【数学】2019届一轮复习人教A版理第3章第5节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式教案

【数学】2019届一轮复习人教A版理第3章第5节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式教案

第五节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．‎ ‎(对应学生用书第58页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；‎ ‎(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；‎ ‎(3)tan(α±β)＝.‎ ‎2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin 2α＝2sin αcos α；‎ ‎(2)cos 2α＝cosα－sinα＝2cosα－1＝1－2sinα；‎ ‎(3)tan 2α＝.‎ ‎3．有关公式的变形、逆用 ‎(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；‎ ‎(2)cosα＝，sinα＝，sin αcos α＝；‎ ‎(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α),1－sin 2α＝(sin α－cos α)，‎ sin α±cos α＝sin.‎ ‎[知识拓展]‎ ‎1．辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ).‎ ‎2．sin 15°＝，cos 15°＝，tan 15°＝2－.‎ ‎3．tan ＝＝.‎ ‎4．sin 2α＝，cos 2α＝.‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　)‎ ‎(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．(　　)‎ ‎(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　)‎ ‎(4)y＝3sin x＋4cos x的最大值是7.(　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)‎ A．－　 B． C．－ D． D　[sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故选D．]‎ ‎3．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)‎ A．－ B．－ C． D． A　[∵sin α－cos α＝，‎ ‎∴(sin α－cos α)＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝，‎ ‎∴sin 2α＝－.故选A．]‎ ‎4．函数 f(x)＝sin x＋cos x的最小值为________．‎ ‎－2　[函数f(x)＝2sin的最小值是－2.]‎ ‎5．若锐角α，β满足tan α＋tan β＝－tan αtan β，则α＋β＝________.‎ 　[由已知可得＝，即tan(α＋β)＝.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.]‎ ‎(对应学生用书第58页)‎ 三角公式的基本应用 ‎　(1)(2017·山西长治二中等五校第四次联考)若cos θ＝，θ为第四象限角，则cos的值为(　　)‎ A．　 B． C． D． ‎(2)(2018·南宁、钦州第二次适应性考试)若锐角α，β满足sin α＝，tan(α－β)＝，则tan β＝________.‎ ‎(1)B　(2)　[(1)因为cos θ＝，θ为第四象限角，则sin θ＝－，故cos＝cos θ－sin θ＝×＝，故选B．‎ ‎(2)因为锐角α满足sin α＝，所以cos α＝＝，则tan α＝＝ ‎，tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝＝.]‎ ‎[规律方法]　三角函数公式的应用策略 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.‎ (2)使用公式求值，应先求出相关角的三角函数值，再代入公式求值.‎ ‎[跟踪训练]　已知α∈，sin α＝，则cos的值为________. ‎ ‎【导学号：97190121】‎ ‎－　[因为α∈，sin α＝，‎ 所以cos α＝－＝－.‎ sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，‎ cos 2α＝1－2sinα＝1－2×＝，‎ 所以cos ‎＝coscos 2α＋sinsin 2α ‎＝×＋× ‎＝－.]‎ 三角公式的逆用与变形应用 ‎　(1)计算的值为(　　)‎ A．－ B． C． D．－ ‎(2)(2017·河北名师俱乐部模拟)已知θ∈，且sin θ－cos θ＝－，则＝(　　)‎ A． B． C． D． ‎(1)B　(2)D　[(1)＝ ‎＝＝＝.‎ ‎(2)由sin θ－cos θ＝－，‎ 得sin＝，‎ ‎∵θ∈，‎ ‎∴0＜－θ＜，‎ ‎∴cos＝.‎ ‎∴＝ ‎＝＝ ‎＝2cos＝.]‎ ‎[规律方法]　1.三角函数公式的活用方法 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式.‎ (2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β)) 三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用.‎ ‎2.三角函数公式逆用和变形应用应注意的问题 (1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系.‎ (2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式.‎ ‎[跟踪训练]　(1)＝________.‎ ‎(2)已知cos＋sin α＝，则sin的值是________．‎ ‎(1)　(2)－　[法一：原式＝ ‎＝＝tan 30°＝.‎ 法二：原式＝ ‎＝＝＝.‎ 法三：∵＝＝.‎ 又＞0，‎ ‎∴＝.‎ ‎(2)由cos＋sin α＝，‎ 可得cos α＋sin α＋sin α＝，‎ 即sin α＋cos α＝，所以sin＝，sin＝，‎ 所以sin＝－sin＝－.]‎ 角的变换 ‎　(1)(2017·深圳一模)若α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，则cos β＝(　　)‎ A．　　 B． C．或－ D．或 ‎(2)(2018·海口调研)若cos＝，则cos的值为(　　)‎ A．　　 　B．－ C．　　 　D．－ ‎(1)A　(2)A　[(1)因为α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，所以sin α＝，cos(α－β)＝，从而cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝，故选A．‎ ‎(2)因为cos＝，则cos＝cos＝－cos＝1－2cos＝，故选A．]‎ ‎[规律方法]　利用角的变换求三角函数值的策略 (1)当“已知角”有两个时：一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式.‎ (2)当“已知角”有一个时：此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.‎ ‎[跟踪训练]　(1)已知tan(α＋β)＝1，tan＝，则tan的值为(　　) ‎ ‎【导学号：97190122】‎ A．　　 　B． C．　　 　D． ‎(2)(2017·山西太原五中4月模拟)已知角α为锐角，若sin＝，则cos＝(　　)‎ A． B． C． D． ‎(1)B　(2)A　[(1)tan＝tan(α＋β)－＝＝＝.‎ ‎(2)由于角α是锐角，且sin＝，则cos＝，则cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝，故选A．]‎