x x  ，即 0 ln 2x  知  g x ： x  0,1 1  21,e 2e  2 ,e   g x - 0 + 0 -  g x 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 ..................................................................................................................................................9 分 当 0x  时，  g x ；极小值为  1 0g  ；极大值为  2 2 4g e e  ；  g x 在 2,e  上单调 递减，由于   0g x  ，当 x时，   0g x  ，故  g x 在 2,e  上的值域为 2 40,e      综上，  g x a 有两个零点，有 2 4a e  ，即当 2 4a e  时，  f x 有两个零点…….12 分