【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题03导数及其应用学案
专题三 导数及其应用
【导函数的特点】
①导数的定义可变形为：
②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数，
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数，
④并不是所有函数都有导函数．
⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定义域（a，b）,且导函数 在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值．
⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
【导数的几何意义】（即切线的斜率与方程）特别提醒：
①利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)在x0处的导数f′(x)；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y0 =f′(x0)（x- x0）．
②若函数在x= x0处可导，则图象在(x0，f(x0))处一定有切线，但若函数在x= x0处不可导，则图象在（x0，f(x0））处也可能有切线，即若曲线y =f(x)在点(x0，f(x0))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．
③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，
④显然f′（x0）>0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）
0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间．
(2)根据函数单调性确定参数范围的方法：①利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集．②转化为不等式的恒成立问题,即“若函数单调递增,则f′(x)≥0；若函数单调递减,则f′(x)≤0”来求解．
4.【2017重庆二诊】已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（ ）
A. 3 B. 1或3 C. 4或6 D. 3或4或6
【答案】B
（1）当或时，有唯一实根；
（2）当时，有三个实根；
（3）当或时，有两个实根；
（4）当时，无实根.
令，则由，得，
当时，由，
符号情况（1），此时原方程有1个根，
由，而，符号情况（3），此时原方程有2个根，综上得共有3个根；
当时，由，又，
符号情况（1）或（2），此时原方程有1个或三个根，
由，又，符号情况（3），此时原方程有两个根，
综上得共1个或3个根.
综上所述， 的值为1或3.故选B.
5.【2017四川宜宾二诊】已知函数，曲线与曲线关于直线对称，若存在一条过原点的直线与曲线和曲线都相切，则实数的值为_____.
【答案】.
【解析】曲线与曲线关于对称，所以，则，
设切点的坐标为，则，
所以根据斜率公式可得，解得，
所以此时切线的斜率，所以切线方程为，
设直线与曲线的切点为，
则，所以，
解得，代入，解得。
6.【2017黑龙江哈师大附中三模】已知函数为偶函数，当时， ，则曲线在点处的切线方程为______.
【答案】
7．【2017广东佛山二模】曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】 ，切线方程为 即
8.【2017安徽宿州】的图像在处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】由知，，所以由点斜式得：，故填．
9．【2017河北唐山三模】已知函数， .
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在区间有唯一零点，证明： .
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析.
试题解析：（Ⅰ） ， ，
令， ，
若，即，则，
当时， ， 单调递增，
若，即，则，仅当时，等号成立，
当时， ， 单调递增.
若，即，则有两个零点， ，
由， 得，
当时， ， ， 单调递增；
当时， ， ， 单调递减；
当时， ， ， 单调递增.
（Ⅱ）由（1）及可知：仅当极大值等于零，即时，符合要求.
此时， 就是函数在区间的唯一零点.
所以，从而有，
又因为，所以，
令，则，
设，则，
再由（1）知： ， ， 单调递减，
又因为， ，
所以，即
10.【2017河北石家庄冲刺】已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，证明： .
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】（Ⅰ）．
①当时， ，则函数为R上的单调递增函数．
②当时，令，则．
若，则， 在上是单调减函数；
若，则， 在上是单调增函数.
11.【2017安徽黄山二模】已知函数.
（1）若时，讨论函数的单调性；
（2）若，过作切线，已知切线的斜率为，求证： .
【答案】(1)见解析;(2) 见解析.
【解析】(1) 由已知得： . ①若
，当或时， ；当时， ，所以的单调递增区间为；单调递减区间为. ②若，故的单调递减区间为；③若，当或时， ；当时， ；所以的单调递增区间为；单调递减区间为.
综上，当时， 单调递增区间为；单调递减区间为， .
当时， 的单调递减区间为；当时， 单调递增区间为 ；单调递减区间为,.
12.【2017陕西汉中二模】已知函数
（1）若函数过点，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值；
【答案】（1）（2）详见解析
③ 当，即时，
函数在上单调递增，在上单调递减，则；
④当，即时， ， ，
函数在上单调递减，则．
综上，当时， ；当时， ；当时， ．
13.【2017四川宜宾二诊】已知函数且.
（I）若，求函数的单调区间；（其中是自然对数的底数）
（II）设函数，当时，曲线与
有两个交点，求的取值范围.
【答案】（I）增区间为，减区间为（II）
【解析】试题分析：（I）定义域，求得 利用， ，即可判定函数的单调区间；
（II）联立与得=，
令
则
当时， ，
由得， ， 在上单调递增
由得， ， 在上单调递减
由题意得
令，则，
单调递增，
令单调递增，
时， ， 合题意
当时， ，
由得， ， 在上单调递增
由得， ， 在上单调递减
由题意得
令单调递减，
令，则，
单调递减
时， 合题意.
综上， 的取值范围是
14.【2016全国卷1文数21】已知函数．
(I)讨论的单调性；
(II)若有两个零点,求的取值范围.
【答案】见解析(II)
当时,,所以在单调递增,在单调递减.
③若,则,故当时,,当时,,所以在单调递增,在单调递减.
(II)(i)设,则由(I)知,在单调递减,在单调递增.
又,取b满足b<0且,
则,所以有两个零点.
(ii)设a=0,则所以有一个零点.
(iii)设a<0,若,则由(I)知,在单调递增.
又当时,<0,故不存在两个零点；若,则由(I)知,在单调递减,在单调递增.又当时<0,故不存在两个零点.
综上,a的取值范围为.
【考点】函数单调性,导数应用
【点拨
】本题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.
