高考数学精英备考专题讲座 填空题的解题策略

高考数学精英备考专题讲座 填空题的解题策略

填空题的解题策略（2） 二 开放型填空题解法示例 【题型一】多选型 给出若干个命题或结论，要求从中选出所有满足题意的命题或结论. 这类题不论多选还是 少选都是不能得分的，相当于多项选择题.它的思维要求不同于一般的演绎推理，而是要求从 结论出发逆向探究条件，且结论不唯一.此类问题多涉及定理、概念、符号语言、图形语言.因 此，要求同学们有扎实的基本功，能够准确的阅读数学材料，读懂题意，根据新的情景，探 究使结论成立的充分条件.判断命题是真命题必须通过推理证明，而判断命题是假命题，举反 例是最有效的方法. 例 1 一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_______(填入所 有可能的几何体前的编号) ①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱 点拨：此题考查立体图形的三视图，多选题，应逐个验证，由于几何体摆放的位置不同，正 视图不同，验证时应考虑全面. 解：如下图所示，三棱锥、四棱锥、三棱柱、圆锥四种几何体的正视图都可能是三角形，所 以应填①②③⑤． 易错点：忽略三棱柱可以倒置，底面正对视线，易漏选③ 例 2 甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球.先从 甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 12,AA和 3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球 的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中 正确的是________（写出所有正确结论的编号）. ①   2 5PB ； ②  1 5| 11P B A  ； ③事件 B 与事件 1A 相互独立； ④ 1 2 3,,A A A 是两两互斥的事件； ⑤  PB的值不能确定，因为它与 中哪一个发生 有关. 点拨：此题考查概率有关知识，涉及独立事件，互斥事件的概念.题型为多选型，应根据题意 及概念逐个判断. 解：易见 是两两互斥的事件，事件 的发生受到事件 的影响，所以这两事件不是 相互独立的.而      1 2 3 5 5 2 4 3 4 9( ) | | | 10 11 10 11 10 11 22P B P B A P B A P B A          . 所以答案②④. 易错点：容易忽略事件 B 的发生受到事件 1 2 3,,A A A 的影响，在求事件 发生的概率时没有分 情况考虑而导致求解错误. 【题型二】探索型 从问题给定的题设中探究其相应的结论，或从给定题断要求中探究其相应的必须具备的 条件.常见有：规律探索、条件探索、问题探索、结论探索等几个类型.如果是条件探索型命题， 解题时要求学生要善于从所给的题断出发，逆向追索，逐步探寻，推理得出应具备的条件， 进而施行填空；如果是结论探索型命题，解题时要求学生充分利用已知条件或图形的特征进 行大胆猜想、透彻分析、发现规律、获取结论. 例 3 观察下列等式： ① 2cos2 2cos 1; ② 42cos4 8cos 8cos 1     ; ③ 6 4 2cos6 32cos 48cos 18cos 1       ; ④ 8 6 4 2cos8 128cos 256cos 160cos 32cos 1         ⑤ 10 8 6 4 2cos10 cos 1280cos 1120cos cos cos 1m n p           可以推测， m n p   . 点拨：此题给出多个等式，出现的系数存在规律，需对此规律进行探索，猜测，推理得出答 案. 解：因为 12 2 , 38 2 , 532 2 , 7128 2 , 所以 92 512m  ；观察可得 400n  ， 50p  ， 所以 962m n p   . 例 4 观察下列等式： 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 21 2 3 1 +2 +3 =6 1 +2 +3 +4 =10  ， ， ， ， 根 据 上 述 规 律 ， 第 五 个 等 式． ． ． ． ．为 ____________ . 点拨：此题给出多个等式，需寻找规律，探索答案. 解：（方法一）∵所给等式左边的底数依次分别为 1,2；1,2,3；1,2,3,4…，右边的底数依次 分别为 3,6,10…（注意：这里 1046,633  ），∴由底数内在规律可知：第五个等式左 边的底数为 6,5,4,3,2,1 ，右边的底数为 216510  . 又左边为立方和，右边为平方的形式，故第五个等式为 2333333 21654321  . （方法二）∵易知第五个等式的左边为 333333 654321  ，且化简后等于441， 而 221441  ，故易知第五个等式为 2333333 21654321  【题型三】新定义型 定义新情景，给出一定容量的新信息（考生未见过），要求考生依据新信息进行解题.这样 必须紧扣新信息的意义，将所给信息转化成高中所学习的数学模型，然后再用学过的数学模 型求解，最后回到材料的问题中给出解答.此类问题多涉及给出新定义的运算、新的背景知识、 新的理论体系，要求同学有较强的分析转化能力，不过此类题的求解较为简单. 例 5 对于平面上的点集 ，如果连接 中任意两点的线段必定包含于 ，则称 为平面上的 凸集，给出平面上 4 个点集的图形如下（阴影区域及其边界）： 其中为凸集的是 （写出所有凸集相应图形的序号）. 点拨：此题给出凸集这样一个新概念，需对此新定义理解，对照定义验证各个选项. 解：在各个图形中任选两点构成线段，看此线段是否包含于此图形，可以在边界上，故选② ③. 易错点：忽略④是由两个圆构成一个整体图形，从两个圆上各取一点构成的线段不包含于此 图形，易误选④. 例 6 若数列 na 满足：对任意的 nN ，只有有限个正整数 m 使得 man＜ 成立，记这样的 的个数为 ()na  ，则得到一个新数列 ()na  ．例如，若数列 na 是1,2,3 ,n…， …，则数列  *()na 是 0,1,2, 1,n…， …．已知对任意的 Nn  ， 2 nan ，则 5()a   ，(( ) )na  ． 点拨：此题定义了一个新数列，应透过复杂的符号理解简单的定义，并严格依照定义进行正 确推理，寻找规律，大胆猜想. 解：因为 5ma  ，而 ，所以 m=1,2,所以 2. 因为 1( ) 0,a   234 ( ) 1,( ) 1,( ) 1,a a a     5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ( ) 2,( ) 2,( ) 2,( ) 2,( ) 2, ( ) 3,( ) 3,( ) 3,( ) 3,( ) 3,( ) 3,( ) 3, a a a a a a a a a a a a                         所以 1(( ) )a ＝1, 2(( ) )a ＝4， 3(( ) )a ＝9， 4(( ) )a ＝16， 猜想 2(( ) )nan . 易错点：容易对定义不理解导致思路受阻，或理解错误导致解错. 【题型四】组合型 给出若干个论断要求学生将其重新组合，使其构成符合题意的命题.解这类题，就要求学 生对所学的知识点间的关系有透彻的理解和掌握，通过对题目的阅读、理解、分析、比较、 综合、抽象和概括，用归纳、演绎、类比等推理方法准确地阐述自己的观点，理清思路，进 而完成组合顺序. 例 7 ,是两个不同的平面， m,n 是平面 及  之外的两条不同直线，给出下列四个论断： （1） mn ,（2） ,（3） n  （4） m  ，若以其中三个论断作为条件，余下一 个论断为结论，写出你认为正确的一个命题：________________________. 点拨：此题是开放性填空题，只需填一个正确的答案，考查的是线面关系. 解：通过线面关系，不难得出正确的命题有： （1） , , mn；（2） , , . 所以可以填 , , (或 , , ). 三 减少填空题失分的检验方法 【方法一】回顾检验：解答之后再回顾，即再审题，避免审题上带来某些明显的错误，这是 最起码的一个环节. 【方法二】赋值检验：若答案是无限的、一般性结论，可赋予一个或几个特殊值进行检验， 以避免知识性错误. 【方法三】估算检验：当解题过程是否等价变形难以把握时，可用估算的方法进行检验，以 避免忽视充要条件而产生逻辑性错误. 【方法四】作图检验：当问题具有几何背景时，可通过作图进行检验即数形结合，一避免一 些脱离事实而主观臆断导致错误. 【方法五】变法检验：一种方法解答之后，再用其他方法解之，看它们的结果是否一致，从 而可避免方法单一造成的策略性错误. 【方法六】极端检验：当难以确定端点处是否成立时，可直接取其端点进行检验，以避免考 虑不周全的错误. 点评： 填空题是介于选择题和解答题之间的一种题型. 它既有选择题的小、活、广，又有解答题 的推理运算严谨，考查全面的特点. 因此，在解题过程中可灵活选用选择题、解答题的有效方 法灵活解题，以达到正确、合理、迅速的目的. 因此在平时训练时要注意以下几点： ① 注意对一些特殊题型结构与解法的总结，以找到规律性的东西； ② 注意对知识的联想、迁移、类比、归纳的应用，以快速得到提示与启发； ③ 注意从不同角度、不同方法对题目的“再解答”，以保证解答的正确性. 习题 7-4 1. 已 知 命 题 “ 若 数 列  na 为等差数列，且  , , ,mna a a b m n m n N     ，则 .mn bn ama nm   ” 现 已 知 数 列  nb  0,nb n N  为 等 比 数 列 ， 且  , , ,mnb a b b m n m n N     ，若类比上述结论，则可得到 mnb   . 2.设 S 为复数集 C 的非空子集.若对任意 x,y S ， 都有 x y,x y,xy S   ，则称 S 为封闭集.下列命题： ①集合 S＝{a＋bi|（ a,b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集； ②若 S 为封闭集，则一定有 0 S ； ③封闭集一定是无限集； ④若 S 为封闭集，则满足 S T C的任意集合T 也是封闭集. 其中真命题是 （写出所有真命题的序号） 3. , , ,a b c d R , 有以下三个论断：① 0ab  ；②bc ad ；③ cd ab .若以其中两个为条件， 余 下 一 个 为 结 论 ， 写 出 所 有 正 确 的 命 题 ： _______________________________________________________. 4. 若规定  1, 2 10,...,E a a a 的子集 12 , ..., ni i ia a a 为 E 的第 k 个子集，其中 12 1112 2 2 niiik    ，则 （1） 1, 3,aa是 E 的第_________个子集；（2）E 的第 211 个子集是____________. 5. ①在 ABC 中， 90B  的充分必要条件是 cosc b A ； ②函数 2 2 5 4 xy x   的最小值是 5 2 ； ③数列{}na 的前项和为 nS ，若 2 1nSn，则数列 是等差数列； ④空间中，垂直于同一直线的两直线平行； ⑤直线 7 5 0xy   分圆 221xy所成的两部分弧长之差的绝对值为 . 其中正确的结论的序号为：___________. 6．平面几何中的射影定理为：直角 ABC 中， ,90A BCAD  则有 BCBDAB 2 ，如图 1；将此结论类比到空间：在三棱锥 BCDA 中，AB、 AC、AD 三边两两互相垂直， A 在面 BCD的射影为点 O ，则得到的类比的结论中 , , ABC BOC BCDS S S   有怎样的关系 . 【答案】 习题 7-4 1. nmn m b a   提 示 ：（ 新 定 义 型 ）（ 1 ） 根 据 新 定 义 1 1 3 12 2 =5k  . （ 2 ） 要 使 得 12 1112 2 2 =211niiik    ，需 12 1112 2 2 =1+2+16+64+128niii   ，即要使得 1 2 3 4 51 1 1 1 1i i i i i    ， ， ， ， 分别为 1，2，16，64，128，故 1 2 3 4 5i i i i i， ， ， ， 分别为 1， 2，5，7，8. 5.①②⑤.提示：（多选型）①利用正弦定理边化角可证明正确.②不满足均值不等式条件，考 虑对钩函数单调性证明正确.③等差数列前 n 项和为关于 的二次式，且常数项为 0.④由正方 体从一个定点出发的三条棱两两垂直可知错误⑤圆心到直线的距离 2 2d  ，半径 1r  ，劣 弧所对圆心角为 2  . 6． BCDBOCABC SSS  2 提示：（探索型）类比猜测答案. 实际上，延长 DO 交 BC 于 H ，则 DH ⊥ , AH ⊥ . 1 = , 2ABCS BC AH  1 , 2BOCS BC OH    1 2BCDS BC DH    而 直角 AHD 中， 90 ,DAH   AO DH 则有 2AH OH DH A B D C OH w w w . k s 5 u . c o m 来 源 ： 高 考 资 源 网 高 考 资 源 网 ( w w w . k s 5 u . c o m ) 故 BCDBOCABC SSS  2