- 2021-07-01 发布 |
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文档介绍
2020届二轮复习函数的极值和最值（理）学案（全国通用）
函数的极值和最值 【考纲要求】 1.掌握函数极值的定义。 2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件. 3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值 4.会求给定闭区间上函数的最值。 【知识网络】 函数极值的定义 函数极值点条件 函数的极值 求函数极值 函数的极值和最值 函数在闭区间上的最大值和最小值 【考点梳理】 要点一、函数的极值 函数的极值的定义 一般地，设函数在点及其附近有定义， （1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作 ； （2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作. 极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释： 求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的根； ④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点二、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理 若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如. 要点诠释： ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。 ②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。 2.通过导数求函数最值的的基本步骤： 若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数在内的导数； （2）求方程在内的根； （3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值. 【典型例题】 类型一：利用导数解决函数的极值等问题 函数的极值和最值394579 例1.已知函数若函数处取得极值，试求的值，并求在点处的切线方程； 【解析】 因为处取得极值 所以 所以。 又 所以在点处的切线方程 即. 举一反三： 【变式1】设为实数，函数． (1)求的单调区间与极值； (2)求证：当且时，． 【解析】（1）由知． 令，得．于是当变化时，的变化情况如下表： － 0 + 单调递减 单调递增 故的单调递减区间是，单调递增区间是， 处取得极小值，极小值为 (2)证明：设， 于是， 由(1)知当时，最小值为 于是对任意，都有，所以在R内单调递增． 于是当时，对任意，都有． 而，从而对任意． 即，故． 【变式2】函数的定义域为区间（a，b），导函数在（a，b）内的图如图所示，则函数在（a，b）内的极小值有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】由极小值的定义，只有点B是函数的极小值点，故选A。 类型二：利用导数解决函数的最值问题 函数的极值和最值394579 典型例题三】 例2（2017 东城区模拟）已知函数，． (Ⅰ)若在处取得极值，求的值； (Ⅱ)求在区间上的最小值； (Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，若，求证：当时，恒有成立． 【解析】（Ⅰ）由，定义域为，得． 因为函数在处取得极值，所以，即，解得． 经检验，满足题意，所以． （Ⅱ）由（Ⅰ）得，定义域为． 当时，有，在区间上单调递增，最小值为； 当，由得，且． 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以在区间上单调递增，最小值为； 当时，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以函数在取得最小值． 综上当时，在区间上的最小值为； 当时，在区间上的最小值为． （Ⅲ）由得． 当时，，， 欲证，只需证， 即证，即． 设， 则． 当时，，所以在区间上单调递增． 所以当时，，即， 故． 所以当时，恒成立． 举一反三： 【变式】已知函数(),. (1)若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值; (2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值. 【解析】(1)由为公共切点可得:, 则,, ,则,, ① 又,, ,即, 代入①式可得:. (2), 设 则,令, 解得:,; ,, 原函数在单调递增,在单调递减,在上单调递增 ①若,即时,最大值为; ②若,即时,最大值为 ③若时,即时,最大值为. 综上所述:当时,最大值为;当时,最大值为. 例3.（2018 东城区一模）已知函数 ，． (1)若 在 处取得极值，求 的值； (2)若 在区间 上单调递增，求 的取值范围； (3)讨论函数 的零点个数． 【解析】 (1) 因为 ， 由已知 在 处取得极值， 所以 ，解得 ． 经检验 时， 在 处取得极小值． 所以 ． (2) 由（1）知，． 因为 在区间 上单调递增． 所以 在区间 上恒成立． 即 在区间 上恒成立． 因为 ． (3) 因为 ，所以 ，． 令 ，得 ． 令 ，． ． 当 时，， 在区间 上单调递增， 当 时，， 在区间 上单调递减． 所以 ． 综上，当 时，函数 无零点． 当 或 时，函数 有一个零点， 当 时，函数 有两个零点． 举一反三： 【变式1】（2018 朝阳一模）已知函数 ，． (1)当 时，求函数 的最小值； (2)当 时，讨论函数 的零点个数． 【解析】(1) 函数 的定义域为 ． 当 时，． ． 由 解得 ； 由 解得 ． 所以 在区间 单调递减，在区间 单调递增． 所以 时，函数 取得最小值 ． (2) ，． （i）当 时， 时，， 为减函数； 时，， 为增函数． 所以 在 时取得最小值 ． ①当 时，，由于 ，令 ，，则 在 上有一个零点； ② 当 时，即 时， 有一个零点； ③ 当 时，即 时， 无零点． ④ 当 时，即 时，由于 （从右侧趋近 ）时，； 时，，所以 有两个零点． （ii）当 时， 时，， 为增函数； 时，， 为减函数； 时，， 为增函数． 所以 在 处取极大值，处取极小值． ． 当 时，，即在 时，． 而 在 时为增函数，且 时，，所以此时 有一个零点． （iii）当 时， 在 上恒成立，所以 为增函数． 且 （从右侧趋近于 ）时，； 时，，所以 有一个零点． 综上所述，当 或 时， 有一个零点； 当 时， 无零点；当 时， 有两个零点． 【变式2】已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值 （1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间 （2）若对xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）查看更多