数学（文）卷·2018届安徽省淮北一中高二下学期期中考试（2017-04）

数学（文）卷·2018届安徽省淮北一中高二下学期期中考试（2017-04）

淮北一中 2016-2017 学年度下学期高二期中考试 数学试题（文科）‎ 注意事项：‎ ‎1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷相应的位置。‎ ‎2、全部答案写在答题卡上，写在试卷上无效。‎ ‎3、本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。‎ 第Ⅰ卷 一、 选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，每小题只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1．知集合 M=｛x|-1＜x＜3｝，N=｛x|-2＜x＜1｝则 M∩N=（‎ ‎）‎ A. (-2,1)‎ B. (-1,1)‎ C. (1,3)‎ D.‎ ‎(-2,3)‎ ‎2．已知点 A(0,1), B(3, 2) ，向量 AC = (-4, -3) ，则向量 BC = （‎ ‎）‎ A． (-7, -4)‎ B. (7, 4)‎ C. (-1, 4)‎ D. (1, 4)‎ ‎3．计算 1‎ + i ‎2017‎ ‎=（‎ ‎）‎ ‎(‎ ‎1‎ - i ‎)‎ A．﹣1‎ B．i C．﹣i D．1‎ ‎4．若抛物线 y2=2px（p＞0）上的点 A（x0，‎ ‎）到其焦点的距离是 A 到 y 轴距离的 3 倍，则 p 等于（‎ ‎）‎ A． 1‎ B．1‎ C． 3‎ D．2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎5．若 m∈R，则“log6m=﹣1”是“直线 l1：x+2my﹣1=0 与 l2：（3m﹣1）x﹣my﹣1=0 平行”的 ‎（‎ ‎）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．在利用最小二乘法求回归方程 y = 0.67x + 54.9 时，用到了下表中的 5 组数据，则表格 a 中 的值为（‎ ‎）‎ x ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ A．70.2‎ B．68.3‎ C．68.0‎ D．72.1‎ y ‎62‎ a ‎75‎ ‎81‎ ‎89‎ = (n +1)an ,‎ ‎7．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a = 1, S ‎1‎ n ‎2‎ 则 a2017=（‎ ‎）A．2016‎ B．2017‎ C．4032D．4034‎ ‎8．如图是某个几何体的三视图，其中主视图为正方形，俯视图是腰长为 2 的等腰直角三角形，则该几何体外接球的直径为 ‎（‎ ‎）A．2‎ B． 2‎ ‎2‎ C．‎ ‎3‎ D． 2‎ ‎3‎ ‎9．已知双曲线 x2 - y2 = 1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x a2 b2‎ ‎﹣c）2+y2=4a2 截得弦长为 2b（其中 c 为双曲线的半焦距），则该双曲线的离心率为（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎2‎ D．‎ ‎2‎ ‎10．执行右面的程序框图，若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3，‎ 则输出的 M = (‎ ‎)‎ A. 20‎ B.‎ ‎7‎ C.‎ ‎15‎ D.‎ ‎16‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎11 .函数 f(x)＝sin(2x＋φ) |φ|<‎ π 的图像向左平移π ‎2‎ ‎6‎ 个单位长度后所得图像关于原点对称，则函数 f(x)在 ‎0，π ‎2 上的最小值为( )‎ A．－‎ ‎3‎ B．－1‎ C.1‎ D.‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎12．若函数 f（x）=aex﹣x﹣2a 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是（‎ ‎）‎ A． (-¥,‎ ‎1)‎ B． (0,‎ ‎1)‎ C．（﹣∞，0）‎ D．（0，+∞）‎ e e 第Ⅱ卷 二、 填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分.)‎ ‎13. 命题“"x∈R，x2-x+3>0”的否定是 ‎14．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， a sin B = 2 sin C, cos C = 13 ，△ABC 的 面积为 4，则 c= ．‎ ‎15.某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品 A 需要甲材料 ‎1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元。该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的 最大值为 元。‎ ‎16.设函数 f (x) = x3‎ + ( m + 2)x2‎ - 2x, (x > 0) 若对于任意的 t Î[1, 2]‎ ‎,函数 f (x) 在区间 (t,3)‎ 上总不 ‎2‎ 是单调函数,则 m 的取值范围是为 ‎.‎ 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（本小题满分 12 分）在各项均为正数的等比数列{an}中，a1=2，且 2a1，a3，3a2 成等差数列．（Ⅰ） 求等比数列{an}的通项公式；（Ⅱ） 若数列{bn}满足 bn = 11- 2 · log 2 an ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn 的最大值 ‎18．（本小题满分 12 分）根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区 PM2.5‎ 的年平均浓度不得超过 35 微克/立方米，PM2.5 的 24 小时平均浓度不得超过 75 微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区 2016 年 11 月的 20 天中 PM2.5 的 24 小时平均浓度（单位：微克 ‎/立方米）的监测数据，数据统计如表 组别 PM2.5 浓度 频数（天）‎ 频率 ‎（微克/立方米）‎ 第一组 ‎（0，25]‎ ‎3‎ ‎0.15‎ 第二组 ‎（25，50]‎ ‎12‎ ‎0.6‎ 第三组 ‎（50，75]‎ ‎3‎ ‎0.15‎ 第四组 ‎（75，100]‎ ‎2‎ ‎0.1‎ ‎（1）从样本中 PM2.5 的 24 小时平均浓度超过 50 微克/立方米的天数中，随机抽取 2 天，求恰好有一天 PM2.5 的 24 小时平均浓度超过 75 微克/立方米的概率；（2）将这 20 天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本 频率分布直方图如图．‎ ‎①求图中 a 的值；‎ ‎②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从 PM2.5‎ 的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．‎ ‎19.（本小题满分 12 分）‎ 如图四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 交点，‎ BE ^ 平面ABCD ，‎ ‎（I）证明：平面 AEC ^ 平面 BED ；‎ ‎（ II ）若 ÐABC = 120 ， AE ^ EC, 三棱锥 E - ACD 的体积为36 ，求该三棱锥的侧面积.‎ ‎20.（本小题满分 10 分）‎ x ‎2‎ y ‎2‎ ì x = 2 + t 已知曲线 C :‎ + =1 ，直线 l : í ‎, (t为参数)‎ - 2t ‎4‎ ‎9‎ îy = 2‎ ‎（I）写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；‎ ‎（II）过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A ，‎ 求 PA 的最大值与最小值.‎ ‎21．（本小题满分 12 分）已知椭圆 C : x2 + y2 =1, (a > b > 0) 的左、右焦点分别为 F1，F2， a2 b2‎ 过 F2 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，△ABF1 的周长为 8，且△AF1F2 的面积的最大时，‎ ‎△AF1F2 为正三角形．（1）求椭圆 C 的方程；‎ ‎（2）若 MN 是椭圆 C 经过原点的弦，MN∥AB，求证： | MN |2 为定值．‎ AB ‎22. （本小题满分 12 分）‎ 设函数 f(x) = alnx + xx +-11 ，其中 a 为常数.‎ ‎（Ｉ）若 a = 0 ，求曲线 y = f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程；‎ ‎（II）讨论函数 f ( x ) 的单调性.‎ 高二年级2016-2017学年度第二学期期中考试试卷 文科数学参考答案 一、 选择题：(本大题共12小题，每小题5分.)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B A B D A C B D ‎ B C A D 二、 填空题：(本大题共4小题，每小题5分.)‎ ‎13. 14． 6 ‎ ‎15. 216000 16. ‎ 三、解答题 ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎【解答】（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，an＞0‎ 因为2a1，a3，3a2成等差数列，所以2a1+3a2=2a3，即，‎ 所以2q2﹣3q﹣2=0，解得q=2或（舍去），‎ 又a1=2，所以数列{an}的通项公式．‎ ‎（Ⅱ）由题意得，bn=11﹣2log2an=11﹣2n，则b1=9，且bn+1﹣bn=﹣2，‎ 故数列{bn}是首项为9，公差为﹣2的等差数列，‎ 所以=﹣（n﹣5）2+25，‎ 所以当n=5时，Tn的最大值为25．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎【解答】（1）设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的三天记为A1，A2，A3，‎ PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的两天记为B1，B2．‎ 所以5天任取2天的情况有：‎ A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共10种． …‎ 其中符合条件的有：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共6种． …‎ 所以所求的概率P==． …‎ ‎（2）①由第四组的频率为：0.1得：25a=0.1，‎ 解得：a=0.004‎ ‎②去年该居民区PM2.5年平均浓度为：12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5（微克/立方米）．…‎ 因为42.5＞35，‎ 所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进． …‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎【解答】（I）因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD，‎ 因为BE平面ABCD，所以ACBE，‎ 故AC平面BED.‎ 又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED ‎（II）设AB=，在菱形ABCD中，由ABC=120°，可得AG=GC=,GB=GD=.‎ 因为AEEC，所以在AEC中，可得EG=.‎ 由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BE=.‎ 由已知得，三棱锥E-ACD的体积.故=2‎ 从而可得AE=EC=ED=.‎ 所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.‎ 故三棱锥E-ACD的侧面积为.‎ ‎20.（本小题满分10分）‎ ‎【解答】（I）曲线的参数方程为（为参数）直线的普通方程为 ‎（Ⅱ）曲线上任意一点到的距离为 则，其中为锐角，且 当时，取得最大值，最大值为 当时，取得最小值，最小值为 ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎【解答】（I）由已知A，B在椭圆上，可得|AF1|+|AF2|=|BF1|=|BF2|=2a，‎ 又△ABF1的周长为8，所以|AF1|+|AF2|+|BF1|=|BF2|=4a=8，即a=2，‎ 由椭圆的对称性可得，△AF1F2为正三角形当且仅当A为椭圆短轴顶点，‎ 则a=2c，即c=1，b2=a2﹣c2=3，‎ 则椭圆C的方程为+=1；‎ ‎（Ⅱ）证明：若直线l的斜率不存在，即l：x=1，求得|AB|=3，|MN|=2，可得=4；‎ 若直线l的斜率存在，设直线l：y=k（x﹣1），‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），‎ 代入椭圆方程+=1，可得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，‎ 有x1+x2=，x1x2=，‎ ‎|AB|=•=，‎ 由y=kx代入椭圆方程，可得x=±，‎ ‎|MN|=2•=4，‎ 即有=4．‎ 综上可得为定值4．‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ ‎【解答】（I）‎ ‎（Ⅱ）‎