【数学】2020届一轮复习人教B版等或不等解存在，转化值域可实现学案

【数学】2020届一轮复习人教B版等或不等解存在，转化值域可实现学案

‎【题型综述】‎ 导数研究方程的根或不等式的解集 ‎ 利用导数探讨方程解的存在性，通常可将方程转化为，通过确认函数或的值域，从而确定参数或变量的范围；‎ 类似的，对于不等式，也可仿效此法．‎ ‎【典例指引】‎ 例1．已知函数．‎ ‎（1）若关于的方程在上有解，求实数的最大值；‎ ‎（2）是否存在，使得成立？若存在，求出，若不存在，说明理由；‎ ‎【思路引导】‎ ‎（1）方程在上有解，等价于有解，只需求的最大值即可；（2）假设存在，可推导出矛盾，即可证明不存在．‎ 例2．已知函数的最大值为， 的图象关于轴对称．‎ ‎(Ⅰ)求实数的值；‎ ‎(Ⅱ)设，是否存在区间，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎【思路引导】‎ ‎ (Ⅰ) 由题意得，可得在上单调递增，在上单调递减，可得的最大值为，可得。由的图象关于轴对称，可得。 (Ⅱ)由题知，则，从而可得在上递增。假设存在区间，使得函数在上的值域是，则，将问题转化为关于的方程在区间上是否存在两个不相等实根的问题，即在区间上是否存在两个不相等实根，令，，可得在区间上单调递增，不存在两个不等实根。‎ ‎ ‎ 问题转化为关于的方程在区间上是否存在两个不相等实根，‎ 即方程在区间上是否存在两个不相等实根，‎ 令， ，‎ 则,‎ 设, ‎ 则， ，‎ 故在上递增，&‎ 故，所以，故在区间上单调递增，‎ 故方程在区间上不存在两个不相等实根，‎ 综上，不存在区间使得函数在区间上的值域是．‎ 点睛：（1）解决导数综合题时，函数的单调性、极值是解题的基础，在得到单调性的基础上经过分析可使得问题得以解决。‎ ‎（2）对于探索性问题，在求解的过程中可先假设结论成立，然后在此基础上进行推理，看能否得到矛盾，若得到矛盾，则说明假设不成立；若无矛盾出现，则说明假设成立，从而说明所证明题成立。‎ 例3．已知函数为常数 ‎ ‎（1）当在处取得极值时，若关于x的方程 在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；‎ ‎（2）若对任意的，总存在，使不等式 成立，求实数 的取值范围．‎ ‎【思路引导】‎ ‎（1）对函数，令，可得的值，利用导数研究的单调性，然后求得的最值，即可得到的取值范围；（2）利用导数求出在上的最大值，则问题等价于对对任意，不等式成立，然后构造新函数，再对求导，然后讨论，得出的单调性，即可求出的取值范围．‎ 当时，，所以在区间上单调递减，此时 所以不可能使恒成立，故必有，因为 若，可知在区间上单调递增，在此区间上有满足要求 若，可知在区间上递减，在此区间上有，与恒成立相矛盾，所以实数的取值范围是．&‎ 点睛：本题主要考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度较大，属于难题．在处理导数大题时，注意分层得分的原则，一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后含参数的问题注意分类讨论，对于恒成立的问题，一般要构造新函数，再利用导数求出函数单调性及最值，涉及到的技巧较多，需多加体会．‎