数学理卷·2018届安徽省全椒中学高二上学期期末考试（2017-01）
全椒中学2016-2017学年度第一学期期末考试
高二年级数学试卷（理科）
命题人：陈婷婷 审题人：路吾菊
一．单项选择题（每小题5分，12小题，共60分）
1. 已知复数满足,其中为虚数单位,则的共轭复数为( )
A. B. C. D.
2. 下列命题错误的是（ ）
A．命题“若，则”的逆否命题为“若”；
B．若命题，则；
C. ；
D．”是“”的充分不必要条件；
3. 按流程图的程序计算，若开始输入的值为x=3，则输出的x的值是（ ）
A．6 B．21 C．156 D．231
4.若直线与圆有公共点，则实数取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 函数f(x)＝ln (x＋)，若实数a，b满足f(2a＋5)＋f(4－b)＝0，则2a－b＝( )
A．1 B．－1 C．－9 D．9
6. 函数的图象大致是 ( )
7. 自半径为R的球面上一点M，引球的三条两两垂直的弦MA,MB,MC，求的值（ ）
A. B. C. D.
8. 已知为偶函数，则的一个取值（ ）
A． B．- C ．- D.
9. 点P为双曲线上异于顶点的任意一点，F1、F2为双曲线的两个焦点，则△F1PF2的重心的轨迹方程是（ ）
A 9x2－16y2=16 (y≠0) B 9x2+16y2=16 (y≠0)
C 9x2－16y2=9 (y≠0) D 9x2+16y2=9 (y≠0)
10．已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c(x∈R)，下列结论错误的是( )
A．函数f(x)一定存在三个零点
B．若函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上是增函数，则x2－x1≥
C．函数f(x)的图象是中心对称图形
D．函数f(x)一定存在极大值和极小值
11.已知抛物线上两个动点B、C和点A(1,2),且，则动直线BC必过定点（ ）
A. (2,5) B. (-2,5) C. (5,-2) D. (5,2)
12.定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x),已知f(x+1)是偶函数且(x-1)f′(x)<0.若a
2,则f(a)与f(b)的大小关系是( )
A. f(a)f(b) C. f(a)=f(b) D .不确定
二．填空题（每小题5分，4小题，共20分）
13. 已知双曲线的渐近线方程是，离心率为
14.在矩形ABCD中，，若，则m+n＝ ．
15. 观察下列等式：
可以推测，m – n + p = .[来源:学&科&网Z&X&X&K]
16．设函数f（x）=ex（x3﹣3x+3）﹣aex﹣x（x≥﹣2），若不等式f（x）≤0有解，则实数a的最小值为
三．解答题（6小题，共70分）
17. （10分）在数列中，，若为等差数列，
若 ，求Tn.
18.（12分）．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1．
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）在锐角△ABC中，f（A﹣）=，且b+c=4，求A的大小及边长a最小值．
19．（12分）为了了解调研高二年级新学生的智力水平，某校按l 0%的比例对700名高二学生按性别分别进行“智力评分”抽样检查，测得“智力评分”的频数分布表如表l，表2．
表1：男生“智力评分”频数分布表
智力评分
[160，165）
[165，170）
[170，175）
[175，180）
[180，185）
[185，190）
频数
2
5
14
13
4
2
表2：女生“智力评分”频数分布表
智力评分
[150，155）
[155，160）
[160，165）
[165，170）
[170，175）
[175，180）
频数
1
7
12
6
3
1
（Ⅰ）求高二的男生人数并完成如图所示的男生的频率分布直方图；
（Ⅱ）估计该校学生“智力评分”在[165，180）之间的概率；
（Ⅲ）从样本中“智力评分”在[180，190）的男生中任选2人，求至少有1人“智力评分”在[185，190）之间的概率．
20．（12分）如图ABCD为正方形，,VD=AD=2,F为VA中点，
E为CD中点.
①求证：；
②求平面VEB与平面VAD所成二面角的余弦值；
③V、D、C、B四点在同一个球面上，所在球的球面面积为S，求S.
21.（12分）如图，已知椭圆＋=1 (a>b>0)，A(2,0)是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且·＝0，|－|＝2|－|.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设P，Q为椭圆上异于A，B且不重合的两点，若∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，则是否存在实数λ，使得＝λ？若存在，若存在，求出λ的最大值；若不存在，请说明理由．
22．（12分）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求证：．
参考答案
DCDDC C C BAA C B
13.2 14.-3/4 15. 962 16.1﹣1/e 17.
18解：（1）f（x）=
∴f（x）最小周期为T=；令得﹣∴f（x）单调递增区间为
（2），所以，即：，因为A是三角形的内角，所以A=，A=；b+c=4，所以a2=b2+c2﹣2bccosA；当A=
时，a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=16﹣3bc≥16﹣3=4，a的最小值是2；同理当A=时，a的最小值为．
19解：（Ⅰ）样本中男生人数是40，由抽样比例是10%可得高一的男生人数是400，
男生的频率分布直方图如图所示
（Ⅱ）P= （Ⅲ）
20.可直接补形来解也可以建立空间直角坐标系来解
①略 ② 30度 ③
21.解：(1)∵·＝0，∴⊥，∠ACB＝90°．
又|－|＝2|－|，即||＝2||，∴||＝||，
∴△AOC是等腰直角三角形．∵A(2,0)，∴C(1,1)．又点C在椭圆上，a＝2，
∴＋＝1，∴b2＝，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1．
(2)对于椭圆上两点P，Q，∵∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，
∴PC与CQ所在直线关于直线x＝1对称．设kPC＝k(k≠0且k≠±1)，则kC Q＝－k，
则直线PC的方程为y－1＝k(x－1)⇒y＝k(x－1)＋1，①
直线CQ的方程为y－1＝－k(x－1)⇒y＝－k(x－1)＋1，②将①代入＋＝1，得(1＋3k2)x2－6k(k－1)x＋3k2－6k－1＝0.③∵C(1,1)在椭圆上，∴x＝1是方程③的一个根，∴xP＝，以－k替换k，得到xQ＝.
kPQ＝＝＝＝＝.而kAB＝，∴kPQ＝kAB，∴PQ∥AB，∴存在实数λ，使得＝λ．又||＝＝＝＝≤
，
当且仅当9k2＝，即k2＝，k＝±时取等号．又||＝，∴λmax＝＝.
22.（1）1. 当 a>0,增区间[0,1], 减区间为[1,+∞）
2. 当 a=0,无
3. 当 a<0, 增区间[1,+∞）; 减区间为[0,1]
(2)由（1）知，a>0,增区间[0,1], 减区间为[1,+∞）f(x)≤-a-3,则lnx-x≤-1,则lnx≤x-1,
lnx/x≤(x-1)/x,代入n=2,3,4,…即证。
