【数学】2018届一轮复习人教A版 函数与方程 学案

【数学】2018届一轮复习人教A版 函数与方程 学案

‎1.函数的零点 ‎(1)函数零点的定义 函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.‎ ‎(2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.‎ ‎(3)函数零点的判定(零点存在性定理)‎ 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解.‎ ‎2.二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.‎ ‎3.二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像与零点的关系 Δ>0‎ Δ＝0‎ Δ<0‎ 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像 与x轴的交点 ‎(x1,0)，(x2,0)‎ ‎(x1,0)‎ 无交点 零点个数 ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点.(　×　)‎ ‎(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　×　)‎ ‎(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.(　×　)‎ ‎(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.(　√　)‎ ‎(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点.(　√　)‎ ‎1.(教材改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　)‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ 答案　B 解析　∵f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，‎ ‎∴f(x)在(－1,0)内有零点，‎ 又f(x)为增函数，∴函数f(x)有且只有一个零点.‎ ‎2.若f(x)是奇函数，且x0是y＝f(x)＋ex的一个零点，则－x0一定是下列哪个函数的零点(　　)‎ A.y＝f(－x)ex－1 B.y＝f(x)e－x＋1‎ C.y＝f(x)ex－1 D.y＝f(x)ex＋1‎ 答案　C 解析　可得f(x0)＝－ex0，则e－x0f(x0)＝－1，‎ 即e－x0·f(－x0)＝1，则－x0一定是y＝exf(x)－1的零点.‎ ‎3.函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为(　　)‎ A.(0,1) B.(1,2)‎ C.(2,3) D.(3,4)‎ 答案　B 解析　由于f(1)＝log21－1＝－1<0，f(2)＝log22－＝1－>0，因此f(1)·f(2)<0，故由零点存在性定理知函数f(x)在区间(1,2)内有零点.故选B.‎ ‎4.(2015·天津)已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为(　　)‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ 答案　A 解析　当x>2时，g(x)＝x－1，f(x)＝(x－2)2；‎ 当0≤x≤2时，g(x)＝3－x，f(x)＝2－x；‎ 当x<0时，g(x)＝3－x2，f(x)＝2＋x.‎ 由于函数y＝f(x)－g(x)的零点个数就是方程f(x)－g(x)＝0的根的个数.‎ x>2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2－5x＋5＝0，其根为x＝或x＝(舍去)；‎ 当0≤x≤2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为2－x＝3－x，无解；‎ 当x<0时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2＋x－1＝0，其根为x＝或x＝(舍去).‎ 所以函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为2.‎ ‎5.已知x0是f(x)＝x＋的一个零点，x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0,0)，则(　　)‎ A.f(x1)<0，f(x2)<0‎ B.f(x1)>0，f(x2)>0‎ C.f(x1)>0，f(x2)<0‎ D.f(x1)<0，f(x2)>0‎ 答案　C 解析　在同一坐标系下作出函数f(x)＝x，f(x)＝－的图像(图略)，由图像可知当x∈(－∞，x0)时，x>－，x∈(x0,0)时，x<－，所以当x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0,0)时，有f(x1)>0，f(x2)<0，选C.‎ 题型一　函数零点的确定 命题点1　函数零点所在的区间 例1　已知函数f(x)＝ln x－x－2的零点为x0，则x0所在的区间是(　　)‎ A.(0,1) B.(1,2) ‎ C.(2,3) D.(3,4)‎ 答案　C 解析　∵f(x)＝ln x－x－2在(0，＋∞)是增函数，‎ 又f(1)＝ln 1－－1＝ln 1－2<0，‎ f(2)＝ln 2－0<0，‎ f(3)＝ln 3－1>0，‎ ‎∴x0∈(2,3)，故选C.‎ 命题点2　函数零点个数的判断 例2　(1)函数f(x)＝的零点个数是________.‎ ‎(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是(　　)‎ A.多于4 B.4‎ C.3 D.2‎ 答案　(1)2　(2)B 解析　(1)当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点.当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数.又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.‎ ‎(2)由题意知，f(x)是周期为2的偶函数.‎ 在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图像，如图 观察图像可以发现它们有4个交点，‎ 即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点.‎ 命题点3　求函数的零点 例3　已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为(　　)‎ A.{1,3} B.{－3，－1,1,3}‎ C.{2－，1,3} D.{－2－，1,3}‎ 答案　D 解析　当x≥0时，f(x)＝x2－3x，令g(x)＝x2－3x－x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1.‎ 当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)，‎ ‎∴－f(x)＝x2＋3x，‎ ‎∴f(x)＝－x2－3x.‎ 令g(x)＝－x2－3x－x＋3＝0，‎ 得x3＝－2－，x4＝－2＋>0(舍)，‎ ‎∴函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合是{－2－，1,3}，故选D.‎ 思维升华　(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法.(2)判断函数零点个数的方法①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法转化为两个函数图像的交点个数.‎ ‎　(1)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　)‎ A.(0,1) B.(1,2)‎ C.(2,4) D.(4，＋∞)‎ ‎(2)函数f(x)＝－x的零点个数为(　　)‎ A.0 B.1‎ C.2 D.3‎ 答案　(1)C　(2)B 解析　因为f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－log24＝－<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4).‎ ‎(2)方法一　令f(x)＝0，得＝x，在平面直角坐标系中分别画出函数y＝与y＝x的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B.‎ 方法二　因为f(0)＝－1，f(1)＝，‎ 所以f(0)f(1)<0，‎ 故函数f(x)在(0,1)至少存在一个零点，‎ 又f(x)显然为增函数，‎ 所以f(x)零点个数为1.‎ 题型二　函数零点的应用 例4　若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围.‎ 解　方法一　(换元法)‎ 设t＝2x (t>0)，则原方程可变为t2＋at＋a＋1＝0，(*)‎ 原方程有实根，即方程(*)有正根.‎ 令f(t)＝t2＋at＋a＋1.‎ ‎①若方程(*)有两个正实根t1，t2，‎ 则解得－10，解得a＝－1.‎ 综上，a的取值范围是(－∞，2－2 ].‎ 方法二　(分离变量法)‎ 由方程，解得a＝－，设t＝2x (t>0)，‎ 则a＝－＝－ ‎＝2－，其中t＋1>1，‎ 由基本不等式，得(t＋1)＋≥2，当且仅当t＝－1时取等号，故a≤2－2.‎ 思维升华　对于“a＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y＝f(x)的值域来解决，解的个数可化为函数y＝f(x)的图像和直线y＝a交点的个数.‎ ‎　(1)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是(　　)‎ A.(1,3) B.(1,2)‎ C.(0,3) D.(0,2)‎ ‎(2)已知函数f(x)＝若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(1,3) B.(0,3) C.(0,2) D.(0,1)‎ 答案　(1)C　(2)D 解析　(1)因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0.所以0＜a＜3.‎ ‎(2)画出函数f(x)的图像如图所示，‎ 观察图像可知，若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则函数y＝f(x)的图像与直线y＝a有3个不同的交点，此时需满足0＜a＜1，故选D.‎ 题型三　二次函数的零点问题 例5　已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围.‎ 解　方法一　设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x10时，f(x)＝2 016x＋log2 016x，则在R上函数f(x)的零点个数为________.‎ 易错分析　得出当x>0时的零点个数后，容易忽略条件定义在R上的奇函数，导致漏掉x<0时和x＝0时的情况.‎ 解析　当x>0时，由f(x)＝2 016x＋log2 016x＝0得2 016x＝－log2 016x＝.作出函数y＝2 016x与函数y＝的图像，可知它们只有一个交点，所以当x>0时函数只有一个零点.由于函数为奇函数，所以当x<0时，也有一个零点.又当x＝0时y＝0，所以共有三个零点.‎ 答案　3‎ 温馨提醒　(1)讨论x>0时函数的零点个数也可利用零点存在性定理结合函数单调性确定.(2)函数的定义域是讨论函数其他性质的基础，要给予充分重视.‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1.函数零点的判定常用的方法有 ‎(1)零点存在性定理；‎ ‎(2)数形结合函数y＝f(x)－g(x)的零点，就是函数y＝f(x)和y＝g(x)图像交点的横坐标.‎ ‎(3)解方程.‎ ‎2.二次函数的零点可利用求根公式、判别式、根与系数的关系或结合函数图像列不等式(组).‎ ‎3.利用函数零点求参数范围的常用方法直接法、分离参数法、数形结合法. ‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图像.‎ ‎2.判断零点个数要注意函数的定义域，不要漏解；画图时要尽量准确.‎ A组　专项基础训练 ‎(时间45分钟)‎ ‎1.函数f(x)＝＋ln的零点所在的大致区间是(　　)‎ A.(1,2) B.(2,3)‎ C.(3,4) D.(1,2)与(2,3)‎ 答案　B 解析　f(x)＝＋ln＝－ln(x－1)，当10，所以f(x)>0，故函数f(x)在(1,2)上没有零点.f(2)＝1－ln 1＝1，f(3)＝－ln 2＝＝.∵＝2≈2.828>e，∴8>e2，即ln 8>2，即f(3)<0.又f(4)＝－ln 3<0，∴f(x)在(2,3)内存在一个零点.‎ ‎2.已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则(　　)‎ A.a0，且f(x)为R上的递增函数.‎ 故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1,0).‎ ‎∵g(2)＝0，∴g(x)的零点b＝2；‎ ‎∵h＝－1＋＝－<0，h(1)＝1>0，‎ 且h(x)为(0，＋∞)上的增函数，‎ ‎∴h(x)的零点c∈，因此a1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，‎ 又因为x>1，所以此时方程无解.‎ 综上函数f(x)的零点只有0，故选D.‎ ‎4.方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 答案　B 解析　(数形结合法)‎ ‎∵a>0，∴a2＋1>1.‎ 而y＝|x2－2x|的图像如图，‎ ‎∴y＝|x2－2x|的图像与y＝a2＋1的图像总有两个交点. ‎ ‎5.已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是(　　)‎ A.(－∞，－1) B.(－∞，0)‎ C.(－1,0) D.[－1,0)‎ 答案　D 解析　当x >0时，f(x)＝2x－1.令f(x)＝0，解得x＝；当x≤0时，f(x)＝ex＋a，此时函数f(x)＝ex＋a在(－∞，0]上有且仅有一个零点，等价转化为方程ex＝－a在(－∞，0]上有且仅有一个实根，而函数y＝ex在(－∞，0]上的值域为(0,1]，所以0<－a≤1，解得－1≤a<0.故选D.‎ ‎6.已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a<0)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围为________.‎ 答案　(－2,0)‎ 解析　∵－a＝x2＋x在(0,1)上有解，‎ 又y＝x2＋x＝(x＋)2－，‎ ‎∴函数y＝x2＋x，x∈(0,1)的值域为(0,2)，‎ ‎∴0<－a<2，∴－20的解集是_________.‎ 答案　{x|－0，‎ 即－(4x2＋2x－6)>0⇔2x2＋x－3<0，‎ 解集为{x|－0).‎ ‎(1)作出函数f(x)的图像；‎ ‎(2)当00，‎ 则应有f(2)<0，‎ 又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，‎ ‎∴m<－.‎ ‎②若f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，则 ‎∴ ‎∴ ‎∴－≤m≤－1.‎ 由①②可知m的取值范围是(－∞，－1].‎ 方法二　显然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，‎ ‎00时，x＋f(x)＝m，即x＋＝m，解得m≥2.即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞).故选D.‎ ‎12.函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.‎ 答案　2‎ 解析　由于ln 21，所以f(3)>0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.‎ ‎13.已知00和k<0作出函数f(x)的图像.当01或k<0时，没有交点，故当0

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