【数学】2020届一轮复习人教B版　概率与统计的综合应用学案

【数学】2020届一轮复习人教B版　概率与统计的综合应用学案

考查角度 2　概率与统计的综合应用 　　分类透析一　古典概型的综合应用 例 1 一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有 1,2,3,4 四个数 字,现随机投掷两次,设正四面体朝下面的数字分别为 b,c. (1)若 z=|b-3|+|c-3|,求 z=2 的概率; (2)若方程 x2-bx-c=0 至少有一个根 x∈{1,2,3,4},就称该方程 为“漂亮方程”,求方程为“漂亮方程”的概率. 分析 (1)用列举法列出事件,再根据要求求解. (2)分类讨论. 解析 (1)因为随机投掷两次,所以基本事件(b,c)有 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2) ,(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共 16 个. 当 z=2 时,(b,c)的所有取值有 (1,3),(3,1),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4),共 6 个. 所以 P(z=2)= 6 16=3 8. (2)①若方程的一个根为 x=1,则 1-b-c=0, 即 b+c=1,不成立. ②若方程的一个根为 x=2,则 4-2b-c=0, 即 2b+c=4,所以{푏 = 1, 푐 = 2. ③若方程的一个根为 x=3,则 9-3b-c=0, 即 3b+c=9,所以{푏 = 2, 푐 = 3. ④若方程的一个根为 x=4,则 16-4b-c=0, 即 4b+c=16,所以{푏 = 3, 푐 = 4. 由①②③④知,(b,c)的所有可能取值为(1,2),(2,3),(3,4). 所以方程为“漂亮方程”的概率 P= 3 16. 方法技巧 古典概型中基本事件个数的探求方法 (1)列举法. (2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于 基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法. (3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂 的题目简单化、抽象的题目具体化. 　　分类透析二　统计与古典概型的综合应用 例 2 据统计,2017 年国庆中秋假日期间,黔东南州共接待游客 590.23 万人次,实现旅游收入 48.67 亿元,同比分别增长 44.57%、 55.22%.旅游公司规定:若公司导游接待旅客,旅游年总收入不低于 40(单位:百万元),则称为优秀导游.经验表明,若公司的优秀导游率 越高,则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游 100 名,统计他们一年内旅游总收入,分别得到甲公司的频率分布直 方图和乙公司的频数分布表: 分 组 [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60) 频 数 b 18 49 24 5 乙公司 　　(1)求 a,b 的值,并比较甲、乙两家旅游公司,哪家的影响度更 高? (2)若导游的奖金(单位:万元)与其一年内旅游总收入 x(单位: 百万元)之间的关系为 y={1,푥 < 20, 2,20 ≤ 푥 < 40, 3,푥 ≥ 40. 求甲公司导游的年平均奖 金. (3)从甲、乙两家公司旅游收入在[50,60)的总人数中,用分层抽 样的方法随机抽取 6 人进行表彰,其中有两名导游代表旅游行业去参 加座谈,求参加座谈的导游中有乙公司导游的概率. 分析 (1)由频率和为 1 可求得 a=0.02,由频数为 100 可求得 b=4.进而可求得甲、乙公司的导游优秀率,得结论. (2)先求甲公司年旅游总收入分别在[10,20),[20,40),[40,60) 内的人数,再用平均数公式求甲公司导游的年平均奖金. (3)由已知得按分层抽样的方法,甲公司抽取 4 人,记为 a,b,c,d;乙公司抽取 2 人,记为 1,2.则 6 人中随机抽取 2 人的基本 事件有 15 个.参加座谈的导游中有乙公司导游的基本事件有 9 个,按 公式可求所求概率. 解析 (1)由频率分布直方图知 (0.01+0.025+0.035+a+0.01)×10=1,解得 a=0.02, 由频数分布表知 b+18+49+24+5=100,解得 b=4. ∴甲公司的导游优秀率为(0.02+0.01)×10=30%; 乙公司的导游优秀率为24 + 5 100 =29%. ∵30%>29%,∴甲公司的影响度更高. (2)甲公司年旅游总收入在[10,20)内的人数为 0.01×10×100=10 人; 年旅游总收入在[20,40)内的人数为 (0.025+0.035)×10×100=60 人; 年旅游总收入在[40,60)内的人数为(0.02+0.01)×10×100=30 人. 故甲公司导游的年平均奖金 ― y =10 × 1 + 60 × 2 + 30 × 3 100 =2.2(万元). (3)由已知得,年旅游总收入在[50,60)内的人数为 15 人,其中甲 公司 10 人,乙公司 5 人. 故按分层抽样的方法甲公司抽取 6×10 15=4 人,记为 a,b,c,d;从乙 公司抽取 6× 5 15=2 人,记为 1,2. 从 6 人中随机抽取 2 人的基本事件有 (a,b),(a,c),(a,d),(a,1),(a,2),(b,c),(b,d),(b,1),(b,2),(c,d) ,(c,1),(c,2),(d,1),(d,2),(1,2),共 15 个. 参加座谈的导游中有乙公司导游的基本事件有 (a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2),(d,1),(d,2),(1,2),共 9 个. 设事件 A 为“参加座谈的导游中有乙公司导游”,则 P(A)= 9 15=3 5. ∴所求概率为3 5. 方法技巧 以统计为载体,利用统计中的数据来求古典概型的概 率,仍用列举法求解. 　　分类透析三　独立性检验与古典概型的综合应用 例 3 近年来,我国电子商务蓬勃发展,有关部门推出了针对网购 平台的商品和服务的评价系统,从该系统中随机选出 100 次成功了的 交易,并对这些交易的评价进行统计,网购者对商品的满意率为 0.6, 对服务的满意率为 0.75,其中对商品和服务都满意的交易为 40 次. (1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表,并回答能否有 99%的 把握认为“网购者对服务满意与对商品满意之间有关”. 对服务 满意 对服务 不满意 合计 对商品 满意 40 对商品 不满意 合计 100 　　(2)现从对商品和服务都不满意的网购者中,任意抽取两人, 对他们进行回访,求对商品和服务都不满意的网购者甲被抽到的概 率. 附:K2= 푛(푎푑 - 푏푐)2 (푎 + 푏)(푐 + 푑)(푎 + 푐)(푏 + 푑)(其中 n=a+b+c+d 为样本容量). P(K2≥ k0) 0.1 5 0.1 0 0.0 5 0.0 25 0.0 10 k0 2.0 72 2.7 06 3.8 41 5.0 24 6.6 35 　　分析 (1)利用数据填写列联表即可,求出 K2 的观测值,对照 临界值即可得到结论; (2)由(1)知对商品和服务都不满意的网购者共有 5 人,利用列举 法求出所求随机事件的概率. 解析 (1) 对服务 满意 对服务 不满意 合计 对商品 满意 40 20 60 对商品 不满意 35 5 40 合计 75 25 100 　　K2 的观测值 k=100 × (40 × 5 - 20 × 35)2 75 × 25 × 60 × 40 ≈5.556<6.635, ∴没有 99%的把握认为“网购者对服务满意与对商品满意之间 有关”. (2)由(1)知对商品和服务都不满意的网购者共有 5 人,记他们是 甲、乙、丙、丁、戊,从他们中任意抽取两人,有(甲乙),(甲丙),(甲 丁),(甲戊),(乙丙),(乙丁),(乙戊),(丙丁),(丙戊),(丁戊),共 10 种抽法,其中甲被抽到的有(甲乙),(甲丙),(甲丁),(甲戊),共 4 种抽 法,所以所求概率为 4 10=2 5. 方法技巧 (1)利用公式求出 K2 的观测值,对照临界值即可得到 结论; (2)判断出是古典概型后,利用列举法求解古典概型概率问题. 1.(2017 年全国Ⅲ卷,文 18 改编)某花店每天以每枝 5 元的价格从农 场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售.如果当天卖不 完,剩下的玫瑰花当作垃圾处理. (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当 天需求量 n(单位:枝,n∈N)的函数解析式; (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 日需 求量 n 13 14 15 16 17 18 19 频数 10 20 16 16 15 13 10 ①假设花店在这 100 天内每天购进 16 枝玫瑰花,求这 100 天的日利 润(单位:元)的平均数; ②若花店一天购进 16 枝玫瑰花,以 100 天记录的各需求量的频率作 为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于 70 元的概率. 解析 (1)当日需求量 n≥16 时,利润 y=80, 当日需求量 n<16 时,利润 y=10n-80. 所以 y 关于 n 的函数解析式为 y={10푛 - 80,푛 < 16, 80,푛 ≥ 16 (n∈N). (2)①这 100 天中有 10 天的日利润为 50 元,20 天的日利润为 60 元,16 天的日利润为 70 元,54 天的日利润为 80 元, 所以这 100 天的日利润的平均数为 1 100 ×(50×10+60×20+70×16+80×54)=71.4(元). ②当天利润不少于 70 元,即日需求量不少于 15 枝, 故当天利润不少于 70 元的概率 P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7. 2.(2017 年全国Ⅱ卷,文 18 改编)近年来,微信越来越受欢迎,许多人 通过微信表达自己、交流思想和传递信息.微信是现代生活中进行信 息交流的重要工具,而微信支付为用户带来了全新的支付体验,支付 环节由此变得简便而快捷.某商场随机对商场购物的 200 名顾客进行 统计,结果如下: 40 岁 以下 40 岁 以上 使用微 信支付 80 20 未使用 微信支 付 40 60 (1)估计该地区 40 岁以上的人中,在商场购物时未使用微信支付的比 例; (2)能否有 99.9%的把握认为“使用微信支付与年龄有关”? 参考公式: K2= 푛(푎푑 - 푏푐)2 (푎 + 푏)(푐 + 푑)(푎 + 푐)(푏 + 푑),n=a+b+c+d. 参考数据: P(K2≥ k0) 0.10 0.05 0.01 0 0.00 1 k0 2.70 6 3.84 1 6.63 5 10.8 28 　　解析 (1)估计该地区 40 岁以上的人中,在商场购物时未使用微 信支付的比例为 60 20 + 60=3 4. (2)K2 的观测值 k=200 × (80 × 60 - 40 × 20)2 120 × 80 × 100 × 100 ≈33.3>10.828. 所有 99.9%的把握认为“使用微信支付与年龄有关”. 1.(2018 海南高三联考)某城市为鼓励人们绿色出行,乘坐地铁,地铁 公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策,不超过 9 站 的地铁票价如下表: 乘坐站 数 x 0

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