2021高考数学一轮复习课时作业6

2021高考数学一轮复习课时作业6

课时作业62　参数方程 ‎[基础达标]‎ ‎1．已知P为半圆C：(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为.‎ ‎(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；‎ ‎(2)求直线AM的参数方程．‎ 解析：(1)由已知，M点的极角为，且M点的极径等于，故点M的极坐标为.‎ ‎(2)M点的直角坐标为，A(1,0)，故直线AM的参数方程为(t为参数)．‎ ‎2．[2020·兰州诊断考试]在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝asin θ(a≠0)．‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；‎ ‎(2)设直线l截圆C的弦长是半径长的倍，求a的值．‎ 解析：(1)圆C的直角坐标方程为x2＋2＝；‎ 直线l的普通方程为4x＋3y－8＝0.‎ ‎(2)圆C：x2＋2＝a2，直线l：4x＋3y－8＝0，‎ 因为直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，‎ 所以圆心C到直线l的距离d＝＝×，解得a＝32或a＝.‎ ‎3．[2020·河南新乡一模]在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝sin θ.‎ ‎(1)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，P(－1,2)，求|PA|·|PB|的值．‎ 解析：(1)消去参数，得直线l的普通方程为x＋y－1＝0.‎ 由ρcos2θ＝sin θ，得ρ2cos2θ＝ρsin θ，‎ - 4 -‎ 则y＝x2，故曲线C的直角坐标方程为y＝x2.‎ ‎(2)将代入y＝x2，得t2＋t－2＝0，‎ 设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝－2，易知直线l过点P(－1,2)，故|PA|·|PB|＝|t1t2|＝2.‎ ‎4．[2019·湖北八校第一次联考]在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(α为参数，t为常数)．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＝.‎ ‎(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与圆C有两个交点，求实数t的取值范围．‎ 解析：(1)消去参数，得圆C的普通方程为(x－t)2＋y2＝2.‎ 将直线l的极坐标方程化为－ρcos θ＋ρsin θ＝，‎ 则－x＋y＝，化简得y＝x＋2.‎ 故直线l的直角坐标方程为y＝x＋2.‎ ‎(2)∵圆C的普通方程为(x－t)2＋y2＝2，‎ ‎∴圆C的圆心为C(t,0)，半径为，‎ ‎∴圆心C到直线l的距离d＝，‎ ‎∵直线l与圆C有两个交点，‎ ‎∴d＝＜，解得－4＜t＜0.‎ ‎∴实数t的取值范围为(－4,0)．‎ ‎5．[2020·四川泸州一诊]在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C交于A，B两点．‎ ‎(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；‎ ‎(2)若|PA|·|PB|＝|AB|2，求a的值．‎ 解析：(1)由ρsin2θ＝2acos θ(a>0)得ρ2sin2θ＝2aρcos θ(a>0)，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax(a>0)．‎ 消去参数，得直线l的普通方程为y＝x－2.‎ ‎(2)将直线l的参数方程化为(t为参数)，‎ 代入y2＝2ax，得t2－2(4＋a)t＋32＋8a＝0，‎ 设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝32＋8a，t1>0，t2>0，‎ - 4 -‎ 所以|t1|＝|PA|，|t2|＝|PB|，|t1－t2|＝|AB|，‎ 由|PA|·|PB|＝|AB|2得 |t1－t2|2＝t1t2，所以|t1＋t2|2＝5t1t2，‎ 所以[2(4＋a)]2＝5(32＋8a)，即a2＋3a－4＝0，‎ 解得a＝1或a＝－4(舍去)，所以a＝1.‎ ‎6．[2020·成都市检测]在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，α为倾斜角)，曲线C的参数方程为(β为参数，β∈[0，π])．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)写出曲线C的普通方程和直线l的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C恰有一个公共点P，求点P的极坐标．‎ 解析：(1)由曲线C的参数方程，得(x－4)2＋y2＝4.‎ ‎∵β∈[0，π]，∴曲线C的普通方程为(x－4)2＋y2＝4(y≥0)．‎ ‎∵直线l的参数方程为(t为参数，α为倾斜角)，‎ ‎∴直线l的倾斜角为α，且过原点O(极点)．‎ ‎∴直线l的极坐标方程为θ＝α，ρ∈R.‎ ‎(2)由(1)可知，曲线C为半圆弧．‎ 若直线l与曲线C恰有一个公共点P，则直线l与半圆弧相切．‎ 设P(ρ，θ)(ρ＞0)．由题意，得sin θ＝＝，故θ＝.‎ 而ρ2＋22＝42，∴ρ＝2.‎ ‎∴点P的极坐标为.‎ ‎7．[2019·济南市学习质量评估]在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝sin θ，直线l的参数方程为(t为参数)，其中a＞0，直线l与曲线C相交于M，N两点．‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若点P(0，a)满足＋＝4，求a的值．‎ 解析：(1)曲线C的极坐标方程可化为ρ2cos2θ＝ρsin θ，‎ 由，得曲线C的直角坐标方程为y＝x2.‎ ‎(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入y＝x2，‎ 得t2－－a＝0，Δ＝＋3a＞0.‎ 设M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝，t1t2＝，‎ 所以＋＝＝ - 4 -‎ ‎＝ ‎＝ ‎＝4，‎ 化简得64a2－12a－1＝0，‎ 解得a＝或a＝－(舍去)，‎ 所以a＝.‎ - 4 -‎