【数学】2019届一轮复习人教B版（文）第2章第5节二次函数与幂函数学案
第五节二次函数与幂函数
1．五种常见幂函数的图象与性质
函数
特征
性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
图象
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
(－∞，0)减，(0，＋∞)增
增
增
(－∞，0)和
(0，＋∞)减
公共点
(1,1)
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象与性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
定义域
值域
单调性
在上单调递增；
在上单调递减
在上单调递增；
在上单调递减
奇偶性
当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数
顶点
对称性
图象关于直线x＝－成轴对称图形
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x是幂函数．( )
(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.( )
(5)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
2．幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是( )
解析：选C 令f(x)＝xα，则4α＝2，∴α＝，∴f(x)＝x，则f(x)的图象如选项C中所示．
3．函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值是( )
A．－1 B．2 C．3 D．－1或2
解析：选B ∵f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.
又f(x)在x∈(0，＋∞)上是增函数，所以m＝2.
4．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
解析：选C 由题意知即解得a>.
5．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a的取值范围为________．
解析：由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，
所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，
应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.
答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞)
6．已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1，2a]，则y＝f(x)的值域为________．
解析：因为f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，所以其定义域[a－1,2a]关于原点对称，所以a－1＝－2a，所以a＝，因为f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，即f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以f(x)＝x2＋1，x∈，其值域为.
答案：
[考什么·怎么考]
高考中对幂函数的概念、图象及性质的考查难度不大，一般以选择题、填空题的形式呈现，其中幂函数的图象、利用幂函数性质求参数范围，结合指数、对数比较大小等问题较常见．
1．已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3)，则f(2)－f(1)＝( )
A．3 B．1－
C.－1 D．1
解析：选C 设幂函数f(x)＝xα，则f(9)＝9α＝3，即α＝，所以f(x)＝x＝，所以f(2)－f(1)＝－1，故选C.
2．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2＋m－1)x－5m－3为减函数，则实数m的值为( )
A．－2 B．1
C．1或－2 D．m≠
解析：选B 因为函数y＝(m2＋m－1)x－5m－3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以解得m＝1.
3．已知a＝3，b＝4，c＝12，则a，b，c的大小关系为( )
A．b
b>c，故选C.
4．若(a＋1) <(3－2a) ，则实数a的取值范围是________．
解析：易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以
解得－1≤a<.
答案：
[怎样快解·准解]
1．幂函数的图象与性质
幂函数y＝xα的图象和性质因α的取值不同而不同，一般可从三方面考察：
(1)α的正负：α>0时图象经过(0,0)点和(1,1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时图象不过(0,0)点，经过(1,1)点，在第一象限的部分“下降”；
(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时曲线下凹，0<α<1时曲线上凸，α<0时曲线下凹；
(3)函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性．
2．比较幂值大小的常见类型及解决方法
同底不同指
利用指数函数单调性进行比较
同指不同底
利用幂函数单调性进行比较
既不同底
常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小
又不同指
高考单独考查求二次函数的解析式较少，大多同其性质一同考查，多结合图象求解，难度中等.
[典题领悟]
已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
解：法一：(利用二次函数的一般式)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
故所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二：(利用二次函数的顶点式)
设f(x)＝a(x－m)2＋n.
∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝＝.
∴m＝，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8，
∴y＝f(x)＝a2＋8.
∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三：(利用两根式)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值ymax＝8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
故所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
[解题师说]
求二次函数解析式的方法
[冲关演练]
已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．
解：∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，
∴f(x)的对称轴为x＝2.
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，
∴f(x)＝0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．
又∵f(x)的图象过点(4,3)，
∴3a＝3，a＝1.
∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.
高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低.常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，考查二次函数的图象与性质的应用.,常见的命题角度有：
(1)二次函数图象的识别；
(2)二次函数的单调性问题；
(3)二次函数的最值问题；
(4)与二次函数有关的恒成立问题.
[题点全练]
角度(一) 二次函数图象的识别
1．(2018·重庆五中模拟)一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( )
解析：选C 若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c
的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，选C.
[题型技法] 识别二次函数图象应学会“三看”
角度(二) 二次函数的单调性问题
2．若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围为( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，2)
解析：选A 二次函数y＝kx2－4x＋2的对称轴为x＝，当k>0时，要使函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是增函数，只需≤1，解得k≥2.
当k<0时，<0，此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧，该函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k的取值范围是[2，＋∞)．
[题型技法] 研究二次函数单调性的思路
(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．
(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A⊆A⊆－，＋∞，即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧)．
角度(三) 二次函数的最值问题
3．(2017·浙江高考)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( )
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
解析：选B f(x)＝2－＋b，
①当0≤－≤1时，f(x)min＝m＝f＝－＋b，f(x)max＝M＝max{f(0)，f(1)}＝max{b,1＋a＋b}，
∴M－m＝max与a有关，与b无关；
②当－<0时，f(x)在[0,1]上单调递增，
∴M－m＝f(1)－f(0)＝1＋a与a有关，与b无关；
③当－>1时，f(x)在[0,1]上单调递减，
∴M－m＝f(0)－f(1)＝－1－a与a有关，与b无关．
综上所述，M－m与a有关，但与b无关．
[题型技法] 求二次函数在给定区间上最值的方法
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(不妨设a>0)在区间[m，n]上的最大或最小值如下：
(1)当－∈[m，n]，即对称轴在所给区间内时：
f(x)的最小值在对称轴处取得，其最小值是f＝；若－≤，f(x)的最大值为f(n)；若－≥，f(x)的最大值为f(m)．
(2)当－∉[m，n]，即给定的区间在对称轴的一侧时：
f(x)在[m，n]上是单调函数．若－f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，知－4t>2m＋mt2对任意实数t恒成立，即mt2＋4t＋2m<0对任意实数t恒成立，故有解得m∈(－∞，－)，故选A.
[题型技法] 与二次函数有关的不等式恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是
(3)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
[题“根”探求]
1．无论题型如何变化，都是围绕二次函数的图象与性质，变换不同的角度来考查．角度(一)中二次函数的图象识别问题是基础问题，角度(二)中二次函数的单调性问题是根本问题，角度(三)与角度(四)是在角度(一)和角度(二)的基础上的重点考查问题，数形结合思想是解决这类问题的基本策略．
2．二次函数在闭区间上最值问题的实质
二次函数在闭区间上一定存在最小值和最大值，它们只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得(若对称轴不在给定区域内则只考虑端点)．分别求出函数值，通过比较大小确定最值．
[冲关演练]
1．已知函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m](m>0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是( )
A．[1,2] B．(0,1]
C．(0,2] D．[1，＋∞)
解析：选A 作出函数的图象如图所示，从图中可以看出当1≤m≤2时，函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m](m>0)上的最大值为4，最小值为3.故选A.
2．已知函数f(x)＝ax2－2x＋2，若对一切x∈，f(x)>0都成立，则实数a
的取值范围为( )
A. B.
C．[－4，＋∞) D．(－4，＋∞)
解析：选B 由题意得，对一切x∈，f(x)>0都成立，
即a>＝－＋＝－22＋，
而－22＋≤，
则实数a的取值范围为.
(一)普通高中适用
A级——基础小题练熟练快
1．幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)是( )
A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
解析：选D 设幂函数的解析式为y＝xα，将(3，)代入解析式得3α＝，解得α＝，∴y＝x，其是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．
2．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝( )
A．1 B．2 C．1或2 D．3
解析：选A ∵函数f(x)为幂函数，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件．当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．故选A.
3．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)是增函数，当x∈(－∞，－2]时，f(x)是减函数，则f(1)的值为( )
A．－3 B．13
C．7 D．5
解析：选B 函数f(x)＝2x2－mx＋3图象的对称轴为x＝，由函数f(x)的增减区间可知＝－2，所以m＝－8，即f(x)＝2x2＋8x＋3，所以f(1)＝2＋8＋3＝13.
4．(2018·安阳模拟)下列选项正确的是( )
A．0.20.2＞0.30.2 B．2＜3
C．0.8－0.1＞1.250.2 D．1.70.3＞0.93.1
解析：选D A中，∵函数y＝x0.2在(0，＋∞)上为增函数，0.2＜0.3，∴0.20.2＜0.30.2，故A不正确；
B中，∵函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，
∴2＞3，故B不正确；
C中，∵0.8－1＝1.25，y＝1.25x在R上是增函数，0.1＜0.2，∴1.250.1＜1.250.2，即0.8－0.1＜1.250.2，故C不正确；D中，1.70.3＞1,0.93.1＜1，∴1.70.3＞0.93.1，故选D.
5．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
解析：选A 由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，∴f(x)先减后增，于是a>0，故选A.
6．若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax－5)的图象关于直线x＝0对称，则f(x)的最大值是( )
A．－4 B．4
C．4或－4 D．不存在
解析：选B 依题意，函数f(x)是偶函数，则y＝x2＋ax－5是偶函数，故a＝0，f(x)＝(1－x2)(x2－5)＝－x4＋6x2－5＝－(x2－3)2＋4，当x2＝3时，f(x)取得最大值4.
7．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.
解析：f(x)＝bx2＋(ab＋2a)x＋2a2.
由已知条件ab＋2a＝0，又f(x)的值域为(－∞，4]，
则因此f(x)＝－2x2＋4.
答案：－2x2＋4
8．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．
解析：设f(x)＝a2＋49(a≠0)，
方程a2＋49＝0的两个实根分别为x1，x2，
则|x1－x2|＝2 ＝7，
所以a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40.
答案：f(x)＝－4x2－12x＋40
9．当0＜x＜1时，f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x－2，则f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是________________．
解析：分别作出f(x)，g(x)，h(x)的图象如图所示，
可知h(x)＞g(x)＞f(x)．
答案：h(x)＞g(x)＞f(x)
10．如果存在实数x，使得关于x的不等式ax2－4x＋a－3＜0成立，则实数a的取值范围是______________．
解析：当a＝0时，原不等式变为－4x－3＜0，
解得x＞－，显然成立．
当a＞0时，需Δ＝(－4)2－4a(a－3)＞0，
即a2－3a－4＜0，解得0＜a＜4，
当a＜0时，显然成立，
综上可知，实数a的取值范围是(－∞，4)．
答案：(－∞，4)
B级——中档题目练通抓牢
1．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是( )
A．[0,4] B.
C. D.
解析：选D
二次函数图象的对称轴为x＝，且f＝－，f(3)＝f(0)＝－4，结合函数图象(如图所示)可得m∈.
2.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.
其中正确的是( )
A．②④ B．①④
C．②③ D．①③
解析：选B 因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确．
对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误．
结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误．
由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正确．
3．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且a＞b＞c，a＋b＋c＝0，则( )
A．∀x∈(0,1)，都有f(x)＞0
B．∀x∈(0,1)，都有f(x)＜0
C．∃x0∈(0,1)，都有f(x0)＝0
D．∃x0∈(0,1)，都有f(x0)＞0
解析：选B 由a＞b＞c，a＋b＋c＝0，可知a＞0，c＜0.
抛物线开口方向向上，因为f(0)＝c＜0，f(1)＝a＋b＋c＝0，
即1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，
所以∀x∈(0,1)，都有f(x)＜0.故选B.
4．(2017·山西一模)已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[ －3－m，m2－m]上的奇函数，则f(m)＝________.
解析：由题意得m2－m＝3＋m，即m2－2m－3＝0，
∴m＝3或m＝－1.
当m＝3时，f(x)＝x－1，[－3－m，m2－m]为[－6,6]，
f(x)在x＝0处无意义，故舍去．
当m＝－1时，f(x)＝x3，[－3－m，m2－m]为[－2,2]，满足题意，∴f(m)＝f(－1)＝(－1)3＝－1.
答案：－1
5．已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，如果对x∈[－3,1]，f(x)＞0恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：因为f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，对称轴为x＝－(a－2)，
对x∈[－3,1]，f(x)＞0恒成立，
所以或或
解得a∈∅或1≤a＜4或－＜a＜1，
所以实数a的取值范围为.
答案：
6．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，
对称轴为x＝－∈[－2,3]，
∴f(x)min＝f＝－－3＝－，
f(x)max＝f(3)＝15，
∴函数f(x)的值域为.
(2)∵函数f(x)的对称轴为x＝－.
①当－≤1，即a≥－时，
f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意；
②当－＞1，即a＜－时，
f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，
∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．
综上可知，a＝－或－1.
7．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a，b的值；
(2)若b<1，g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上单调，求m的取值范围．
解：(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.
当a>0时，f(x)在[2,3]上为增函数，
故⇒⇒
当a<0时，f(x)在[2,3]上为减函数，
故⇒⇒
故当a>0时，a＝1，b＝0，当a<0时，a＝－1，b＝3.
(2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2.
g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2，
∵g(x)在[2,4]上单调，∴≤2或≥4.
∴m≤2或m≥6.
故m的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．
C级——重难题目自主选做
1．(2018·合肥质检)函数f(x)＝－x2＋3x＋a，g(x)＝2x－x2，若f(g(x))≥0对x∈[0,1]恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．[－e，＋∞) B．[－ln 2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D.
解析：选C 如图所示，在同一坐标系中画出y＝x2＋1，y＝2x，y＝x2＋的图象，由图象可知，在[0,1]上，x2＋1≤2x0时，f(x)＝x|x|＋c在R上单调递增，故方程f(x)＝0只有一个实根，②正确．由①可知c＝0时，f(x)的图象关于原点对称，f(x)＝x|x|＋bx＋c的图象由y＝x|x|＋bx的图象向上平移c个单位得到的，故关于点(0，c)对称，③正确；当b＝－1，c＝0时，f(x)＝x|x|－x＝x(|x|－1)＝0，则x＝0或x＝±1，④错误，故选C.
法二：当c＝0时，f(－x)＝－x|－x|＋b(－x)＝－x|x|－bx＝－f(x)，故f(x)是奇函数，①正确，排除D；当b＝0，c＞0时，令f(x)＝x|x|＋c＝0，则当x≥0时，x2＋c＝0无解，当x＜0时，f(x)＝－x2＋c＝0，x＝－只有一个实数根，②正确，排除A、B，选C.
6.当0＜x＜1时，f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x－2，则f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是________________．
解析：分别作出f(x)，g(x)，h(x)的图象如图所示，
可知h(x)＞g(x)＞f(x)．
答案：h(x)＞g(x)＞f(x)
7.(2017·山西一模)已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[ －3－m，m2－m]上的奇函数，则f(m)＝________.
解析：由题意得m2－m＝3＋m，即m2－2m－3＝0，
∴m＝3或m＝－1.
当m＝3时，f(x)＝x－1，[－3－m，m2－m]为[－6,6]，
f(x)在x＝0处无意义，故舍去．
当m＝－1时，f(x)＝x3，[－3－m，m2－m]为[－2,2]，满足题意，
∴f(m)＝f(－1)＝(－1)3＝－1.
答案：－1
8.已知二次函数y＝x2＋2kx＋3－2k，则顶点位置最高时函数的解析式为________．
解析：由题意可知y＝x2＋2kx＋3－2k＝(x＋k)2－k2－2k＋3，所以该函数的顶点坐标为(－k，－k2－2k＋3)．
设顶点的纵坐标为y＝－k2－2k＋3＝－(k＋1)2＋4，所以当k＝－1时，顶点位置最高，此时函数的解析式为y＝x2－2x＋5.
答案：y＝x2－2x＋5
9.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，
所以当x＝1时，f(x)取得最小值1；
当x＝－5时，f(x)取得最大值37.
(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为直线x＝－a，
因为y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，
所以－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5.
故实数a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，
对称轴为x＝－∈[－2,3]，
∴f(x)min＝f＝－－3＝－，
f(x)max＝f(3)＝15，
∴函数f(x)的值域为.
(2)∵函数f(x)的对称轴为x＝－.
①当－≤1，即a≥－时，
f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意；
②当－＞1，即a＜－时，
f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，
∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．
综上可知，a＝－或－1.
B级——拔高题目稳做准做
1.已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是( )
A．[0,1] B．(0,1)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
解析：选D 当m＝0时，令f(x)＝0，得－3x＋1＝0，则x＝＞0，符合题意；
当m＞0时，由f(0)＝1，可知要满足题意，
则需解得0＜m≤1；
当m＜0时，由f(0)＝1可知，函数图象恒与x轴正半轴有一个交点．
综上可知，m的取值范围是(－∞，1]．
2．(2018·合肥质检)函数f(x)＝－x2＋3x＋a，g(x)＝2x－x2，若f(g(x))≥0对x∈[0,1]恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．[－e，＋∞) B．[－ln 2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D.
解析：选C 如图所示，在同一坐标系中画出y＝x2＋1，y＝2x，y＝x2＋的图象，由图象可知，在[0,1]上，x2＋1≤2xf(a－1)的实数a的取值范围．
解：(1)因为m2＋m＝m(m＋1)(m∈N*)，而m与m＋1中必有一个为偶数，所以m2＋m为偶数，
所以函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．
(2)因为函数f(x)的图象经过点(2，)，
所以＝2(m2＋m)－1，即2＝2(m2＋m)－1，
所以m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2.
又因为m∈N*，所以m＝1，f(x)＝x.
又因为f(2－a)>f(a－1)，
所以解得1≤a<，
故函数f(x)的图象经过点(2，)时，m＝1.满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为.
6.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围．
解：(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，
解得a＝1，b＝2，
∴f(x)＝(x＋1)2，∴F(x)＝
∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2－(－2＋1)2＝8.
(2)由题可知，f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0,1]上恒成立，
即b≤－x且b≥－－x在(0,1]上恒成立．
又－x的最小值为0，－－x的最大值为－2，
∴－2≤b≤0，故b的取值范围是[－2,0]．
