【数学】2021届一轮复习人教A版导数的综合应用学案

【数学】2021届一轮复习人教A版导数的综合应用学案

‎2020年高考理科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练 ‎【题型归纳】‎ 题型一 含参数的分类讨论 例1 ‎ 已知函数，导函数为，‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若在[—1，3]上的最大值和最小值。‎ ‎【答案】略 ‎【解析】（I），（下面要解不等式，到了分类讨论的时机，分类标准是零）‎ ‎ 当单调递减； ‎ ‎ 当的变化如下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 ‎ 此时，单调递增， 在单调递减； ‎ ‎ （II）由 ‎ ‎ 由（I）知，单调递增。‎ ‎【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底 ‎【思维点拨】分类讨论的难度是两个，（1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理，由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不重复一遗漏。还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。‎ 题型二 已知单调性求参数取值范围问题 ‎ 例1 已知函数， 若函数在上是单调增函数，求的取值范围 ‎【答案】‎ ‎【解析】,依题意在上恒有成立，‎ 方法1：‎ 函数，对称轴为，故在上单调递增，故只需即可，得，所以的取值范围是；‎ 方法2： 由，得，只需，易得，因此，，所以的取值范围是；‎ ‎【易错点】本题容易忽视中的等号 ‎【思维点拨】已知函数在区间可导：‎ ‎1. 在区间内单调递增的充要条件是如果在区间内，导函数，并且在的任何子区间内都不恒等于零；‎ ‎2. 在区间内单调递减的充要条件是如果在区间内，导函数，并且在的任何子区间内都不恒等于零；‎ 说明：‎ ‎1.已知函数在区间可导,则在区间内成立是在内单调递增的必要不充分条件 ‎2.若为增函数，则一定可以推出；更加具体的说，若为增函数，则或者，或者除了x在一些离散的值处导数为零外，其余的值处都；‎ ‎3. 时，不能简单的认为为增函数，因为的含义是或，当函数在某个区间恒有时，也满足,但在这个区间为常函数.‎ 题型三 方程与零点 ‎1．已知函数，若存在三个零点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】很明显 ，由题意可得： ，则由 可得 ，‎ 由题意得不等式： ，即： ，‎ 综上可得的取值范围是 .本题选择D选项. ‎ ‎【易错点】找不到切入点，“有三个零点”与函数的单调性、极值有什么关系？挖掘不出这个关系就无从下手。‎ ‎【思维点拨】函数零点的求解与判断 ‎(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．‎ ‎(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．‎ ‎(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．‎ 题型四、导数证明不等式 例1 当时，证明不等式成立。‎ ‎【答案】略 ‎【解析】设则 ‎∵∴ ∴在内单调递减，而 ‎∴ 故当时，成立。‎ ‎【易错点】不能顺利把不等式转化为等价的函数、方程问题 ‎【思维点拨】注意观察不等式的结构，选择合理的变形，构造函数，把不等式问题转化为函数的极值、最值问题。‎ ‎【巩固训练】‎ 题型一 含参的分类讨论 ‎1. 已知函数 ‎ （I）求的单调区间； （II）若在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。‎ ‎【答案】略 ‎【解析】（I）‎ ‎ 当且仅当时取“=”号，单调递增。 ‎ ‎ ‎ ‎ 当变化时，、的变化如下表：‎ ‎—1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 ‎ ‎ ‎ （II）当恒成立。 ‎ ‎ 由（I）可知 ‎ ‎ 若上单调递减，‎ 上不单增，不符合题意；‎ 综上，a的取值范围是[0，1] ‎ ‎2. 已知函数，求函数的极值. ‎ ‎【答案】略 ‎【解析】由可知: ‎ ‎①当时,,函数为上的增函数,函数无极值; ‎ ‎②当时,由,解得; ‎ 时,,时, ‎ 在处取得极小值,且极小值为,无极大值. ‎ 综上:当时,函数无极值 ‎ 当时,函数在处取得极小值,无极大值. ‎ ‎3. 已知,求的单调区间。‎ ‎【答案】略 ‎【解析】函数的导数 ‎ ‎（ⅰ）当时，若，则；若,则；‎ 则在（－∞，0）内为减函数，在（0，＋∞）内为增函数。‎ ‎（ⅱ）当a>0时，由＞0‎ 则在（－∞，－）内为增函数，在（0，＋∞）内为增函数。‎ 由＜0，在（－，0）内为减函数。‎ ‎（ⅲ）当a<0时，由＞00-，在（－∞,0）∪（-，+∞）内为减函数。‎ ‎4. 若函数没有极值点，求的取值范围。‎ ‎【答案】略 ‎【解析】由已知可得 ，若函数不存在极值点，则在方程即中，有，解之得 规律小结：极值点的个数，一般是使方程根的个数，一般情况下导函数若可以化成二次函数，我们可以利用判别式研究，若不是，我们可以借助图形研究。‎ 题型二 已知单调性求参数范围 已知在R上是减函数，求的取值范围。‎ ‎【答案】略 ‎【解析】：对求导得，由题意可知对任意实数恒有, ‎ 讨论：‎ （1） 当，显然不符合题意；‎ （2） 当时也不符合题意；‎ （3） 当时，依题意必有，即，‎ 综上可知的取值范围是 ‎3.已知，函数在是一个单调函数。‎ (1) 试问函数在上是否为单调减函数？请说明理由；‎ (2) 若函数在上是单调增函数，试求的取值范围。‎ ‎【答案】略 ‎【解析】解：（1），若函数在区间上单调递减，则在上恒成立，即对恒成立，这样的值不存在。所以函数在区间上不是单调减函数。‎ ‎ （2）函数在区间上是单调增函数，则，即在上恒成立，在此区间上，从而得 规律小结：函数在区间上递增，递减在此基础上再研究参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解）注意：解出的参数的值要是使恒等于0，则参数的这个值应舍去，否则保留。‎ 题型三 方程与零点 ‎1.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】当时，，函数有两个零点，不符合；当时，，令，得，可知在必有一个零点，也不符合；当时，，得，故选C ‎2.设为实数，函数 ，当为何值时，方程恰好有两个实数根.‎ ‎【答案】略 ‎【解析】求导得，‎ ‎∵当或时，；‎ 当，；‎ ‎∴在和单调递减，在在单调递增，‎ ‎∴的极小值为，的极大值为；‎ ‎ 要使方程恰好有两个实数根，只需的图象与轴恰有两个公共点，画出的草图，‎ ‎∴且或且；‎ ‎∴或 故当或时，方程恰有两个实数根.‎ ‎3.若函数，当时，函数有极值，‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若函数有3个解，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】略 ‎【解析】‎ 求导得， ‎ ‎（1）由题意，得 ‎ ‎ 所求解析式为 ‎（2）由（1）可得：‎ ‎ 令，得或 ‎ 当变化时，、的变化情况如下表：‎ ‎—‎ 单调递增↗‎ 单调递减↘‎ 单调递增↗‎ 因此，当时，有极大值 ‎ ‎ 当时，有极小值 ‎ 函数的图象大致如图： ‎ 由图可知： ‎ 题型四、导数证明不等式 ‎1、当时，证明不等式成立。‎ ‎【答案】略 ‎【解析】设则 令则当时，在上单调递增，而 在上恒成立，即在恒成立。在上单调递增，又即时，成立。‎ ‎2、已知函数其中,为常数.当时，证明：对任意的正整数,当时，有。‎ ‎【答案】略 ‎【解析】证法一：，‎ ‎ 当为偶数时，令 则.‎ 当时，单调递增，又 ，‎ 恒成立，成立。‎ 当为奇数时， 要证,由于，只需证,‎ ‎ 令 , 则 ‎ ‎ 当时，单调递增，又，‎ ‎ 当时，恒有, 即，命题成立.‎ 综上所述，结论成立.‎ 证法二：当时，‎ 当时，对任意的正整数，恒有，故只需证明 令,则 当时，，故在上单调递增，‎ 因此，当时，，即成立.‎ 故当时，有.即.‎ ‎3、 设函数，证明：当时，；‎ ‎【答案】略 ‎【解析】证明：‎ 所以在上单增，而 故当时，‎ ‎4、已知函数，设，‎ 证明：‎ ‎【答案】略 ‎【解析】‎ 证明：，设 ‎ 当时 ，当时 ，‎ 即在上为减函数，在上为增函数 ‎∴，又 ∴，‎ 即 ‎ 设 ‎ ‎，‎ 当时，，因此在区间上为减函数；‎ 因为，又 ∴，‎ 即 ‎ 故 综上可知，当 时，‎