2017-2018学年甘肃省兰州第一中学高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版

2017-2018学年甘肃省兰州第一中学高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版

绝密★启用前 甘肃省兰州第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．直线x－y＋3＝0的倾斜角为 A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先求直线的斜率，再求直线的倾斜角.‎ 详解：由题得直线的斜率为所以.‎ 故答案为：B.‎ 点睛：（1）本题主要考查直线倾斜角和斜率的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)直线ax+by+c=0(b≠0)的斜率为 ‎2．设集合，集合，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先化简集合B,再求A∪B.‎ 详解：由题得，所以A∪B=，‎ 故答案为:D.‎ 点睛：(1)本题主要考查集合的化简和并集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)无限集的运算一般通过数轴进行，有限集的运算一般通过韦恩图进行.‎ ‎3．等差数列的前项和为，且满足，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先根据等差数列的性质得到再求.‎ 详解：由题得所以.‎ 故答案为：A.‎ 点睛：（1）本题主要考查等差数列的性质和数列求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 等差数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等差中项.‎ ‎4．若命题“∃R，使得”是真命题，则实数a的取值范围是 A. (－1，3) B. [－1，3] C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析:由题得，解不等式即得实数a的取值范围.‎ 详解：由题得，‎ 所以.‎ 故答案为：C.‎ 点睛：本题主要考查一元二次不等式的解和特称命题，意在考查学生对这些知识的掌握水平.‎ ‎5．已知， ， ，则、、的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为幂函数 在定义域内单调递增，所以，由指数函数的性质可得，故选D.‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查幂函数单调性、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题. 解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.‎ ‎6．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：‎ 则下面结论中不正确的是 A. 新农村建设后，种植收入减少 B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 ‎【答案】A ‎【解析】分析：首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.‎ 详解：设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，‎ 则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；‎ 新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；‎ 新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；‎ 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；‎ 故选A.‎ 点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.‎ ‎7．已知向量满足，，则 A. 2 B. C. 4 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先化简，求出的值，再求的值.‎ 详解：因为，所以 所以.‎ 故答案为：B.‎ 点睛：（1）本题主要考查平面向量的数量积和向量的模的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本计算能力.(2) 求向量的模一般有两种方法,方法一：利用求解；方法二：利用求解.‎ ‎8．若执行下面的程序框图，输出的值为3，则判断框中应填入的条件是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．‎ 详解：根据程序框图，运行结果如下：‎ ‎ S k 第一次循环 log23 3‎ 第二次循环 log23•log34 4‎ 第三次循环 log23•log34•log45 5‎ 第四次循环 log23•log34•log45•log56 6‎ 第五次循环 log23•log34•log45•log56•log67 7‎ 第六次循环 log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8‎ 故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k＜8．‎ 故答案为：D．‎ 点睛：本题考查程序框图，尤其考查循环结构，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律是解题关键.‎ ‎9．已知实数满足，则的最小值是 A. B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．‎ 详解：由约束条件，写出可行域如图，‎ 化z=x+2y为y=，由图可知，当直线y=过A（2，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z=2+2×0=2．‎ 故答案为：A．‎ 点睛：（1）本题主要考查线性规划求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方法.(2) 解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，就最小，要看函数的解析式，如：,直线的纵截距为,所以纵截距最小时，最大.‎ ‎10．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为 A. 2 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先画出三视图对应的原图，再展开求从M到N的路径中的最短路径的长度.‎ 详解：先画出圆柱原图再展开得，‎ 由题得 数形结合得M,N的最短路径为 故答案为：C.‎ 点睛：（1）本题主要考查三视图和圆柱中的最值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法. (2)对于曲面的最值问题，由于用直接法比较困难，一般利用展开法来分析解答.‎ ‎11．已知函数（）的图象向右平移个单位后关于轴对称，则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先求出图像变换后的解析式y=2cos（2x﹣φ+）,再令﹣φ+=kπ，k∈Z，求得的值.‎ 详解：由题得函数f（x）=cos（2x﹣φ）﹣sin（2x﹣φ）=2cos（2x﹣φ+），（|φ|＜）‎ 所以函数的图象向右平移个单位后，可得y=2cos（2x﹣﹣φ+）=2cos（2x﹣φ+） 的图象，‎ 由于所得图象关于y轴对称，可得﹣φ+=kπ，k∈Z，故φ=.故答案为：B.‎ 点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换和图像的变换，考查三角函数的图像性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)是奇函数，则，如果是偶函数，则 ‎12．已知函数，则不等式的解集为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先分析出函数f(x)的性质，再根据函数f(x)的图像解不等式.‎ 详解：由题得y==,‎ 所以当x≥0时，函数单调递减，所以此时当x=0时，.‎ 当x＞0时，y=2是一个常数函数，‎ 所以不等式可以化为，‎ 解之得x∈.‎ 故答案为：A.‎ 点睛：（1）本题主要考查函数的单调性和最值，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力数形结合的思想方法.(2)解答本题的关键有两点，其一是分析出当x≥0时，函数单调递减，所以此时当x=0时，.其二是通过图像分析出.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知，则的最小值是_____________________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】分析：先化简已知得到xy=10,再利用基本不等式求的最小值.‎ 详解：因为，所以 所以 ，‎ 当且仅当即x=2,y=5时取到最小值.‎ 故答案为：2.‎ 点睛：（1）本题主要考查对数运算和基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，三者缺一不可。‎ ‎14．若直线与直线平行，则实数的值为 __________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题得1×3-m(m-2)=0,解方程即得实数m的值.‎ 详解：因为直线与直线平行，‎ 所以1×3-m(m-2)=0，所以m=3或m=-1,‎ 当m=3时，两直线重合，所以舍去.‎ 故答案为：-1.‎ 点睛：（1）本题主要考查直线的位置关系，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)直线和直线平行，则且两直线不重合，所以 本题在求出m=3或m=-1后要检验两直线是否重合.‎ ‎15．已知定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数，则不等式的解集是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】定义在实数集上的偶函数满足，‎ 所以不等式等价于，‎ 由偶函数在区间上是减函数，则在区间上是增函数.‎ 所以，解得或，有： 或.‎ 不等式的解集是.‎ 点睛：本题主要考查抽象函数的定义域、函数的单调性及利用单调性函数解不等式，属于难题. 利用单调性函数解不等式应注意以下三点：（1）一定注意函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成 后再利用单调性和定义域列不等式组.‎ ‎16．半径为4的球的球面上有四点A,B,C,D，已知为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为_____________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：求出△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可．‎ 详解：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB=6，‎ 球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：‎ O′C=，OO′=，‎ 则三棱锥D﹣ABC高的最大值为6，‎ 则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：‎ 故答案为：．‎ 点睛：（1）本题主要考查球的内接多面体和体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力. (2)本题求体积的最大值，实际上是求高的最大值，所以求高是关键.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知在等比数列中，，且是和的等差中项．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】分析：利用已知的两个条件求出公比q,即得数列的通项公式.（2）先求出，再利用分组求和求出数列的前n项和．‎ 详解：（Ⅰ）设公比为q，则，‎ ‎∵是和的等差中项，所以 解得q=2或q=0（舍），∴‎ ‎（Ⅱ）‎ 则.‎ 点睛：（1）本题主要考查等比数列通项的求法和数列求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.这叫分组求和法.‎ ‎18．已知函数，求：‎ ‎（1）的最小正周期；‎ ‎（2）在区间上的最大值和最小值及取得最值时的值。‎ ‎【答案】（1）最小正周期是 ‎（2）时，的最小值是，的最大值是。‎ ‎【解析】略 视频 ‎19．在中，角所对的边分别为，已知.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若点在边上，且的面积为，求边的长.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】【试题分析】（1）利用正弦定理，将边转化为角，利用三角形内角和定理可求得，故.（2）利用三角形面积公式和余弦定理可求得的值.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）由及正弦定理可得 ‎，故，‎ 而，所以，即 ‎（2）由及可得是正三角形.‎ 由的面积为可得，即，‎ 故，在中，由余弦定理可得，‎ 即.‎ ‎20．某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看2018年足球世界杯比赛的情况,从全校高三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查,情况如下表:‎ 打算观看 不打算观看 女生 ‎20‎ b 男生 c ‎25‎ ‎（1）求出表中数据b，c;‎ ‎（2）判断是否有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关;‎ ‎（3）为了计算“从10人中选出9人参加比赛”的情况有多少种，我们可以发现它与“从10人中选出1人不参加比赛”的情况有多少种是一致的.现有问题：在打算观看2018年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三（5）班，从中推选5人接受校园电视台采访，请根据上述方法，求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率.‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ K0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 附： ‎ ‎【答案】（1）b=30,c=50（2）有99%的把握,(3) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由分层抽样的概念得到参数值；（2）根据公式计算得到，再下结论；（3）根据古典概型的计算公式，列出事件的所有可能性，再得到4男一女的事件数目，做商即可.‎ 解析：‎ ‎（1）根据分层抽样方法抽得女生50人，男生75人，所以b=50-20=30(人)，‎ ‎ c=75-25=50(人) ‎ ‎（2）因为，所以有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关. ‎ ‎（3）设5名男生分别为A、B、C、D、E，2名女生分别为a、b，由题意可知从7人中选出5人接受电视台采访，相当于从7人中挑选2人不接受采访，其中一男一女，所有可能的结果有{A,B}{A,C}{A,D}{A,E}{A,a}{A,b}{B,C}{B,D}{B,E}{B,a}{B,b}{C,D}{C,E}{C,a}{C,b}{D,E}{D,a}‎ ‎{D,b}{E,a}{E,b}{a,b}，共21种， 其中恰为一男一女的包括，{A,a}{A,b}{B,a}{B,b}{C,a}{C,b}{D,a}{D,b}{E,a}{E,b},共10种. ‎ 因此所求概率为 ‎21．如图，在四棱锥中，底面为正方形， , . ‎ ‎（Ⅰ）若是的中点，求证： 平面；‎ ‎（Ⅱ）若， ，求三棱锥的高.‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）连接交于,连接.在三角形中,中位线 ,且平面, 平面,∴平面；（Ⅱ）由, 可得与底面垂直，在中，设的中点为，连接，则是三棱柱的高，计算出三角形与面积，利用可求得点到平面的距离为.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）连接交于,连接.在三角形中,‎ 中位线 ,‎ 且平面, 平面,‎ ‎∴平面.‎ ‎（Ⅱ）在中，设的中点为，连接，则，又，‎ ‎∴,又∵，‎ ‎∴，∴ ，解得.‎ 所以点到平面的距离为： .‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥的高，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.‎ ‎22．已知直线l：，半径为4的圆C与直线l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方.‎ ‎（Ⅰ）求圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点M ‎ (2，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）x2＋y2＝16.（Ⅱ）存在点N为(8，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）根据已知求得a＝0，可以求出圆C的方程. （Ⅱ）分AB有斜率和没有斜率两种情况讨论，当AB有斜率时，x轴平分∠ANB， 则kAN＝－kBN ，即可求出t的值.‎ 详解：（Ⅰ）设圆心C(a，0) ()，‎ 则⇒a＝0或a＝ (舍).‎ 所以圆C的方程为x2＋y2＝16. ‎ ‎（Ⅱ）当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.‎ 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－2)，‎ 假设N(t，0) 符合题意，又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得(k2＋1)x2－4k2x＋4k2－16＝0，‎ 所以x1＋x2＝，x1x2＝. ‎ 若x轴平分∠ANB， 则kAN＝－kBN ‎ 即＋＝0⇒＋＝0‎ ‎⇒2x1x2－(t＋2)(x1＋x2)＋4t＝0‎ ‎⇒－＋4t＝0⇒t＝8. ‎ 所以存在点N为(8，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立.‎ 点睛：（1）本题主要考查直线和圆的方程与位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力计算能力.(2)解答本题的关键是转化，x轴平分∠ANB则kAN＝－kBN，‎ 再利用斜率公式和韦达定理化简.‎