2018年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）

2018年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）

‎2018年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 ‎1．（5分）设复数Z满足（1+i）Z=i，则|Z|=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎2．（5分）已知A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={y|y=x2+1}，则A∩B=（　　）‎ A．[﹣1，3] B．[﹣3，2] C．[2，3] D．[1，3]‎ ‎3．（5分）函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（5分）《九章算术》是我国古代第一部数字专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，“更相减损术”便是《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如图所示程序框图，若输入的a、b分别为96、42，则输出的i为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎5．（5分）如果实数x，y满足关系，又≥λ恒成立，则λ的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，] B．（﹣∞，3] C．[，+∞） D．（3，+∞）‎ ‎6．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）已知等比数列{an}中，a5=3，a4a7=45，则的值为（　　）‎ A．3 B．5 C．9 D．25‎ ‎8．（5分）已知F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，若点F关于双曲线的一条渐近线对称的点恰好落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）函数f（x）在定义域R内可导，若f（1+x）=f（3﹣x），且当x∈（﹣∞，2）时，（x﹣2）f（x）＜0，设a=f（0），b=f（‎ ‎），c=f（3），则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a ‎10．（5分）已知函数f（x）=asinx﹣2cosx的一条对称轴为x=﹣，且f（x1）•f（x2）=﹣16，则|x1+x2|的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）对于向量a，b，定义a×b为向量a，b的向量积，其运算结果为一个向量，且规定a×b的模|a×b|=|a||b|sinθ（其中θ为向量a与b的夹角），a×b的方向与向量a，b的方向都垂直，且使得a，b，a×b依次构成右手系．如图，在平行六面体ABCD﹣EFGH中，∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，AB=AD=AE=2，则=（　　）‎ A．4 B．8 C． D．‎ ‎12．（5分）若存在实数x使得关于x的不等式（ex﹣a）2+x2﹣2ax+a2≤成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．{} B．{} C．[，+∞） D．[，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ‎13．（5分）已知等差数列{an}前15项的和S15=30，则a2+a9+a13=　 　．‎ ‎14．（5分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为　 　．‎ ‎15．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R（x1≠x2），下列结论正确的序号是　 　‎ ‎①f（x）＜0恒成立；‎ ‎②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0；‎ ‎③（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0；‎ ‎④f（）＞f（）‎ ‎⑤f（）＜f（）‎ ‎16．（5分）在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，M是直线DE上的动点．若△ABC的面积为2，则•+2的最小值为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB=（3c﹣b）cosA．‎ ‎（1）求cosA的值；‎ ‎（2）若b=3，点M在线段BC上，=2，||=3，求△ABC的面积．‎ ‎18．（12分）在如图所示的圆台中，AB，CD分别是下底面圆O，上底面圆O′的直径，满足AB⊥CD，又DE为圆台的一条母线，且与底面ABE成角．‎ ‎（Ⅰ）若面BCD与面ABE的交线为l，证明：l∥面CDE；‎ ‎（Ⅱ）若AB=2CD，求平面BCD的与平面ABE所成锐二面角的余弦值．‎ ‎19．（12分）如图为2017届淮北师范大学数学与应用数学专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人．‎ ‎（Ⅰ）求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；‎ ‎（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的n名毕业生随机的分配往A、B、C三所学校，若每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，共有多少种不同的分配方法？‎ ‎（Ⅲ）若90～95分数段内的这n名毕业生中恰有两女生，设随机变量ξ表示n名毕业生中分配往乙学校的两名学生中女生的人数，求ξ的分布列和数学期望．‎ ‎20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），其左右焦点为F1，F2，过F1直线l：x+my+=0与椭圆C交于A，B两点，且椭圆离心率e=；‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ） 若椭圆存在点M，使得2=+，求直线l的方程．‎ ‎21．（12分）设函数f（x）=x2﹣alnx，其中a∈R．‎ ‎（1）若函数f（x）在[，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）设正实数m1，m2满足m1+m2=1，当a＞0时，求证：对任意的两个正实数x1，x2，总有f（m1x1+m2x2）≤m1f（x1）+m2f（x2）成立；‎ ‎（3）当a=2时，若正实数x1，x2，x3满足x1+x2+x3=3，求f（x1）+f（x2）+f（x3）的最小值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sin（θ﹣‎ ‎），直线l的参数方程为t为参数，直线l和圆C交于A，B两点．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设l上一定点M（0，1），求|MA|•|MB|的值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣3，且f（x）≥0的解集为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．‎ ‎（Ⅰ）求m的值；‎ ‎（Ⅱ）若∃x∈R，使得f（x）≥t+|2﹣x|成立，求实数t的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2018年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 ‎1．（5分）设复数Z满足（1+i）Z=i，则|Z|=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【解答】解：由（1+i）Z=i，得Z=，‎ ‎∴|Z|=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）已知A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={y|y=x2+1}，则A∩B=（　　）‎ A．[﹣1，3] B．[﹣3，2] C．[2，3] D．[1，3]‎ ‎【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，‎ B={y|y=x2+1}={y|y≥1}，‎ 则A∩B={x|1≤x≤3}=[1，3]，‎ 故选：D ‎　‎ ‎3．（5分）函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（　　）‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：当x＜0时，函数f（x）=，由函数y=、y=ln（﹣x）递减知函数f（x）=递减，排除CD；‎ 当x＞0时，函数f（x）=，此时，f（1）==1，而选项A的最小值为2，故可排除A，只有B正确，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）《九章算术》是我国古代第一部数字专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，“更相减损术”便是《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如图所示程序框图，若输入的a、b分别为96、42，则输出的i为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【解答】解：由程序框图可知：‎ 当a=96，b=42时，满足a＞b，则a=96﹣42=54，i=1‎ 由a＞b，则a=54﹣42=12，i=2‎ 由a＜b，则b=42﹣12=30，i=3‎ 由a＜b，则b=30﹣12=18，i=4‎ 由a＜b，则b=18﹣12=6，i=5‎ 由a＞b，则a=12﹣6=6，i=6‎ 由a=b=6，输出i=6．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）如果实数x，y满足关系，又≥λ恒成立，则λ的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，] B．（﹣∞，3] C．[，+∞） D．（3，+∞）‎ ‎【解答】解：设z==2+，‎ z的几何意义是区域内的点到D（3，1）的斜率加2，‎ 作出实数x，y满足关系对应的平面区域如图：‎ 由图形，可得C（，），‎ 由图象可知，直线CD的斜率最小值为=，‎ ‎∴z的最小值为，‎ ‎∴λ的取值范围是（﹣∞，]．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：由三视图得该几何体是从四棱锥P﹣ABCD中挖去一个半圆锥，‎ 四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2，‎ 圆锥的底面半径是1、高是2，‎ ‎∴所求的体积V==，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知等比数列{an}中，a5=3，a4a7=45，则的值为（　　）‎ A．3 B．5 C．9 D．25‎ ‎【解答】解：根据题意，等比数列{an}中，a5=3，a4a7=45，‎ 则有a6==15，‎ 则q==5，‎ 则==q2=25；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，若点F关于双曲线的一条渐近线对称的点恰好落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，‎ 对称点为F'（m，n），‎ 即有=﹣，‎ 且•n=•，‎ 解得m=，n=﹣，‎ 将F'（，﹣），即（，﹣），‎ 代入双曲线的方程可得﹣=1，‎ 化简可得﹣4=1，即有e2=5，‎ 解得e=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）函数f（x）在定义域R内可导，若f（1+x）=f（3﹣x），且当x∈（﹣∞，2）时，（x﹣2）f（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a ‎【解答】解：∵f（1+x）=f（3﹣x），‎ ‎∴函数f（x）的图象关于直线x=2对称，‎ ‎∴f（3）=f（1）．‎ 当x∈（﹣∞，2）时，（x﹣2）f′（x）＜0，‎ ‎∴f′（x）＞0，即f（x）单调递增，‎ ‎∵0＜＜1，‎ ‎∴f（0）＜f（）＜f（2），‎ 即a＜b＜c，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=asinx﹣2cosx的一条对称轴为x=﹣，且f（x1）•f（x2）=﹣16，则|x1+x2|的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：f（x）=asinx﹣2cosx ‎=sin（x+θ），‎ 由于函数f（x）的对称轴为：x=﹣，‎ 所以f（﹣）=﹣a﹣3，‎ 则|﹣a﹣3|=，‎ 解得：a=2；‎ 所以：f（x）=4sin（x﹣），‎ 由于：f（x1）•f（x2）=﹣16，‎ 所以函数f（x）必须取得最大值和最小值，‎ 所以：x1=2kπ+或x2=2kπ﹣，k∈Z；‎ 所以：|x1+x2|的最小值为．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）对于向量a，b，定义a×b为向量a，b的向量积，其运算结果为一个向量，且规定a×b的模|a×b|=|a||b|sinθ（其中θ为向量a与b的夹角），a×b的方向与向量a，b的方向都垂直，且使得a，b，a×b依次构成右手系．如图，在平行六面体ABCD﹣EFGH中，∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，AB=AD=AE=2，则=（　　）‎ A．4 B．8 C． D．‎ ‎【解答】解：据向量积定义知，向量垂直平面ABCD，且方向向上，设与所成角为θ．‎ ‎∵∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，‎ ‎∴点E在底面ABCD上的射影在直线AC上．‎ 作EI⊥AC于I，则EI⊥面ABCD，∴θ+∠EAI=．‎ 过I作IJ⊥AD于J，连EJ，由三垂线逆定理可得EJ⊥AD．‎ ‎∵AE=2，∠EAD=60°，∴AJ=1，EJ=．‎ 又∵∠CAD=30°，IJ⊥AD，∴AI=．‎ ‎∵AE=2，EI⊥AC，∴cos∠EAI==．‎ ‎∴sinθ==cos∠EAI=，cosθ=．‎ 故=||||sin∠BAD||cosθ=8××=，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）若存在实数x使得关于x的不等式（ex﹣a）2+x2﹣2ax+a2≤成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．{} B．{} C．[，+∞） D．[，+∞）‎ ‎【解答】解：不等式（ex﹣a）2+x2﹣2ax+a2≤成立，‎ 即为（ex﹣a）2+（x﹣a）2≤，‎ 表示点（x，ex）与（a，a）的距离的平方不超过，‎ 即最大值为．‎ 由（a，a）在直线l：y=x上，‎ 设与直线l平行且与y=ex相切的直线的切点为（m，n），‎ 可得切线的斜率为em=1，‎ 解得m=0，n=1，‎ 切点为（0，1），由切点到直线l的距离为直线l上的点与曲线y=ex的距离的最小值，‎ 可得（0﹣a）2+（1+a）2=，‎ 解得a=，‎ 则a的取值集合为{}．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ‎13．（5分）已知等差数列{an}前15项的和S15=30，则a2+a9+a13=　6　．‎ ‎【解答】解：∵设等差数列的等差为d，{an}前15项的和S15=30，‎ ‎∴=30，即a1+7d=2，‎ 则a2+a9+a13=（a1+d）+（a1+8d）+（a1+12d）=3（a1+7d）=6．‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为　1120　．‎ ‎【解答】解：由题意可知，2n=256，解得n=8．‎ ‎∴=，其展开式的通项=，‎ 令8﹣2r=0，得r=4．‎ ‎∴该展开式中常数项的值为．‎ 故答案为：1120．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R（x1≠x2），下列结论正确的序号是　②⑤　‎ ‎①f（x）＜0恒成立；‎ ‎②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0；‎ ‎③（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0；‎ ‎④f（）＞f（）‎ ‎⑤f（）＜f（）‎ ‎【解答】解：由导函数的图象可知，导函数f′（x）的图象在x轴下方，即f′（x）＜‎ ‎0，故原函数为减函数，‎ 并且是，递减的速度是先快后慢．所以f（x）的图象如图所示：‎ f（x）＜0恒成立，没有依据，故①不正确；‎ ‎②表示（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]异号，即f（x）为减函数．故②正确；‎ ‎③表示（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]同号，即f（x）为增函数．故③不正确，‎ ‎④⑤左边边的式子意义为x1，x2中点对应的函数值，即图中点B的纵坐标值，‎ 右边式子代表的是函数值得平均值，即图中点A的纵坐标值，显然有左边小于右边，‎ 故④不正确，⑤正确，综上，正确的结论为②⑤．‎ 故答案为：②⑤．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，M是直线DE上的动点．若△ABC的面积为2，则•+2的最小值为　2　．‎ ‎【解答】解：∵D、E是AB、AC的中点，‎ ‎∴M到BC的距离等于点A到BC的距离的一半，‎ ‎∴S△ABC=2S△MBC，而△ABC的面积2，则△MBC的面积S△MBC=1，‎ S△MBC=丨MB丨•丨MC丨sin∠BMC=1，‎ ‎∴丨MB丨•丨MC丨=．‎ ‎∴•=丨MB丨•丨MC丨cos∠BMC=．‎ 由余弦定理，丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨•丨CM丨cos∠BMC，‎ 显然，BM、CM都是正数，‎ ‎∴丨BM丨2+丨CM丨2≥2丨BM丨•丨CM丨，‎ ‎∴丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨×丨CM丨cos∠BMC ‎=2×﹣2×．‎ ‎∴•+2≥+2×﹣2×‎ ‎=2•，‎ 方法一：令y=，则y′=，‎ 令y′=0，则cos∠BMC=，此时函数在（0，）上单调减，在（，1）上单调增，‎ ‎∴cos∠BMC=时，取得最小值为，‎ ‎•+2的最小值为2；‎ 方法二：令y=，‎ 则ysin∠BMC+cos∠BMC=2，则sin（∠BMC+α）=2，‎ tanα=，‎ 则sin（∠BMC+α）=≤1，‎ 解得：y≥，‎ 则•+2的最小值为2；‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB=（3c﹣b）cosA．‎ ‎（1）求cosA的值；‎ ‎（2）若b=3，点M在线段BC上，=2，||=3，求△ABC的面积．‎ ‎【解答】（本题满分为12分）‎ 解：（1）因为acosB=（3c﹣b）cosA，由正弦定理得：sinAcosB=（3sinC﹣sinB）cosA，‎ 即sinAcosB+sinBcosA=3sinCcosA，可得：sinC=3sinCcosA，‎ 在△ABC中，sinC≠0，‎ 所以．…（5分）‎ ‎（2）∵=2，两边平方得：=4，‎ 由b=3，||=3，，可得：，‎ 解得：c=7或c=﹣9（舍），‎ 所以△ABC的面积．…（12分）‎ ‎　‎ ‎18．（12分）在如图所示的圆台中，AB，CD分别是下底面圆O，上底面圆O′的直径，满足AB⊥CD，又DE为圆台的一条母线，且与底面ABE成角．‎ ‎（Ⅰ）若面BCD与面ABE的交线为l，证明：l∥面CDE；‎ ‎（Ⅱ）若AB=2CD，求平面BCD的与平面ABE所成锐二面角的余弦值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：如图，在圆台OO′中，∵CD⊂圆O′，‎ ‎∴CD∥平面ABE，‎ ‎∵面BCD∩面ABE=l，∴l∥CD，‎ ‎∵CD⊂平面CDE，l⊄平面CDE，‎ ‎∴l∥面CDE；‎ ‎（Ⅱ）解：连接OO′、BO′、OE，则CD∥OE，‎ 由AB⊥CD，得AB⊥OE，‎ 又O′B在底面的射影为OB，‎ 由三垂线定理知：O′B⊥OE，∴O′B⊥CD，‎ ‎∴∠O′BO就是求面BCD与底面ABE所成二面角的平面角．‎ 设AB=4，由母线与底面成角，‎ 可得OE=2O′D=2，DE=2，OB=2，OO′=，‎ ‎∴cos∠O′BO=．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图为2017届淮北师范大学数学与应用数学专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人．‎ ‎（Ⅰ）求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；‎ ‎（Ⅱ）现欲将90～‎ ‎95分数段内的n名毕业生随机的分配往A、B、C三所学校，若每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，共有多少种不同的分配方法？‎ ‎（Ⅲ）若90～95分数段内的这n名毕业生中恰有两女生，设随机变量ξ表示n名毕业生中分配往乙学校的两名学生中女生的人数，求ξ的分布列和数学期望．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）80～90分数段的毕业生的频率为：‎ p1=（0.04+0.03）×5=0.35，‎ 此分数段的学员总数为21人，‎ ‎∴毕业生的总人数N为N==60，‎ ‎90～95分数段内的人数频率为：‎ p2=1﹣（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5=0.1，‎ ‎∴90～95分数段内的人数n=60×0.1=6．‎ ‎（Ⅱ）将90～95分数段内的6名毕业生随机的分配往A、B、C三所学校，‎ 每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，‎ 共有：=18不同的分配方法．‎ ‎（Ⅲ）ξ所有可能取值为0，1，2，‎ P（ξ=0）==，‎ P（ ξ=1）==，‎ P（ ξ=2）==，‎ 所以ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 所以随机变量ξ数学期望为E（ξ）==．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），其左右焦点为F1，F2，过F1直线l：x+my+=0与椭圆C交于A，B两点，且椭圆离心率e=；‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ） 若椭圆存在点M，使得2=+，求直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）过F1直线l：x+my+=0，‎ 令y=0，解得x=﹣，‎ ‎∴c=，‎ ‎∵e==，‎ ‎∴a=2，‎ ‎∴b2=a2﹣c2=4﹣3=1，‎ ‎∴椭圆C的方程为+y2=1；‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），‎ 由2=+，得：x3=x1+x2，y3=y1+y2代入椭圆方程可得：‎ ‎（x1+x2）2+（y1+y2）2﹣1=0，‎ ‎∴（x12+y12）+（x22+y22）+（x1x2+4y1y2）=1，‎ ‎∴x1x2+4y1y2=0‎ 联立方程消x可得（m2+4）y2+2my﹣1=0，‎ ‎∴y1+y2=，y1y2=，‎ ‎∴x1x2+4y1y2=（my1+）（my2+）+4y1y2‎ ‎=（m2+4）4y1y2+m（y1+y2）+3=0，‎ 即m2=2，‎ 解得m=±‎ 所求直线l的方程：x±y+=0．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）设函数f（x）=x2﹣alnx，其中a∈R．‎ ‎（1）若函数f（x）在[，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）设正实数m1，m2满足m1+m2=1，当a＞0时，求证：对任意的两个正实数x1，x2，总有f（m1x1+m2x2）≤m1f（x1）+m2f（x2）成立；‎ ‎（3）当a=2时，若正实数x1，x2，x3满足x1+x2+x3=3，求f（x1）+f（x2）+f（x3）的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣alnx，‎ 导数为f′（x）=x﹣，‎ 函数f（x）在[，+∞）上单调递增，可得 f′（x）=x﹣≥0在[，+∞）恒成立，‎ 即为a≤x2的最小值，‎ 由x2在[，+∞）的最小值为，‎ 可得a≤；‎ ‎（2）证明：由f（x）=x2﹣alnx，a＞0，‎ 可得f′（x）=x﹣，f″（x）=1+＞0，‎ 即有f（x）为凹函数，‎ 由m1+m2=1，可得对任意的两个正实数x1，x2，‎ 总有f（m1x1+m2x2）≤m1f（x1）+m2f（x2）成立；‎ ‎（3）由f（x）=x2﹣2lnx，‎ 可得导数为f′（x）=x﹣，‎ f″（x）=1+＞0，则f（x）为凹函数，‎ 有f（）≤[f（x1）+f（x2）+f（x3）]，‎ 即为f（x1）+f（x2）+f（x3）≥3f（）=3f（1）=3×=，‎ 则f（x1）+f（x2）+f（x3）的最小值为．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sin（θ﹣‎ ‎），直线l的参数方程为t为参数，直线l和圆C交于A，B两点．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设l上一定点M（0，1），求|MA|•|MB|的值．‎ ‎【解答】（本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）∵圆C的极坐标方程为：‎ ρ=2sin（θ﹣）=2（sinθcos﹣cosθsin）=2sinθ﹣2cosθ，‎ ‎∴ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，‎ ‎∴圆C的直角坐标方程x2+y2=2y﹣2x，即（x+1）2+（y﹣1）2=2．‎ ‎（Ⅱ）直线l的参数方程为，t为参数，‎ 直线l的参数方程可化为，t′为参数，‎ 代入（x+1）2+（y﹣1）2=2，得（﹣+1）2+（）2=2，‎ 化简得：t'2﹣﹣1=0，‎ ‎∴=﹣1，‎ ‎∴|MA|•|MB|=||=1．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣3，且f（x）≥0的解集为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．‎ ‎（Ⅰ）求m的值；‎ ‎（Ⅱ）若∃x∈R，使得f（x）≥t+|2﹣x|成立，求实数t的取值范围．‎ ‎【解答】（本小题满分10分）选修4﹣5：不等式选讲 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=|x﹣m|﹣3，且f（x）≥0的解集为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．‎ 即|x﹣m|﹣3≥0的解集为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．‎ ‎∴m+3=4，m﹣3=﹣2，解得m=1．‎ ‎（Ⅱ）∵∃x∈R，使得f（x）≥t+|2﹣x|成立，即|x﹣1|﹣3≥t+|2﹣x|，‎ ‎∴∃x∈R，|x﹣1|﹣|2﹣x|≥t+3，‎ 令g（t）=|x﹣1|﹣|x﹣2|=，‎ ‎∴∃x∈R，|x﹣1|﹣|2﹣x|≥t+3成立，‎ ‎∴t+3≤g（x）max=1，∴t≤﹣2．‎ ‎　‎