江苏省南京市三校2019-2020学年高二上学期十月联合学情调研数学试题

江苏省南京市三校2019-2020学年高二上学期十月联合学情调研数学试题

高二年级十月联合学情调研 数学 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.请把答案填涂在答题卡的相应位置上.‎ ‎1.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点到准线的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用抛物线方程求解即可．‎ ‎【详解】抛物线x2＝4y的焦点到准线的距离为：P＝2．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查．‎ ‎2.已知，则为第三象限角，则的值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式求得cosα的值，利用同角三角函数的基本关系求得sinα和tanα 的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值 ‎【详解】∵cosα，∴cosα，∵α为第三象限角，∴sinα，∴tanα，‎ 则tan2α，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，属于基础题．‎ ‎3.若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：双曲线的渐近线为，渐近线的斜率，由于离心率，设，‎ ‎，，因此渐近线的斜率，故答案为C.‎ 考点：双曲线的性质.‎ ‎4.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为的扇形，则圆锥的高为（ ）‎ A. B. C. D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用扇形的弧长为底面圆的周长求出后可求高.‎ ‎【详解】因为侧面展开图是一个半径为6，圆心角为的扇形，所以 圆锥的母线长为6，设其底面半径为，则，所以，‎ 所以圆锥的高为，选C ‎【点睛】圆锥的侧面展开图是扇形，如果圆锥的母线长为，底面圆的半径长为，则该扇形的圆心角的弧度数为 .‎ ‎5.在平面直角坐标系中，若方程表示椭圆，方程表示双曲线，则对于任意满足条件的实数，，椭圆与双曲线的（ ）.‎ A. 焦距相同 B. 离心率相等 C. 准线相同 D. 焦点相同 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由曲线的方程表示椭圆和双曲线，得m,n的范围，进而确定焦点位置及焦距，进而对照选项答案可得．‎ ‎【详解】由表示椭圆，则 且焦距为2 ‎ 由表示双曲线，则 ，即为焦点在y轴上的双曲线，故其焦距为，故BCD错误，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆和双曲线方程及各参数的几何意义，同时着重考查了审题能力即参数范围对该题的影响 ‎6.在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 首先画出长方体，利用题中条件，得到，根据，求得，可以确定，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.‎ ‎【详解】在长方体中，连接，‎ 根据线面角的定义可知，‎ 因为，所以，从而求得，‎ 所以该长方体的体积为，故选C.‎ ‎【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.‎ ‎7.已知直线与双曲线交于两点，以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，若的面积为，则双曲线的离心率为 A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过双曲线和圆的对称性，将的面积转化为的面积；利用焦点三角形面积公式可以建立与的关系，从而推导出离心率.‎ ‎【详解】由题意可得图像如下图所示：为双曲线的左焦点 为圆的直径 ‎ 根据双曲线、圆的对称性可知：四边形为矩形 又，可得：‎ ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于的齐次方程，从而配凑出离心率的形式.‎ ‎8.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割比例为，这一数值也可以表示为。若，则( )‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用同角三角函数基本关系式可求，利用降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简所求即可计算得解．‎ ‎【详解】解：，若，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎9.对于以，为公共焦点的椭圆和双曲线，设是它们的一个公共点，，分别为它们的离心率.若，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设椭圆方程是1，双曲线方程是1，由定义可得|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，求出|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，利用余弦定理，化简4的表达式，利用柯西不等式求解即可．‎ 详解】设椭圆方程是1，双曲线方程是1，‎ 由定义可得|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，‎ ‎∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，‎ 在△F1PF2中由余弦定理可得，‎ ‎（2c）2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2+2（a1+a2）（a1﹣a2）cos60°，‎ 即4c2＝a12+3a22，‎ ‎∴4，‎ 由柯西不等式得（1）（）≥（1）2＝（）2，‎ 即（）24，‎ 即，当且仅当e1，e2时取等号．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，涉及余弦定理以及柯西不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎10.在平面直角坐标系中，设点是抛物线上的一点，以抛物线的焦点为圆心、以为半径的圆交抛物线的准线于，两点，记，若，且的面积为，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据且sin2θ+cos2θ＝1求出θ，结合图象可知，△BFC为等边三角形，求出圆的半径，以及抛物线的定义，即可求出S△ABC|BC|•|x0||BC|•|FA|，解得即可求出p的值．‎ ‎【详解】因为，且sin2θ+cos2θ＝1，‎ 解得sinθ=，cosθ ‎∴θ，‎ 结合图象可知，△BFC为等边三角形，‎ ‎∵|FD|＝p，‎ ‎∴|BC|＝|FB|p，即圆的半径|FA|p，‎ 设A（x0，y0），‎ ‎∴S△ABC|BC|•|x0||BC|•|FA|pp，‎ 解得p＝8，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了圆和抛物线的位置关系，以及抛物线的定义和三角函数的化简和计算，三角形的面积，考查了运算能力，属于中档题 第Ⅱ卷（非选择题共100分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡的相应位置上.‎ ‎11.在平面直角坐标系中，设椭圆上一点到左焦点的距离为，到右焦点的距离为，则点到右准线的距离为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，可得2m＝2a＝3+1，解得a＝m，可得b2＝m2﹣1，．设P点到右准线的距离为d，再利用椭圆的第二定义可得，即可解得d．‎ ‎【详解】∵椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，‎ ‎∴2m＝2a＝3+1，‎ 解得a＝m＝2，∴b2＝m2﹣1＝3，‎ ‎∴1．‎ 设P点到右准线的距离为d，则，解得d＝2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、椭圆的第二定义，属于基础题．‎ ‎12.在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点是双曲线的右焦点，抛物线的准线与轴的交点为，若抛物线上存在一点，且，则直线的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得K的坐标，设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣4，y0），根据|AK||AF|及AF＝AB＝x0﹣（﹣4）＝x0+4，可求得A点坐标，则直线的方程可求 详解】∵双曲线，其右焦点坐标为（4，0）．‎ ‎∴抛物线C：y2＝16x，准线为x＝﹣4，‎ ‎∴K（﹣4，0）‎ 设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣4，y0）‎ ‎∵，AF＝AB＝x0﹣（﹣4）＝x0+4，‎ ‎∴由BK2＝AK2﹣AB2得BK2＝AB2，从而y02＝（x0+4）2，即16x0＝（x0+4）2，‎ 解得x0＝4．即，则直线的斜率为±1，则直线的方程为 ‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线基础知识的熟练掌握，利用定义和题目条件求得A点坐标是关键 ‎13.在中，设点为边的中点，若，，则边的长为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用切化弦及正弦定理得，结合余弦定理得，利用中线CM结合向量的模长得即可求解边的长 ‎【详解】设三边为 由切化弦得 ‎ 由正弦定理得，又① ‎ ‎，故②，由①②得 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查同角三角函数基本关系，考查正余弦定理解三角形，考查向量与中线的应用，考查推理能力，是中档题 ‎14.椭圆的左、右焦点分别为，为上的动点，点在线段的延长线上，且，则到轴距离的最大值为__________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取P的中点Q，利用向量中点公式将条件化简得到从而得到|AP|=|A，利用椭圆的定义可得点P的轨迹，从而可确定最大值.‎ ‎【详解】取P的中点Q，连接AQ,=2,则，可知|AP|=|A,‎ 由椭圆定义可知|A,则点P的轨迹是以为圆心，以4为半径的圆，由图可知当点和点M重合时，到轴距离最大值为5.‎ 故答案为：5‎ ‎【点睛】本题考查椭圆定义和向量加减法应用，考查分析推理能力，属于中档题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡相应位置上.‎ ‎15.南京市自年成功创建“国家卫生城市”以来，已经连续三次通过“国家卫生城市”复审，年下半年，南京将迎来第四次复审.为了了解市民绿色出行的意识，现从某单位随机抽取名职工，统计了他们一周内路边停车的时间（单位：），整理得到数据分组及频率分布直方图如下：‎ 组号 分组 频数 ‎（1）从该单位随机选取一名职工，试估计其在该周内路边停车的时间少于小时的概率；‎ ‎（2）求频率分布直方图中，的值.‎ ‎【答案】（1）（2），‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）由职工路边停车时间小于8小时的频数及样本容量，估计这名职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率；（2）根据频率分布直方图中的纵坐标表示计算即可．‎ ‎【详解】（1）记“从该单位随机选取一名职工，这名职工该周路边停车的时间少于8小时”为事件A，由题总人数为 则；‎ ‎（2），‎ ‎【点睛】本题考查了频率分布直方图的识别和应用，考查了样本估计总体思想的应用，准确计算是关键，属于基础题．‎ ‎16.己知函数.‎ ‎（1）求函数在区间上的取值范围；‎ ‎(2）设的三个内角，，所对的边长分别为，，.若为锐角，且，，，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用两角和的正弦公式和辅助角公式化简函数f（x）为正弦型函数，利用x 范围结合函数性质求解范围即可；‎ ‎（2）先求出A的值，再根据余弦定理得，利用正弦定理和平方关系得，再展开代入各值求解即可．‎ ‎【详解】（1）因为， ，故，‎ 故函数在区间上的取值范围为 ‎ ‎（2）由（1），故 因为为锐角，故，由余弦定理得，由正弦定理，‎ 又 B为锐角， ，故 ‎【点睛】本题考查了三角函数的化简与运算问题，也考查了正余弦定理解三角形，熟记公式准确计算是关键，是综合性题目．‎ ‎17.在平面直角坐标系中，设过点且斜率为的直线与圆交于，两点.‎ ‎（1)求的取值范围；‎ ‎（2）若，求线段的长.‎ ‎【答案】（1）（2）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出直线方程，利用圆心到直线的距离小于半径，即可求出k的范围．‎ ‎（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），y＝kx+1代入（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1得利用韦达定理以及向量的数量积转化求解得k＝1，再利用弦长公式求解即可．‎ ‎【详解】（1）设直线方程：y＝kx+1，由d＜r，得，解得 ‎（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），‎ y＝kx+1代入（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1得（1+k2）x2﹣4（k+1）x+7＝0，，‎ x1•x2+y1•y2，得k＝1，故圆心到直线的距离为0，即直线过圆心，则 ‎【点睛】本题考查直线与圆的方程的综合应用，向量的数量积以及直线与圆的位置关系的应用，向量坐标化结合韦达定理求得k＝1是关键，是中档题．‎ ‎18.如图，在三棱锥中，平面平面，，点,,分别为线段，，的中点，点是线段的中点.求证：‎ ‎（1）平面；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连AF交BE于Q，连QO，推导出Q是△PAB的重心，从而FG∥QO，由此能证明FG∥平面EBO．‎ ‎（2）推导出BO⊥AC，从而BO⊥面PAC，进而BO⊥PA，再求出OE⊥PA，由此能证明PA⊥平面EBO，利用线面垂直的性质可证PA⊥BE．‎ ‎【详解】（1）连接AF交BE于Q，连接QO，‎ 因为E，F分别为边PA，PB的中点，‎ 所以Q为△PAB的重心，可得：2，‎ 又因为O为线段AC的中点，G是线段CO的中点，‎ 所以2，‎ 于是，‎ 所以FG∥QO，‎ 因为FG⊄平面EBO，QO⊂平面EBO，‎ 所以FG∥平面EBO．‎ ‎（2）因为O为边AC的中点，AB＝BC，‎ 所以BO⊥AC，‎ 因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BO⊂平面ABC，‎ 所以BO⊥平面PAC，‎ 因为PA⊂平面PAC，‎ 所以BO⊥PA，‎ 因为点E，O分别为线段PA，AC的中点，‎ 所以EO∥PC，‎ 因为PA⊥PC，‎ 所以PA⊥EO，‎ 又BO∩OE＝O，BO，EO⊂平面EBO，‎ 所以PA⊥平面EBO，‎ 因为BE⊂平面EBO，‎ 所以PA⊥BE．‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．‎ ‎19.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，连结并延长交椭圆于点，连结，，记椭圆的离心率为.‎ ‎（1）若，.‎ ‎①求椭圆的标准方程；‎ ‎②求和的面积之比.‎ ‎（2）若直线和直线的斜率之积为，求的值.‎ ‎【答案】（1）①.② ；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）①设椭圆的焦距为，根据题意列出有关、、的方程组，求出、的值，可得出椭圆的标准方程；‎ ‎②求出直线的方程，将该直线方程与椭圆的标准方程联立，求出点的坐标，再利用三角形的面积公式可求出和的面积之比；‎ ‎（2）先利用截距式得出直线的方程为，将该直线方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，利用斜率公式计算出直线和的斜率，然后由这两条直线的斜率之积为，得出关于、的齐次方程，由此可解出椭圆的离心率的值.‎ ‎【详解】（1）①设椭圆的焦距为，由题意，得，解得，‎ 所以椭圆的标准方程为；‎ ‎②由①知，、，，，‎ 所以直线的方程为，‎ 将其代入椭圆的方程，得，即，‎ 所以或，所以点的坐标为. ‎ 从而和的面积之比：；‎ ‎（2）因为、在直线上，所以直线的方程为.‎ 解方程组，得或，‎ 所以点的坐标为.‎ 因为直线的斜率，‎ 直线的斜率， ‎ 又因为直线和直线的斜率之积为，‎ 所以，‎ 即，化简得，，解得.‎ 因此，椭圆的离心率为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、三角形面积的比值，以及椭圆离心率的求解，同时也考查了直线与椭圆交点坐标的求解，考查方程思想的应用，属于中等题.‎ ‎20.在平面直角坐标系中，已知点，抛物线的焦点为，设为抛物线上异于顶点的动点，直线交抛物线于另一点，连结，，并延长，分别交抛物线与点，.‎ ‎（1）当轴时，求直线与轴的交点的坐标；‎ ‎（2）设直线，的斜率分别为，，试探索是否为定值？若是，求出此定值；若不是，试说明理由.‎ ‎【答案】（1）（4，0）；（2）是定值，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由抛物线方程求出焦点坐标，得到直线MN的方程，代入抛物线方程求出M、N的坐标，由两点式求得直线ME的方程，和抛物线方程联立解得P点坐标，同理求得Q点坐标，则直线PQ的方程可求，直线PQ与x轴的交点坐标可求；‎ ‎（2）分别设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），再设直线MN、MP、NQ的直线方程，分别和抛物线方程联立后由根与系数关系得到y3＝2y2，x3＝4x2，y4＝2y1，x4＝4x1．代入斜率公式整理得答案．‎ ‎【详解】（1）抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0）．‎ 当MN⊥Ox时，直线MN的方程为 x＝1．‎ 将x＝1代入抛物线方程y2＝4x，得y＝±2．‎ 不妨设M（1，2），N（﹣1，2），‎ 则直线ME的方程为y＝﹣2x+4，‎ 由，解得x＝1或x＝4，于是得P（4，﹣4）．‎ 同理得Q（4，4），所以直线PQ的方程为x＝4．‎ 故直线PQ与x轴的交点坐标（4，0）；‎ ‎（2）设直线MN的方程为x＝my+1，‎ 并设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4）．‎ 由，得y2﹣4my﹣4＝0，‎ 于是y1y2＝﹣4 ①，从而②．‎ 设直线MP的方程为x＝my+2，‎ 由，得y2﹣4my﹣8＝0，‎ ‎∴y1y3＝﹣8 ③，x1x3＝4 ④．‎ 设直线NQ的方程为x＝ty+2，‎ 由，得y2﹣4ty﹣8＝0，‎ 于是y2y4＝﹣8 ⑤，x2x4＝4 ⑥．‎ 由①②③④⑤⑥，得y3＝2y2，x3＝4x2，y4＝2y1，‎ x4＝4x1．，‎ 即．‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解是处理这类问题的最为常用的方法，考查运算推理的能力，是中档题 ‎ ‎