【数学】2018届一轮复习人教B版第五章　平面向量与复数学案

【数学】2018届一轮复习人教B版第五章　平面向量与复数学案

第五章　平面向量与复数 ‎1.平面向量 ‎(1)平面向量的实际背景及基本概念 ‎①了解向量的实际背景．‎ ‎②理解平面向量的概念和两个向量相等的含义．‎ ‎③理解向量的几何表示．‎ ‎(2)向量的线性运算 ‎①掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．‎ ‎②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．‎ ‎③了解向量线性运算的性质及其几何意义．‎ ‎(3)平面向量的基本定理及坐标表示 ‎①了解平面向量的基本定理及其意义．‎ ‎②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．‎ ‎③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．‎ ‎④理解用坐标表示的平面向量共线的条件．‎ ‎(4)平面向量的数量积 ‎①理解平面向量数量积的含义及其物理意义．‎ ‎②了解平面向量的数量积与向量投影的关系．‎ ‎③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．‎ ‎④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．‎ ‎(5)向量的应用 ‎①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．‎ ‎②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．‎ ‎2．数系的扩充和复数的引入 ‎(1)理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．‎ ‎(2)了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示．‎ ‎(3)能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义．‎ ‎5．1　平面向量的概念及线性运算 ‎1．向量的有关概念 ‎(1)向量：既有____________又有____________的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的____________(或称模).的模记作____________．‎ ‎(2)零向量：____________的向量叫做零向量，其方向是________的．‎ ‎(3)单位向量：长度等于__________________的向量叫做单位向量.是一个与a同向的____________．－是一个与a________的单位向量．‎ ‎(4)平行向量：方向________或________的________向量叫做平行向量．平行向量又叫____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．‎ 规定：0与任一向量____________．‎ ‎(5)相等向量：长度____________且方向____________的向量叫做相等向量．‎ ‎(6)相反向量：长度____________且方向____________的向量叫做相反向量．‎ ‎(7)向量的表示方法：用________表示；用____________表示；用________表示．‎ ‎2．向量的加法和减法 ‎(1)向量的加法 ‎①三角形法则：以第一个向量a的终点A为起点作第二个向量b，则以第一个向量a的起点O为________以第二个向量b的终点B为________的向量就是a与b的________(如图1)．‎ 推广：＋＋…＋An－1An＝____________.‎ 图1‎ 图2‎ ‎②平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量a，b为邻边作ABCD，则以A为起点的__________就是a与b的和(如图2)．在图2中， ＝＝b，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式．‎ ‎③加法的运算性质：‎ a＋b＝____________(交换律)；‎ ‎(a＋b)＋c＝____________(结合律)；‎ a＋0＝____________＝a.‎ ‎(2)向量的减法 已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝____________，即a－b表示从向量b的终点指向向量a(被减向量)的终点的向量(如图)．‎ ‎3．向量的数乘及其几何意义 ‎(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作____________，它的长度与方向规定如下：‎ ‎①＝____________；‎ ‎②当λ>0时，λa与a的方向____________；‎ 当λ<0时，λa与a的方向____________；‎ 当λ＝0时，λa＝____________.‎ ‎(2)运算律：设λ，μ∈R，则：‎ ‎①λ(μa)＝____________；‎ ‎②(λ＋μ)a＝____________；‎ ‎③λ(a＋b)＝____________.‎ ‎4．两个向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得____________．‎ 自查自纠：‎ ‎1．(1)大小　方向　长度　　‎ ‎(2)长度为0　任意 ‎(3)1个单位长度　单位向量　方向相反 ‎(4)相同　相反　非零　共线向量　平行 ‎(5)相等　相同　(6)相等　相反 ‎(7)字母　有向线段　坐标 ‎2．(1)①起点　终点　和　　②对角线 ‎③b＋a　a＋(b＋c)　0＋a　(2)a－b ‎3．(1)λa　①|λ||a|　②相同　相反　0‎ ‎(2)①μ(λa)　②λa＋μa　③λa＋λb ‎4．b＝λa ‎ 设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(　　)‎ A．0 B．‎1 C．2 D．3‎ 解：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则当a为零向量时，a的方向任意；当a不为零向量时，a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D.‎ ‎ 设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)‎ A.＝－＋ ‎ B.＝－ C.＝＋ ‎ D.＝－ 解：＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.故选A.‎ ‎ ()在四边形ABCD中，若＝＋，则四边形ABCD一定是(　　)‎ A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 解：依题意得＝＋＝＋，则＝，因此BC∥AD且BC＝AD，故四边形ABCD一定是平行四边形．故选D.‎ ‎ 在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，＝m，＝n(mn≠0)，若∥，则＝________.‎ 解：＝－＝n－m，＝＋ ＝－，因为∥，且向量和不共线，所以＝，解得＝2.故填2.‎ ‎ 直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋(＋)，则||＝________.‎ 解：如图，‎ 取BC边中点D，连接AD，则(＋)＝，＝＋(＋)⇒＝＋⇒－＝⇒＝，因此||＝||＝1.故填1.‎ 类型一　向量的基本概念 ‎　给出下列命题：‎ ‎①两个向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；‎ ‎②若|a|＝|b|，则a＝b；‎ ‎③若＝，则四点A，B，C，D构成平行四边形；‎ ‎④在▱ABCD中，一定有＝；‎ ‎⑤若m＝n，n＝p，则m＝p.‎ 其中不正确的个数是(　　)‎ A．2 B．‎3 C．4 D．5‎ 解：两个向量起点相同，终点也相同，则两个向量相等；但两个相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确．若|a|＝|b|，由于a与b方向不确定，所以a，b不一定相等，故②不正确．若 ＝，可能有A，B，C，D在一条直线上的情况，所以③不正确．正确的是④⑤.故选B.‎ 点拨：‎ 从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特征逐一进行考察．(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．‎ ‎　下列命题中，正确的是________．(填序号)‎ ‎①有向线段就是向量，向量就是有向线段；‎ ‎②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；‎ ‎③向量与向量共线，则A，B，C，D四点共线；‎ ‎④如果a∥b，b∥c，那么a∥c；‎ ‎⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．‎ 解：①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；‎ ‎②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是任意的，故两向量方向不一定相同或相反；‎ ‎③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；‎ ‎④不正确，如果b为零向量，则a与c不一定平行；‎ ‎⑤正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小．故填⑤.‎ 类型二　向量的线性运算 ‎　在△ABC中，E，F分别为AC，AB的中点，BE与CF相交于G点，设＝a，＝b，试用a，b表示.‎ 解法一：＝＋＝＋＝＋ (－)＝＋＝＋＝ a＋b.‎ 解法二：由于G是△ABC的中线BE与CF的交点，所以G为△ABC的重心．延长AG交BC于H，由重心的性质知，＝＝×(＋)＝a＋b.‎ 点拨：‎ ‎(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解决．(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．(3)在解答用已知向量线性表示未知向量的问题时，可以利用共线向量定理，将共线向量用参数表示，再利用平面向量基本定理，建立参数的方程(组)求解参数，最后得出结论．‎ ‎　(1)设P是△ABC所在平面内一点，＋＝2，则(　　)‎ A.＋＝0 B.＋＝0‎ C.＋＝0 D.＋＋＝0‎ 解：如图，‎ 根据向量加法的几何意义有＋＝2⇔P是AC的中点，故＋＝0.故选B.‎ ‎(2)()设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)‎ A. B. C. D. 解：＋＝(＋)＋(＋)‎ ‎＝(＋)＝.故选A.‎ 类型三　向量共线的充要条件及其应用 ‎　已知A，B，C是平面内三个不相同的点，O是平面内任意一点，求证：向量，，的终点A，B，C共线的充要条件是存在实数λ，μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.‎ 证明：(1)先证必要性．‎ 若，，的终点A，B，C共线，则∥，‎ 所以存在实数m使得＝m，即－＝m(－)，‎ 所以＝－m＋(1＋m).‎ 令λ＝－m，μ＝1＋m，‎ 则λ＋μ＝－m＋1＋m＝1，‎ 即存在实数λ，μ，使得＝λ＋μ，‎ 且λ＋μ＝1.‎ ‎(2)再证充分性．‎ 若＝λ＋μ，且λ＋μ＝1，‎ 则＝λ＋(1－λ)，‎ 所以－＝λ(－)，即＝λ，‎ 所以∥，又BC与BA有公共点B，‎ 所以A，B，C三点共线．‎ 综合(1)(2)可知，原命题成立．‎ 点拨：‎ 证明三点A，B，C共线，借助向量，只需证明由这三点A，B，C所组成的向量中有两个向量共线，即证明存在一个实数λ，使＝λ.但证明两条直线AB∥CD，除了证明存在一个实数λ，使＝λ外，还要说明两直线不重合．注意：本例的结论可作定理使用．‎ ‎　(1)已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－‎5a＋6b，＝‎7a－2b，则一定共线的三点是(　　)‎ A．A，B，D B．A，B，C ‎ C．B，C，D D．A，C，D 解：＝＋＝(－‎5a＋6b)＋(‎7a－2b)＝‎2a＋4b＝2(a＋2b)＝2，所以A，B，D三点共线．故选A.‎ ‎(2)设两个非零向量a与b不共线，若ka＋b和a＋kb共线，则实数k＝________.‎ 解：因为ka＋b和a＋kb共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.所以(k－λ)a＝(λk－1)b.因为a，b是两个不共线的非零向量，所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0.所以 k＝±1.故填±1.‎ ‎(3)如图，在△ABC中，M为边BC上任意一点，‎ N为AM的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)‎ A. B. C. D．1‎ 解：由N为AM的中点，‎ 可得＝＝λ＋μ，‎ 整理得＝2λ＋2μ，由B，M，C三点共线可得2λ＋2μ＝1，即λ＋μ＝.故选A.‎ ‎1．准确理解向量的概念，请特别注意以下几点：‎ ‎(1)a∥b，有a与b方向相同或相反两种情形；‎ ‎(2)向量的模与数的绝对值有所不同，如|a|＝|b|⇒/a＝±b；‎ ‎(3)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行；‎ ‎(4)对于任意非零向量a，是与a同向的单位向量，这也是求单位向量的方法；‎ ‎(5)向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上；‎ ‎(6)只要不改变向量a的大小和方向，可以自由平移a，平移后的向量与a相等，所以线段共线与向量共线是有区别的，当两向量共线且有公共点时，才能得出线段共线，向量的共线与向量的平行是一致的．‎ ‎2．向量具有大小和方向两个要素，既能像实数一样进行某些运算，又有直观的几何意义，是数与形的完美结合．向量是一个几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．‎ ‎3．向量加法的三角形法则可简记为“首尾相接，指向终点”；减法法则可简记为“起点重合，指向被减向量”；加法的平行四边形法则可简记 “起点重合，指向对角顶点”．‎ ‎4．平面向量的三种线性运算的结果仍为向量，在三种线性运算中，加法是最基本、最重要的运算，减法运算与数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算．‎ ‎5．对于两个向量共线定理(a(a≠0)与b共线⇔存在唯一实数λ使得b＝λa)中条件“a≠‎0”‎的理解：‎ ‎(1)当a＝0时，a与任一向量b都是共线的；‎ ‎(2)当a＝0且b≠0时，b＝λa是不成立的，但a与b共线．‎ 因此，为了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求a≠0.换句话说，如果不加条件“a≠0”，“a与b共线”是“存在唯一实数λ使得b＝λa”的必要不充分条件．‎ ‎1．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)‎ A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|‎ 解：由题意＝表示与向量a和向量b同向的单位向量相等，故a与b同向共线．故选C.‎ ‎2．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么(　　)‎ A．k＝1且c与d同向 ‎ B．k＝1且c与d反向 C．k＝－1且c与d同向 ‎ D．k＝－1且c与d反向 解：因为c∥d，所以存在实数λ，使得c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，所以 解得 此时c＝－d.所以c与d反向．故选D.‎ ‎3．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)，实数λ∈(1，2)，则(　　)‎ A．点M在线段AB上 ‎ B．点B在线段AM上 C．点A在线段BM上 ‎ D．O，A，M，B四点一定共线 解：由题意得－＝λ(－)，即＝λ.又λ∈(1，2)，所以点B在线段AM上．故选B.‎ ‎4．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC 的中点，且2＋＋＝0，则(　　)‎ A.＝2 B.＝ C.＝3 D．2＝ 解：因为D为BC的中点，所以由2＋＋＝0得＋＝－2＝2，即2＝2，所以＝.故选B.‎ ‎5．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若 ＝＋μ，则μ的取值范围是(　　)‎ A．[0，1] B．[0，]‎ C. D. 解：由题意可求得AD＝1，CD＝，‎ 所以＝2.‎ 因为点E在线段CD上，‎ 所以＝λ(0≤λ≤1)．‎ 且＝＋，‎ 又＝＋μ＝＋2μ，即＝2μ，‎ 所以λ＝2μ.因为0≤λ≤1，‎ 所以0≤μ≤.故选C.‎ ‎6．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且 ＝x，＝y，x，y∈R，则的值为(　　)‎ A．3 B. C．2 D. 解法一：由点G是△ABC的重心，知＝×(＋)＝(＋)．又M，N，G三点共线(A不在直线MN上)，于是存在λ，μ∈R，使得 ＝λ＋μ(且λ＋μ＝1)，则＝λx＋ μy＝(＋)，所以 于是得＋＝3，所以＝＝.‎ 解法二：特殊化法，取MN∥BC，易得＝.故选B.‎ ‎7．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，＝，＝.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．‎ 解：＝－＝－＝(－ )＋＝－＋，‎ 因为＝λ1＋λ2，所以λ1＝－，λ2＝，‎ 从而λ1＋λ2＝.故填.‎ ‎8．已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设＝m＋n(m，n∈R＋)，则＝________.‎ 解：如图，‎ 设m＝，n＝，则＝＋，因为∠AOC＝30°，‎ 所以||cos30°＝||＝m||＝m， ||sin ‎30°＝||＝n||＝n，两式相除得 ＝＝＝，所以＝3.另外此题也可用坐标求解．故填3.‎ ‎9．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且 AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若＝a，＝b，试用a，b表示和.‎ 解：＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a.‎ ＝＋＋＝－a＋(－b)＋a＝a－b.‎ ‎10．设两个非零向量e1和e2不共线．‎ ‎(1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝ －8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线；‎ ‎(2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝ 2e1－ke2，且A，C，D三点共线，求k的值．‎ 解：(1)证明：因为＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，所以＝＋＝4e1＋e2＝ －(－8e1－2e2)＝－，‎ 所以与共线．‎ 又因为与有公共点C，所以A，C，D三点共线．‎ ‎(2)＝＋＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝ 3e1－2e2，‎ 因为A，C，D三点共线，‎ 所以与共线，从而存在实数λ使得＝λ，‎ 即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，‎ 得解得λ＝，k＝.故k的值为.‎ ‎11．如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量.‎ 解：因为A，M，D三点共线，‎ 所以＝λ1＋(1－λ1) ‎＝λ1b＋(1－λ1)a，①‎ 因为C，M，B三点共线，‎ 所以＝λ2＋(1－λ2)＝λ2b＋a，②‎ 由①②可得 解得 ‎ 故＝a＋b.‎ ‎ 设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是(　　)‎ A．C可能是线段AB的中点 B．D可能是线段AB的中点 C．C，D可能同时在线段AB上 D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上 解：若C，D调和分割点A，B，则＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且＋＝2.对于选项A，若C是线段A B的中点，则＝⇒λ＝⇒＝0，故A选项错误；同理B选项错误；对于选项C，若C，D同时在线段AB上，则0＜λ＜1，0＜μ＜1⇒＋＞2，C选项错误；对于选项D，若C，D同时在线段AB的延长线上，则λ＞1，μ＞1⇒＋＜2，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上，D选项正确．故选D.‎ ‎5．2　平面向量的基本定理及坐标表示 ‎1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使_________________________．‎ 我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组__________．‎ ‎2．向量的夹角 ‎(1)已知两个________向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角(如图)．‎ ‎(2)向量夹角θ的范围是_______________．a与b同向时，夹角θ＝________；a与b反向时，夹角θ＝____________.‎ ‎(3)如果向量a与b的夹角是____________，我们就说a与b垂直，记作____________．‎ ‎3．平面向量的正交分解及坐标表示 ‎(1)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个____________的向量，叫做向量的正交分解．‎ ‎(2)在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.则实数对__________叫做向量a的(直角)坐标，记作a＝__________，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示．与a相等的向量的坐标也为________．显然，i＝_____________， j＝_____________，0＝_____________.‎ ‎4．平面向量的坐标运算 ‎(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝__________________________.‎ ‎(2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝_________________________.‎ ‎(3)若a＝(x，y)，则λa＝____________.‎ ‎(4)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是____________________．‎ 自查自纠：‎ ‎1．a＝λ1e1＋λ2e2　基底 ‎2．(1)非零　‎ ‎(2)0°≤θ≤180°　0°　180°　‎ ‎(3)90°　a⊥b ‎3．(1)互相垂直　‎ ‎(2)(x，y)　(x，y)　(x，y)　(1，0)　(0，1)　(0，0)‎ ‎4．(1)(x1±x2，y1±y2)　(2)(x2－x1，y2－y1)‎ ‎(3)(λx，λy)　(4)x1y2－x2y1＝0‎ ‎ ()已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)‎ A．(－7，－4) B．(7，4)‎ C．(－1，4) D．(1，4)‎ 解：＝(3，1)，＝－＝(－4， －3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选A.‎ ‎ 在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)线性表示出来的是(　　)‎ A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)‎ B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)‎ C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)‎ D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)‎ 解：一个平面内任意不共线的两个向量都可以作为平面的一组基底，它能表示出平面内的其他向量．A中，e1＝0，且e2与a不共线；C，D中的两个向量都是共线向量且不与a共线，故表示不出a.B中的两个向量不共线，可以作为平面的一组基底，故可以表示出a.故选B.‎ ‎ 已知向量a＝(1，m)，b＝(m，2)，若 a∥b，则实数m等于(　　)‎ A．－ B. C．－或 D．0‎ 解：由a∥b知1×2－m2＝0，所以m＝±.故选C.‎ ‎ ()已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．‎ 解：因为ma＋nb＝(‎2m＋n，m－2n)＝(9， －8)，所以 解得 ‎ 故m－n＝－3.故填－3.‎ ‎ 已知两点A(1，0)，B(1，1)，O为坐标原点，点C在第二象限内，且∠AOC＝135°，设 ＝－＋λ(λ∈R)，则λ的值为________．‎ 解：由∠AOC＝135°知，点C在射线y＝ －x(x<0)上，设点C的坐标为(a，－a)，a<0，则有(a，－a)＝(－1＋λ，λ)，得 消掉a得λ＝.故填.‎ 类型一　向量共线充要条件的坐标表示 ‎　平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)．‎ ‎(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；‎ ‎(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值；‎ ‎(3)若n≠0，且ma＋nb与a－2b共线，求的值．‎ 解：(1)由题意得(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)，‎ 所以 解得 ‎(2)a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，‎ 由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，‎ 解得k＝－.‎ ‎(3)ma＋nb＝(‎3m－n，‎2m＋2n)，‎ a－2b＝(5，－2)，‎ 由题意得－2(‎3m－n)－5(‎2m＋2n)＝0，‎ 解得＝－.‎ 点拨：‎ 解决此类题目，我们只需要牢记：(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b(b≠0)的充要条件是x1y2－ x2y1＝0；②a∥b(a≠0)，当且仅当唯一一个实数λ，使b＝λa.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．‎ ‎　(1)已知向量a＝，b＝(x，1)，其中x>0，若(a－2b)∥(‎2a＋b)，则x的值为________．‎ 解：a－2b＝，‎2a＋b＝(16＋x，x＋1)，‎ 因为(a－2b)∥(‎2a＋b)，显然‎2a＋b≠0，‎ 所以存在唯一的实数λ使得＝λ(16＋x，x＋1)，‎ 所以 ‎ 解得x＝4(x>0)．故填4.‎ ‎(2)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k＝________.‎ 解：若点A，B，C不能构成三角形，则向量，共线.＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)．因为∥，≠0，所以1×(k＋1)－ 2k＝0，解得k＝1.‎ 故填1.‎ 类型二　平面向量基本定理及其应用 ‎　在ABCD中，AB＝8，BC＝6，＝ ，＋2＝0，设＝a，＝b.‎ ‎(1)设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值；‎ ‎(2)设AF与DE交于点G，用a，b表示.‎ 解：(1)因为＝，＝＋＝a, ‎ 所以＝a，所以＝－＝a－b.‎ 因为＋2＝0，＝＝b，‎ 所以＝－b，‎ 所以＝＋＝a－b，‎ ＝＋＝a－b.‎ 因为＝λ＋μ＝λ＋μ＝a－b，‎ 即a－b＝a－b.‎ 由于a，b为不共线的非零向量，因此由平面向量基本定理知 所以 ‎ 则λ＋μ＝.‎ ‎(2)设＝m，＝n，m，n∈R，则 ＝m＝ma－mb，＝n(＋)＝ n(b＋a－b)＝na＋b，由于＝＋＝b＋ ma－mb＝ma＋(1－m)b，即na＋b＝ma＋ (1－m)b.‎ 由于a，b为不共线的非零向量，因此由平面向量基本定理知 所以 则＝×a＋b＝a＋b.‎ 点拨：‎ 应用平面向量基本定理的关键点：(1)平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．(2)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．(3)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．‎ ‎　(1)在△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则＝(　　)‎ A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 解法一：因为CD平分∠ACB，由角平分线定理，得＝＝＝2，所以＝2＝.‎ 所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.‎ 解法二：(特殊值法)构造直角三角形，令 CB＝1，CA＝2，AB＝，则∠DCB＝30°，所以BD＝.故＝，＝＋＝a＋(b－ a)＝a＋b.故选B.‎ ‎(2)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.‎ 解：设i，j分别为水平向右和竖直向上的单位向量，则a＝－i＋j，b＝6i＋2j，c＝－i－3j，所以－i－3j＝λ(－i＋j)＋μ(6i＋2j)，即－i－3j＝(－λ＋6μ)i＋(λ＋2μ)j，根据平面向量基本定理得 解得 所以＝4.故填4.‎ 类型三　求向量的坐标 ‎　已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标．‎ 解：如图所示，令A(－1，0)，B(3，0)，C(1，－5)，D(x，y)．‎ ‎(1)若四边形ABCD1为平行四边形，‎ 则＝，‎ 且＝(x＋1，y)，＝(－2，－5)．‎ 所以 ‎ 解得 所以D1(－3，－5)．‎ ‎(2)若四边形ACD2B为平行四边形，则＝，且＝(4，0)，＝(x－1，y＋5)．‎ 所以 解得 ‎ 所以D2(5，－5)．‎ ‎(3)若四边形ACBD3为平行四边形，‎ 则＝，‎ 且＝(x＋1，y)，＝(2，5)，‎ 所以 解得 所以D3(1，5)．‎ 综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为 (－3，－5)或(5，－5)或(1，5)．‎ 点拨：‎ 平面向量坐标运算的技巧：(1)向量的坐标运算常建立在向量的线性运算的基础之上，若已知有向线段两端点的坐标，则应考虑坐标运算．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)进行求解．‎ ‎　已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且＝，＝.‎ ‎(1)求E，F的坐标；‎ ‎(2)求证：∥.‎ 解：(1)设E，F两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则依题意得＝(2，2)，＝(－2，3)，＝(4，－1)．‎ 所以＝＝，＝＝.‎ 因为＝(x1，y1)－(－1，0)＝(x1＋1，y1)，‎ ＝(x2，y2)－(3，－1)＝(x2－3，y2＋1)．‎ 所以 解得 解得 所以E的坐标为，F的坐标为.‎ ‎(2)证明：由(1)知E，F，‎ 所以＝，且＝(4，－1)，‎ 又4×－(－1)×＝0，所以∥.‎ ‎1．对平面向量基本定理的理解 ‎(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础．‎ ‎(2)平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．‎ ‎(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R，e1，e2为同一平面内不共线的两个向量)的形式，它是向量线性运算知识的延伸．‎ ‎(4)如果e1，e2是同一平面内的一组基底，且 λ1e1＋λ2e2＝0(λ1，λ2∈R)，那么λ1＝λ2＝0.‎ ‎2．对两向量夹角的理解 两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角．若起点不同，则应通过平移，使其起点相同．‎ ‎3．向量的坐标表示 向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化．一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标，当且仅当向量的起点为原点时，向量的坐标才等于其终点的坐标．两个向量相等，当且仅当其坐标相同．‎ ‎　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　‎ ‎1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是(　　)‎ A．a＝(1，2)，b＝(0，0)‎ B．a＝(1，－2)，b＝(3，5)‎ C．a＝(3，2)，b＝(9，6)‎ D．a＝， b＝(3，－2)‎ 解：在平面内，根据向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底．故选B.‎ ‎2．已知平面向量a＝(‎2m＋1，3)，b＝(2，m)，且a与b反向，则|b|等于(　　)‎ A. B．‎2 C. D.或2 解：根据题意a∥b知m(‎2m＋1)－3×2＝0，解得m＝－2或m＝.当m＝时，a＝(4，3)，b＝，则a＝2b，此时两向量同向，与已知不符，故m＝－2，此时b＝(2，－2)，故|b|＝2.故选B.‎ ‎3．如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量a，b如图，则向量a－b可表示为(　　)‎ A．3e2－e1 B．－2e1－4e2‎ C．e1－3e2 D．3e1－e2‎ 解：由图易知a－b＝－3e2＋e1＝e1－3e2.故选C.‎ ‎4．()已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－‎6”‎是“a∥(a＋b)”的(　　)‎ A．充要条件 ‎ B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 解：由题意得a＋b＝(2，2＋m)．由m＝－6得a＋b＝(2，－4)＝－a，所以a∥(a＋b)；由a∥ (a＋b)得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6.故 “m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件．故选A.‎ ‎5．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量‎4a，3b－‎2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为(　　)‎ A．(1，－1) B．(－1，1)‎ C．(－4，6) D．(4，－6)‎ 解：由题知‎4a＝(4，－12)，3b－‎2a＝(－6，12)－(2，－6)＝(－8，18)，由‎4a＋(3b－‎2a)＋ c＝0，知c＝(4，－6)．故选D.‎ ‎6．如图，设向量＝(3，1)，＝(1，3)，若 eq o(OC,sup6(→))＝λ＋μ，且λ≥μ≥1，则用阴影表示C点所有可能的位置区域正确的是(　　)‎ 解：设＝(x，y)，则由＝λ＋μ得(x，y)＝λ(3，1)＋μ(1，3)，即可得因为λ≥μ≥1，所以化简得作出可行域知选项D正确．故选D.‎ ‎7．()设向量a，b不平行，向量 λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．‎ 解：由于λa＋b与a＋2b平行，且a＋2b≠0，所以存在唯一的实数μ∈R，使得λa＋b＝μ(a＋2b)，即(λ－μ)a＋(1－2μ)b＝0.因为a，b不平行，所以 解得λ＝μ＝.故填.‎ ‎8．设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积ab＝(a1b1，a2b2)，已知向量m＝，n＝，点P(x，y)在y＝sinx的图象上运动．Q是函数y＝f(x)图象上的点，且满足＝m＋n(其中O为坐标原点)，则函数y＝f(x)的值域是________．‎ 解：设Q(c，d)，由新的运算可得＝m＋n＝＋＝，‎ 所以 消去x得d＝sin.‎ 所以y＝f(x)＝sin，易知y＝f(x)的值域是.故填.‎ ‎9．已知向量a＝(1，0)，b＝(2，1)．‎ ‎(1)当实数k为何值时，ka－b与a＋2b共线？‎ ‎(2)若＝‎2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求实数m的值．‎ 解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，‎ a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．‎ 因为ka－b与a＋2b共线，‎ 所以2(k－2)－(－1)×5＝0，‎ 即2k－4＋5＝0，得k＝－.‎ ‎(2)解法一：因为A，B，C三点共线，‎ 所以存在实数λ使得＝λ，‎ 即‎2a＋3b＝λ(a＋mb)，‎ 所以 解得m＝.‎ 解法二：＝‎2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，‎ ＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(‎2m＋1，m)．‎ 因为A，B，C三点共线，‎ 所以∥，又≠0，所以‎8m－3(‎2m＋1)＝0，‎ 即‎2m－3＝0，得m＝.‎ ‎10．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及 ＝＋t，试问：‎ ‎(1)当t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第三象限内？‎ ‎(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．‎ 解：(1)依题意，得＝(3，3)，‎ 所以＝＋t＝(1＋3t，2＋3t)，‎ 即P(1＋3t，2＋3t)．‎ 若P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－；‎ 若P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－；‎ 若P在第三象限内，则 ‎ 所以t＜－.‎ ‎(2)因为＝(1，2)，＝(3－3t，3－3t)，‎ 若OABP是平行四边形，则＝，‎ 所以　此方程无解．‎ 故四边形OABP不可能成为平行四边形．‎ ‎11．如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值．‎ 解：设＝e1，＝e2，则＝＋＝ －3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.‎ 因为A，P，M和B，P，N分别共线，‎ 所以存在λ，μ∈R，使＝λ＝－λe1－3λe2，‎ ＝μ＝2μe1＋μe2.‎ 故＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2，‎ 而＝＋＝2e1＋3e2，‎ 所以由平面向量基本定理得 ‎ 所以 所以＝，即AP∶PM＝4∶1.‎ ‎ 如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．‎ 解：由题意得，＝k(k<0)，又|k|＝<1，所以－10，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且·＝0(O为坐标原点)，则A等于(　　)‎ A. B.π C.π D.π 解：由题意知M，N，又·＝×π－A2＝0，所以A＝π.故选B.‎ ‎(3)已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)， －＜θ＜.‎ ‎(Ⅰ)若a⊥b，求θ；‎ ‎(Ⅱ)求|a＋b|的最大值．‎ 解：(Ⅰ)若a⊥b，则sinθ＋cosθ＝0，‎ 因为－＜θ＜，所以tanθ＝－1，所以θ＝－.‎ ‎(Ⅱ)由a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，‎ 得a＋b＝(sinθ＋1，1＋cosθ)．‎ 所以|a＋b|＝ ‎＝ ‎＝.‎ 当sin＝1时，‎ ‎|a＋b|取得最大值＝＝＋1.‎ 即当θ＝时，|a＋b|的最大值为＋1.‎ 点拨：‎ 向量与函数、三角函数的综合题，多通过考查向量的线性运算、向量共线的充要条件、平面向量的基本定理及数量积等来直接考查函数的基本概念，函数、三角函数的图象与性质，三角变换等内容．此类题目中，向量往往是条件的载体，题目考查的重点仍是函数、三角函数，熟练掌握向量的概念和基本运算是解决问题的前提．‎ ‎　(1)()在△ABC中， A ‎＝60°，M是AB的中点，若AB＝2，BC＝2，D在线段AC上运动，则·的最小值为________．‎ 解：在△ABC中，由正弦定理或余弦定理易求得AC＝4.设＝λ (0≤λ≤1)，‎ 则·＝(－)·(－)＝(－ λ )·＝λ2||2－λ ·＋ ||2＝16λ2－6λ＋2＝16＋.因为0≤λ≤1，所以当λ＝时，·取得最小值.故填.‎ ‎(2)已知函数f(x)＝sinωx(ω>0)的部分图象如图所示，A，B分别是这部分图象上的最高点、最低点，O为坐标原点，若·＝0，则函数 f(x＋1)是(　　)‎ A．周期为4的奇函数 ‎ B．周期为4的偶函数 C．周期为2π的奇函数 ‎ D．周期为2π的偶函数 解：由题图可得A，B，由·＝0得－3＝0，又ω>0，所以ω＝，所以f(x)＝sinx，‎ 所以f(x＋1)＝sin＝cosx，它是周期为4的偶函数．故选B.‎ ‎(3)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0＜β＜α＜π.‎ ‎(Ⅰ)若|a－b|＝，求证：a⊥b；‎ ‎(Ⅱ)设c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α，β的值．‎ 解：(Ⅰ)证明：由题意得|a－b|2＝2，‎ 即(a－b)2＝a2－‎2a·b＋b2＝2，‎ 又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1.‎ 所以2－‎2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.‎ ‎(Ⅱ)因为a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0，1)，所以即 ‎ 两边分别平方再相加得1＝2－2sinβ，‎ 所以sinβ＝，sinα＝，‎ 又因为0＜β＜α＜π，所以α＝，β＝.‎ 类型二　向量与解析几何 ‎　已知点C的坐标为(0，1)，A，B是抛物线y＝x2上不同于原点O的相异的两个动点，且·＝0.‎ ‎(1)求证：∥；‎ ‎(2)若＝λ(λ∈R)，且·＝0，试求点M的轨迹方程．‎ 解：设A(x1，x)，B(x2，x)，x1x2≠0且x1≠x2, ‎ 因为·＝0，所以x1x2＋xx＝0，‎ 又x1x2≠0，所以x1x2＝－1.‎ ‎(1)证法一：kAC＝＝－＋x1，‎ 同理有kBC＝－＋x2，‎ 因为x1x2＝－1，所以kAC＝kBC，‎ 所以A，B，C三点共线，即∥.‎ 证法二：因为＝(－x1，1－x)，＝(－x2，1－x)，‎ 所以(－x1)(1－x)－(－x2)(1－x)＝(x2－ x1)＋x1x2(x2－x1)＝(x2－x1)(1＋x1x2)＝0，‎ 所以∥，即A，B，C三点共线，即∥ ‎.‎ ‎(2)因为＝λ，所以A，M，B三点共线，‎ 又C在AB上，且·＝0，‎ 故点M在以OC为直径的圆上运动，其轨迹方程为x2＋＝(y≠0)．‎ 点拨：‎ 向量在解析几何中的“两个”作用：(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较优越的方法．‎ ‎　(1)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若＝，·＝48，则抛物线的方程为(　　)‎ A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝16x D．y2＝4x 解：如图，＝⇒F为线段AB的中点，因为AF＝AC，所以∠ABC＝30°，由·＝48得BC＝4，则AC＝4.所以由中位线性质有p＝ AC＝2，故抛物线的方程为y2＝4x.故选B.‎ ‎(2)在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，点Q满足＝(a＋b)．曲线C＝{P|＝acosθ＋bsinθ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P|00，求＋的最小值．‎ 解：因为(1－2i)i＝2＋i，‎ 所以M(2，1)，即2m＋n＝1，‎ 又mn＞0，故m＞0，n＞0，所以＋＝·(2m＋n)＝3＋＋≥3＋2，‎ 当且仅当 即时等号成立，‎ 所以＋的最小值为3＋2.‎ ‎ i是虚数单位，设复数z满足4z＋ 2＝3＋i，复数ω＝sinθ－icosθ，求|z－ω|的取值范围．‎ 解：设z＝a＋bi，(a，b∈R)，则＝a－bi.‎ 代入4z＋2＝3＋i，‎ 得4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3＋i，‎ 即6a＋2bi＝3＋i.所以 所以z＝＋i.‎ ‎|z－ω|＝ ‎＝ ‎＝.‎ 因为－1≤sin≤1，‎ 所以0≤2－2sin≤4.所以0≤|z－ω|≤2.‎ ‎5．6　复数的四则运算及几何意义 ‎1．复数的加、减、乘、除的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ‎ (1)z1±z2＝ ；‎ ‎(2)z1·z2＝ ；‎ ‎(3)＝ (z2≠0)．‎ ‎2．复数加、减法的几何意义 以复数z1，z2分别对应的向量，为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，对角线OZ表示的向量就是____________．z1－z2对应的向量是____________．‎ 自查自纠：‎ ‎1．(1)(a±c)＋(b±d)i　‎ ‎(2)(ac－bd)＋(ad＋bc)i ‎(3)＋i ‎2．复数z1＋z2所对应的向量　 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎ ()若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则＝(　　)‎ A．2－3i B．2＋3i C．3＋2i D．3－2i 解：z＝i(3－2i)＝2＋3i，所以z＝2－3i.故选A.‎ ‎ ()若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝(　　)‎ A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i 解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则2z＋＝3a＋ bi＝3－2i，故a＝1，b＝－2，则z＝1－2i.故选B.‎ ‎ ()设复数z满足＝i，则|z|＝(　　)‎ A．1 B. C. D．2‎ 解：由＝i，得z＝＝i，所以|z|＝1.故选A.‎ ‎ ()i是虚数单位，计算的结果为________．‎ 解：＝＝＝－i.‎ 故填－i.‎ ‎ 设复数z＝1＋ai(a是正实数)，且|z|＝，则＝________.‎ 解：因为|z|＝且a>0，所以a＝3，‎ 则＝＝＝－1＋i.故填－1＋i.‎ 类型一　复数的代数运算 ‎　i是虚数单位，计算× 的值．‎ 解：因为＝＝－(i＋1)，‎ ＝＝1，‎ 所以原式＝－(i＋1)×＝－.‎ 点拨：‎ ‎(1)复数的计算除了掌握基本运算法则外，最好熟记一些常见算式运算的结果，这对提高运算的速度和准确度都有很大的帮助．如：(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，(1＋i)·(1－i)＝2，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)等．(2)复数z＝a＋bi与平面向量＝(a，b)是一一对应的．‎ ‎　i是虚数单位，＋＝____________________________.‎ 解：原式＝＋＝＋i6＝i1 008＋i6＝i4×252＋i4＋2＝1＋i2＝0.故填0.‎ 类型二　复数的模与共轭复数 ‎　(1)复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为(　　)‎ A．2＋i B．2－i C．5＋i D．5－i 解：由题意得z－3＝＝2＋i，‎ 所以z＝5＋i，故＝5－i.故选D.‎ ‎(2)()设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则|(1－z)·|＝(　　)‎ A. B．2 C. D．1‎ 解：依题意得(1－z)·＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i，则|(1－z)·|＝|－3＋i|＝＝.故选A.‎ 点拨：‎ 利用复数的四则运算求复数的一般思路：(1)复数乘法运算满足多项式的乘法法则，利用此法则后将实部与虚部分别写出即可．(2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘以分母的共轭复数进行运算化简．(3)利用复数的相关概念解题时，通常是设出复数或利用已知联立方程求解即可．‎ ‎　设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为(　　)‎ A.＋ B.＋ C.－ D.－ 解：由|z|≤1得(x－1)2＋y2≤1，作图如图阴影部分所示，‎ 联立 得 即A(1，1)．由几何概型知所求概率为＝ －.故选C.‎ ‎1．复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化．‎ ‎2．复数的代数运算多用于次数较低的运算，但应用i、ω的性质可简化运算．注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i，＝－i；(3)ω2＋ω＋1＝0，ω3＝1，其中ω＝－±i； (4)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．‎ ‎3．在进行复数的运算时，不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z∈C时，不是总成立的：(1)(zm)n＝zmn(m，n为分数)；(2)若zm＝zn，则m＝n(z≠1)；(3)若 z＋z＝0，则z1＝z2＝0.‎ ‎4．注意利用共轭复数的性质，将zz转化为 ，即复数的模的运算，常能使解题简捷．‎ ‎　　　　　 　　　　　 　　　　　　 　　　　‎ ‎1．()设i是虚数单位，若复数a－是纯虚数，则实数a的值为(　　)‎ A．－4 B．－1 C．4 D．1‎ 解：a－＝a－4－i是纯虚数，则a＝4.故选C.‎ ‎2．()设i是虚数单位，则复数 在复平面内所对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 ‎ C．第三象限 D．第四象限 解：＝＝i(1＋i)＝－1＋i，其在复平面内所对应的点坐标为(－1，1)，即位于第二象限．故选B.‎ ‎3．()若z＝1＋2i，则＝(　　)‎ A．1 B．－1 C．i D．－i 解：＝＝i.故选C.‎ ‎4．()已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的(　　)‎ A．充分不必要条件 ‎ B．必要不充分条件 C．充分必要条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 解：若a＝b＝1，则 (a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i；反之，若(a＋bi)2＝2i，则a＝b＝1或a＝b＝－1，故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件．故选A.‎ ‎5．设f(n)＝＋(n∈N*)，其中i为虚数单位，则集合{f(n)}中元素的个数为(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．无数个 解：f(n)＝＋＝in＋(－i)n， f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…，所以集合中共有3个元素．故选C.‎ ‎6．设复数ω1＝－＋i，ω2＝cos＋isin，若z＝ω1ω2，则复数z的虚部为(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 解法一：ω1ω2＝ ‎＝－cos－sin＋i ‎＝－cos＋isin ‎＝－cos＋isin＝－＋i.‎ 所以复数z的虚部为.‎ 解法二：若z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ＋isinβ，‎ 则z1z2＝cosαcosβ－sinαsinβ＋i(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝cos(α＋β)＋isin(α＋β)．‎ 因为ω1＝－＋i＝cos＋isin，‎ ω2＝cos＋isin，‎ 所以z＝ω1ω2＝cos＋isin＝cos＋isin＝－＋i，所以复数z的虚部为.故选D.‎ ‎7．()设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝________.‎ 解：(1＋i)(a＋i)＝a－1＋(a＋1)i∈R⇒a＝ －1.故填－1.‎ ‎8．()设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．‎ 解：因为z2＝3＋4i，所以|z|2＝|z2|＝|3＋4i|＝＝5，所以|z|＝.故填.‎ ‎9．把复数z的共轭复数记作，已知(1＋2i)＝4＋3i，求z及.‎ 解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，由已知得(1＋2i)·(a－bi)＝(a＋2b)＋(‎2a－b)i＝4＋3i，由复数相等的定义知 解得a＝2，b＝1，所以z＝2＋i.所以＝＝＝＝＋i.‎ ‎10．设存在复数z同时满足下列条件：‎ ‎(1)复数z在复平面内对应的点位于第二象限；‎ ‎(2)z·z＋2iz＝8＋ai(a∈R)．‎ 试求a的取值范围．‎ 解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，‎ 由(1)得x＜0，y＞0，‎ 由(2)得(x＋yi)(x－yi)＋2i(x＋yi)＝8＋ai，‎ 即x2＋y2－2y＋2xi＝8＋ai.‎ 由复数相等的定义得 由①得x2＋(y－1)2＝9，因为x<0，y>0，‎ 所以－3≤x<0，所以－6≤a＜0.‎ ‎11．已知复数z1满足：(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i(a∈R)，若|z1－|＜|z1|，求a的取值范围．‎ 解：因为(1＋i)z1＝－1＋5i，所以z1＝＝2＋3i，‎ 所以|z1|＝.‎ 于是|z1－|＝ ‎＝＜，‎ 即a2－8a＋7＜0，解得1＜a＜7.‎ 所以a的取值范围是(1，7)．‎ ‎ ()对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω1，其中是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3有如下四个命题：‎ ‎①(z1＋z2)*z3＝(z1*z3)＋(z2*z3)；‎ ‎②z1*(z2＋z3)＝(z1*z2)＋(z1*z3)；‎ ‎③(z1*z2)*z3＝z1*(z2*z3)；‎ ‎④z1*z2＝z2*z1；‎ 则真命题的个数是(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 解：由于ω1*ω2＝ω1，对于①，(z1＋z2)*z3＝(z1＋z2)·＝z1＋z2＝(z1*z3)＋(z2*z3)，显然成立；‎ 对于②，z1*(z2＋z3)＝z1()＝z1(z2＋z3)＝z1＋z1＝(z1*z2)＋(z1*z3)，显然成立；‎ 对于③，(z1*z2)*z3＝(z1z2)＝z1，而z1*(z2*z3)＝z1*(z2z3)＝z1z3，显然不成立；‎ 对于④，由于z1*z2＝z1，而z2*z1＝z2，显然不成立．故选B.‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎　　　　　　　　　　　 　　　　　 　　　　‎ ‎1．()复数i(2－i)＝(　　)‎ A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i 解：i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i.故选A.‎ ‎2．()已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝(　　)‎ A．5－4i B．5＋4i C．3－4i D．3＋4i 解：由a－i与2＋bi互为共轭复数，‎ 知a＝2，b＝1，‎ 所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.故选D.‎ ‎3．已知i为虚数单位，复数z满足zi＝，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 ‎ C．第三象限 D．第四象限 解：zi＝＝＝，所以z＝＝＝－4＋3i，所以＝－4－3i.故选C.‎ ‎4．()已知点A，B，则与向量方向相同的单位向量是(　　)‎ A. B. C. D. 解：＝，则||＝＝，所以＝.故选C.‎ ‎5．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是(　　)‎ A.＝2y B．z2＝x2＋y2‎ C.≥2x D.≤＋ 解：因为z－z＝2yi，所以|z－z|＝2|y|，选项A，C错误；而z2＝(x＋yi)2＝x2－y2＋2xyi，选项B错误；|z|＝，|z|2＝x2＋y2；(|x|＋|y|)2＝x2＋ y2＋2|xy|≥x2＋y2＝|z|2，因此|z|≤|x|＋|y|.故选D.‎ ‎6．已知平面向量a＝(1，－2)，b＝(2，1)， c＝(－4，－2)，则下列结论中错误的是(　　)‎ A．向量c与向量b共线 B．若c＝λ1a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则λ1＝0，λ2＝－2‎ C．对同一平面内任意向量d，都存在实数k1，k2，使得d＝k1b＋k2c D．向量a在向量b方向上的投影为0‎ 解：因为c＝－2b，所以向量c与向量b共线，所以选项A正确；由c＝λ1a＋λ2b可知，解得 所以选项B正确；向量c与向量b共线，所以由平面向量的基本定理可知，它们不能表示出同一平面内的任意向量，所以选项C错误；因为a·b＝0，所以a⊥b，所以夹角是90°，则向量a在向量b方向上的投影为|a|cos90°＝0，所以D正确．故选C.‎ ‎7．若i是虚数单位，则满足(p＋qi)2＝q＋pi的实数p，q一共有(　　)‎ A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 解：由(p＋qi)2＝q＋pi得p2－q2＋2pqi＝q＋pi，所以 解得或或或 因此满足条件的实数p，q一共有4对．故选D.‎ ‎8．()已知非零向量m，n满足 4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　)‎ A．4 B．－4 C. D．－ 解：由4|m|＝3|n|，可设|m|＝3k，|n|＝4k(k＞0)，又n⊥(tm＋n)，所以n·(tm＋n)＝n·tm＋n·n＝t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝t×3k×4k×＋(4k)2＝4tk2＋16k2＝0，所以t＝－4.故选B.‎ ‎9．设复数Z＋i(Z∈C)在映射f下的象为复数Z的共轭复数与i的积，若复数ω在映射f 下的象为－1＋2i，则相应的ω为(　　)‎ A．2 B．2－2i C．－2＋i D．2＋i 解：令ω＝a＋bi，a，b∈R，‎ 则ω＝[a＋(b－1)i]＋i，所以在映射f下ω的象为[a－(b－1)i]·i＝b－1＋ai＝－1＋2i，所以 解得 所以ω＝2.故选A.‎ ‎10．()复数z1，z2满足z1＝ m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(i是虚数单位，m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是(　　)‎ A．[－1，1] B. C. D. 解：由复数相等的充要条件可得 消去m得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝4sin2θ－3sinθ＝4－，因为sinθ∈[－1，1]，所以λ∈.故选C.‎ ‎11．设非零向量a，b的夹角为θ，记 f(a，b)＝acosθ－bsinθ，若e1，e2‎ 均为单位向量，且e1·e2＝，则向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为(　　)‎ A. B. C. D.π 解：设e1，e2的夹角为α，则e2与－e1的夹角为π－α，由题意得|e1|＝|e2|＝1，‎ 所以e1·e2＝|e1||e2|cosα＝cosα＝，‎ 故α＝，π－α＝π，‎ 所以f(e1，e2)＝e1cos－e2sin＝e1－e2，‎ f(e2，－e1)＝e2cosπ－＝e1－e2，‎ f(e1，e2)·f(e2，－e1)＝· ‎＝－e1·e2＋＝－＝0.‎ 所以f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为.故选B.‎ ‎12．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OD＝3，点P为△BCD内(含边界)的动点，设＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β的最大值等于(　　)‎ A. B. C. D．1‎ 解：以O为原点，OA，OC分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，‎ 则由条件知C(0，1)，A(1，0)，B(1，1)，D(3，0)，＝α＋β＝(3β，α)．‎ 设P(x，y)，则因为P在△BCD内，则有 所以 如图作出可行域，作直线l0：α＋β＝0，平移l0可知当移到点E时，α＋β取最大值.故选B.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．()复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________．‎ 解：z＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i.故填5.‎ ‎14．已知向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，则a·(a－2b)＝________．‎ 解：a·(a－2b)＝a2－2a·b＝2－2××2×＝6.故填6.‎ ‎15．在△ABC中，AC＝1，AB＝2，A＝，过点A作AP⊥BC于点P，且＝λ＋μ，则λμ＝________.‎ 解：由题意知·＝2×1×cos＝－1，因为AP⊥BC，所以·＝0，即(λ＋μ)·(－)＝0，‎ 所以(λ－μ)·－λ2＋μ2＝0，‎ 即μ－λ－4λ＋μ＝0，所以μ＝λ，①‎ 因为P，B，C三点共线，所以λ＋μ＝1，②‎ 由①②联立解得 即λμ＝×＝.‎ 故填.‎ ‎16．()已知向量a，b，|a|＝1，‎ ‎|b|＝2，若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤，则a·b的最大值是________．‎ 解：因为|(a＋b)·e|＝|a·e＋b·e|≤|a·e|＋|b·e|≤，且当a＋b与e同向时，(a＋b)·e取得最大值为|a＋b|，要使上式对任意单位向量e成立，即|a＋b|≤，则|a|2＋|b|2＋2a·b≤6，则a·b≤，即最大值为.故填.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(10分)已知向量a＝(1，2)，b＝(x，1)．‎ ‎(1)若〈a，b〉为锐角，求x的范围；‎ ‎(2)当(a＋2b)⊥(2a－b)时，求x的值．‎ 解：(1)若〈a，b〉为锐角，‎ 则a·b>0且a，b不同向．‎ 则a·b＝x＋2>0，‎ 所以x>－2.当x＝时，a，b同向．‎ 所以x>－2且x≠.‎ ‎(2)因为a＋2b＝(1＋2x，4)，(2a－b)＝(2－x，3)，则(2x＋1)(2－x)＋3×4＝0，‎ 即－2x2＋3x＋14＝0，‎ 解得x＝或x＝－2.‎ ‎18．(12分)已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．‎ 解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，‎ 所以z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.‎ 因为＝＝(x－2i)(2＋i)‎ ‎＝(2x＋2)＋(x－4)i，‎ 由题意得x＝4，所以z＝4－2i.‎ 因为(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，‎ 所以 解得20，‎ 解得－

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