数学理卷·2018届甘肃省张掖市高三质量检测第三次诊断考试（2018

数学理卷·2018届甘肃省张掖市高三质量检测第三次诊断考试（2018

‎2018届甘肃省张掖市全市高三备考质量检测第三次诊断考试 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.下面是关于复数的四个命题：：；：；：的共轭复数为；：的虚部为，其中真命题为（ ）‎ A．， B．， C．， D．， ‎ ‎3.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重四斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金箠由粗到细是均匀变化的，则金箠的重量为（ ）‎ A．15斤 B．14斤 C．13斤 D．12斤 ‎ ‎4.若某多面体的三视图（单位：）如图所示，则此多面体的体积是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.已知函数，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数的图象（ ）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎6.已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务必须排在前三位，且任务、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（ ）‎ A．240种 B．188种 C．156种 D．120种 ‎ ‎8.运行如图所示的程序框图，则输出的结果（ ）‎ A．14 B．30 C．62 D．126 ‎ ‎9.的三个内角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在的平面互相垂直，，，，则球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.已知为双曲线（，）上的任意一点，过分别引其渐近线的平行线，分别交轴于点，，交轴于点，，若恒成立，则双曲线离心率的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.已知函数（）在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知，，则 ．‎ ‎14.已知实数，满足条件则的最大值为 ．‎ ‎15.在矩形中，，，为的中点，若 为该矩形内（含边界）任意一点，则的最大值为 ．‎ ‎16.下列命题正确的是 ．（写出所有正确的命题的序号）‎ ‎①若奇函数的周期为4，则函数的图象关于对称；‎ ‎②如，则；‎ ‎③函数是奇函数；‎ ‎④存在唯一的实数使为奇函数．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.若正项数列的前项和为，首项，点在曲线上．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，表示数列的前项和，若恒成立，求及实数的取值范围．‎ ‎18.2016年1月1日，我国实行全面二孩政策，同时也对妇幼保健工作提出了更高的要求．某城市实行网格化管理，该市妇联在网格1与网格2两个区域内随机抽取12个刚满8个月的婴儿的体重信息，体重分布数据的茎叶图如图所示（单位：斤，2斤1千克），体重不超过千克的为合格．‎ ‎（1）从网格1与网格2分别随机抽取2个婴儿，求网格1至少有一个婴儿体重合格且网格2至少有一个婴儿体重合格的概率；‎ ‎（2）妇联从网格1内8个婴儿中随机抽取4个进行抽检，若至少2个婴儿合格，则抽检通过，若至少3个合格，则抽检为良好，求网格1在抽检通过的条件下，获得抽检为良好的概率；‎ ‎（3）若从网格1与网格2内12个婴儿中随机抽取2个，用 表示网格2内婴儿的个数，求的分布列与数学期望．‎ ‎19.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，，，，分别为，的中点，点在线段上．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求的值．‎ ‎20.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆与直线相切于点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线：与椭圆相交于、两点（，不是长轴端点），且以为直径的圆过椭圆在轴正半轴上的顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎21.已知函数，．‎ ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）若不等式对恒成立，求的取值范围．　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将曲线上各点的横坐标都缩短为原来的倍，纵坐标坐标都伸长为原来的倍，得到曲线，在极坐标系（与直角坐标系取相同的单位长度，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最大值．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知，，且．‎ ‎（1）若恒成立，求的取值范围；‎ ‎（2）证明：．‎ ‎2018年张掖市高考备考第三次诊断考试高三数学（理）试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.①③ ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由，得，‎ 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，‎ 所以，即，‎ 由公式，得 所以．‎ ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 显然是关于的增函数，所以有最小值．‎ 由于恒成立，所以，‎ 于是的取值范围是．‎ ‎18.解：（1）由茎叶图知，网格1内体重合格的婴儿数为4，网格2内体重合格的婴儿数为2，‎ 则所求概率．‎ ‎（2）设事件表示“个合格，个不合格”；事件表示“个合格，1个不合格”；事件表示“个全合格”；事件表示“抽检通过”；事件表示“抽检良好”．‎ ‎∴，，‎ 则所求概率．‎ ‎（3）由题意知，的所有可能取值为0，1,2，‎ ‎∴，，，‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎∴．‎ ‎19.（1）证明：在平行四边形中，因为，，‎ 所以，由，分别为，的中点，得，所以．‎ 因为侧面底面，且，所以底面．‎ 又因为底面，所以，‎ 又因为，平面，平面，所以平面．‎ ‎（2）解：因为底面，，所以，，两两垂直，‎ 以，，分别为，，，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，，，‎ 所以，，，‎ 设（），则，‎ 所以，，易得平面的法向量．‎ 设平面的法向量为，由，，‎ 得令，得，‎ 因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，‎ 所以，即，所以，‎ 解得，或（舍）．‎ 综上可得：．‎ ‎20.解：（1）设椭圆为（，且），则它在点处的切线为，它与表示同一直线，‎ ‎∴，，∴，，‎ 故所求椭圆的方程为．‎ ‎（2）设，，联立 得，‎ ‎，得，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎∵以为直径的圆过椭圆的上顶点，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，即，‎ 即，即，‎ ‎∴或，‎ 当时，直线过定点与已知矛盾；‎ 当时，直线过定点满足，‎ 所以，直线过定点，定点坐标为．‎ ‎21.解：（1），‎ ‎，‎ ‎∵的定义域为，‎ ‎①，即时，在上递减，在上递增，，无极大值；‎ ‎②，即时，在和上递增，在上递减，‎ ‎，；‎ ‎③，即时，在上递增，没有极值；‎ ‎④，即时，在和上递增，在上递减，‎ ‎∴，．‎ 综上可知：时，，无极大值；‎ 时，，；‎ 时，没有极值；‎ 时，，．‎ ‎（2）设（），，‎ 设，则，，，‎ ‎∴在上递增，∴的值域为，‎ ‎①当时，，为上的增函数，‎ ‎∴，适合条件；‎ ‎②当时，∵，∴不适合条件；‎ ‎③当时，对于，，‎ 令，，‎ 存在，使得时，，‎ ‎∴在上单调递减，∴，‎ 即在时，，∴不适合条件．‎ 综上，的取值范围为．‎ ‎22.解：（1）因为直线的极坐标方程，‎ 所以有，即直线的直角坐标方程为：，‎ 因为曲线的参数方程为（为参数），经过变换后（为参数），‎ 所以化为直角坐标方程为：．‎ ‎（2）因为点在曲线上，故可设点的坐标为，‎ 从而点到直线的距离，‎ 由此得，当时，取得最大值，且最大值为．‎ ‎23.解：（1）设 由，得，‎ 故，‎ 所以．‎ 当时，，得；‎ 当时，，解得，故；‎ 当时，，解得，故．‎ 综上，．‎ ‎（2）‎ ‎．‎