【数学】2018届一轮复习人教A版10-3变量间的相关关系统计案例学案

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§10.3　变量间的相关关系、统计案例 考纲展示►　 1.会作两个相关变量的散点图，会利用散点图认识变量之间的相关关系． 2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归系数公式建立线性回归方程． 3．了解独立性检验(只要求 2×2 列联表)的基本思想、方法及其简单应用． 4．了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用． 考点 1　变量间的相关关系 1.常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是________；与函数关系 不同，________是一种非确定性关系． 答案：相关关系　相关关系 2．从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为 ________，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为________． 答案：正相关　负相关 对回归系数的理解：解释变量；预报变量． 某工厂工人月工资 y(元)依劳动产值 x(万元)变化的回归直线方程为 y^ ＝900x＋600，下 列判断正确的是__________． ①劳动产值为 10 000 元时，工资为 500 元； ②劳动产值提高 10 000 元时，工资提高 1 500 元； ③劳动产值提高 10 000 元时，工资提高 900 元； ④劳动产值为 10 000 元时，工资为 900 元． 答案：③ 解析：回归系数 b^ 的意义为：解释变量每增加 1 个单位，预报变量平均增加 b 个单位. [典题 1]　(1)下列四个散点图中，变量 x 与 y 之间具有负的线性相关关系的是(　　) 　　　A　　　　　　　　　　　　B 　　　C　　　　　　　　　　　　D [答案]　D [解析]　观察散点图可知，只有 D 选项的散点图表示的是变量 x 与 y 之间具有负的线性 相关关系． (2)四名同学根据各自的样本数据研究变量 x，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程， 分别得到以下四个结论： ①y 与 x 负相关且 y^ ＝2.347x－6.423； ②y 与 x 负相关且 y^ ＝－3.476x＋5.648； ③y 与 x 正相关且 y^ ＝5.437x＋8.493； ④y 与 x 正相关且 y^ ＝－4.326x－4.578. 其中一定不正确的结论的序号是(　　) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ [答案]　D [解析]　由回归方程 y^ ＝ b^ x＋ a^ 知，当 b^ ＞0 时，y 与 x 正相关，当 b^ ＜0 时，y 与 x 负 相关，∴①④一定错误． [点石成金]　相关关系的直观判断方法就是作出散点图，若散点图呈带状且区域较窄， 说明两个变量有一定的线性相关性，若呈曲线型也是有相关性，若呈图形区域且分布较乱则 不具备相关性． 考点 2　线性回归分析 1.回归分析 对具有________的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析．其基本步骤是：(ⅰ)画散 点图；(ⅱ)求________；(ⅲ)用回归直线方程作预报． 答案：相关关系　回归直线方程 2．回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在________附近，就称这两个变量之间具有线性 相关关系，这条直线叫做回归直线． 答案：一条直线 3．回归直线方程的求法——最小二乘法 设具有线性相关关系的两个变量 x，y 的一组观察值为(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，则回归 直线方程 y^ ＝ b^ x＋ a^ 的系数为：Error!其中x＝ 1 n n ∑ i＝1 xi，y＝ 1 n n ∑ i＝1 yi，(x，y)称为样本点的 ________． 答案： ∑n i＝1 x iyi－n x y ∑n i＝1 x 2i－n x2 　中心 4．相关系数 当 r＞0 时，表明两个变量________； 当 r＜0 时，表明两个变量________． r 的绝对值越接近于 1，表明两个变量的线性相关性________． r 的绝对值越接近于 0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于 0.75 时，认为两个变量有很强的线性相关性． 答案：正相关　负相关　越强 [教材习题改编]已知回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直 线方程为__________． 答案： y^ ＝1.23x＋0.08 解析：设回归直线方程为 y^ ＝1.23x＋ a^ ， 因为回归直线必过样本点的中心(x，y)， 将点(4,5)代入回归直线方程得 a^ ＝0.08， 所以所求方程为 y^ ＝1.23x＋0.08. 变量的相关关系：散点图；回归直线过(x，y)． 某工厂经过技术改造后，生产某种产品的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准煤)有如 下几组样本数据. x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 据相关性检验，y 与 x 具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得回归直线的斜率为 0.7，那么当产量 x＝10 吨时，估计相应的生产能耗为__________吨标准煤． 答案：7.35 解析：先求得x＝4.5，y＝3.5，由 y^ ＝0.7x＋ a^ 过点(x，y)，得 a^ ＝0.35， 所以回归直线方程是 y^ ＝0.7x＋0.35. 当 x＝10 吨时， y^ ＝7＋0.35＝7.35(吨标准煤)． [典题 2]　(1)已知 x，y 的取值如下表，从散点图可以看出 y 与 x 线性相关，且回归方程 为 y^ ＝0.95x＋ a^ ，则 a^ ＝(　　) x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 A.3.25 B．2.6 C．2.2 D．0 [答案]　B [解析]　由已知得x＝2，y＝4.5， 因为回归方程经过点(x，y)， 所以 a^ ＝4.5－0.95×2＝2.6. (2)由某种设备的使用年限 xi(年)与所支出的维修费 yi(万元)的数据资料算得如下结果， 5 ∑ i＝1 x2i＝90， 5 ∑ i＝1 xiyi＝112， 5 ∑ i＝1 xi＝20， 5 ∑ i＝1 yi＝25. ①求所支出的维修费 y 对使用年限 x 的线性回归方程 y^ ＝ b^ x＋ a^ ； ②(ⅰ)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关； (ⅱ)当使用年限为 8 年时，试估计支出的维修费是多少． 附：在线性回归方程 y^ ＝ b^ x＋ a^ 中， b^ ＝ ∑n i＝1 x iyi－nx y ∑n i＝1 x 2i－nx2 ， a^ ＝y－ b^ x，其中x，y为 样本平均值． [解]　①∵ 5 ∑ i＝1 xi＝20， 5 ∑ i＝1 yi＝25， ∴x＝ 1 5 5 ∑ i＝1 xi＝4，y＝ 1 5 5 ∑ i＝1 yi＝5， ∴ b^ ＝ ∑5 i＝1 x iyi－5x y ∑5 i＝1 x 2i－5x2 ＝ 112－5 × 4 × 5 90－5 × 42 ＝1.2， a^ ＝y－ b^ x＝5－1.2×4＝0.2. ∴线性回归方程为 y^ ＝1.2x＋0.2. ②(ⅰ)由①知， b^ ＝1.2>0， ∴变量 x 与 y 之间是正相关． (ⅱ)由①知，当 x＝8 时， y^ ＝9.8，即使用年限为 8 年时，支出维修费约是 9.8 万元． [点石成金]　1.正确理解计算 b^ ， a^ 的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． 2．回归直线方程 y^ ＝ b^ x＋ a^ 必过样本点的中心(x，y)． 3．在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否 具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测. 某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据： 年份 2006 2008 2010 2012 2014 需求量(万吨) 236 246 257 276 286 (1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 y^ ＝ b^ x＋ a^ ； (2)利用(1)中所求出的回归直线方程预测该地 2016 年的粮食需求量． 解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程， 为此对数据预处理如下： 年份－2 010 －4 －2 0 2 4 需求量－257 －21 －11 0 19 29 对预处理后的数据，容易算得， x＝0，y＝3.2， b^ ＝ －4 × －21＋－2 × －11＋2 × 19＋4 × 29－5 × 0 × 3.2 －42＋－22＋22＋42－5 × 02 ＝ 260 40 ＝6.5， a^ ＝y－ b^ x＝3.2. 由上述计算结果知，所求回归直线方程为 y^ －257＝ b^ (x－2 010)＋ a^ ＝6.5(x－2 010)＋3.2， 即 y^ ＝6.5×(x－2 010)＋260.2. (2)利用(1)中所求回归直线方程，可预测 2016 年的粮食需求量为 6.5×(2 016－2 010)＋ 260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)． 考点 3　独立性检验 1.分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量． 2．列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量 X 和 Y，它 们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为 2×2 列联表)为 2×2 列联表： y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d K2＝ nad－bc2 a＋ba＋cb＋dc＋d(其中 n＝________为样本容量)，则利用独立性 检验判断表来判断“X 与 Y 的关系”． 答案：a＋b＋c＋d (1)[教材习题改编]为调查中学生的近视情况，测得某校 150 名男生中有 80 名近视，140 名女生中有 70 名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，最有说服力的方法是 ________．(填序号) ①回归分析；②期望与方差；③独立性检验；④概率． 答案：③ 解析：“近视”与“性别”是两个分类变量，其是否有关，应该用独立性检验来判断． (2)[教材习题改编]在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得出“吸 烟与患肺癌有关”的结论，并且有 99%以上的把握认为这个结论是成立的，有下列四种说法：① 100 个吸烟者中至少有 99 人患有肺癌；②1 个人吸烟，那么这人有 99%的概率患有肺癌；③ 在 100 个吸烟者中一定有患肺癌的人；④在 100 个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有．其 中正确说法的序号是________． 答案：④　 对独立性检验的理解：K2 的计算；对 P(K2≥k0)的解释． [2017·湖南张家界模拟]某高校教“统计初步”课程的教师随机调查了选该课程的一些 学生的情况，具体数据如下表： 　　　 专业 性别　　　 非统计专业 统计专业 男 13 10 女 7 20 为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到 K2 的观测值 k＝ 50 × 13 × 20－10 × 72 23 × 27 × 20 × 30 ≈4.844. 因为 k>3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为 ________． 附表： P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 答案：5% 解析：∵k>3.841，查临界值表，得 P(K2≥3.841)＝0.05，故这种判断出错的可能性为 5%. [典题 3]　(1)为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽取 50 名学 生，得到 2×2 列联表： 理科 文科 总计 男 13 10 23 女 7 20 27 总计 20 30 50 已知 P(K2≥3.841)≈0.05， P(K2≥5.024)≈0.025. 根据表中数据，得到 K2＝ 50 × 13 × 20－10 × 72 23 × 27 × 20 × 30 ≈4.844，则认为选修文理科与 性别有关系出错的可能性约为________． [答案]　5% [解析]　由 K2≈4.844＞3.841.故认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为 5%. (2)[2017·江西九江模拟]某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统 计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均分(采用百分制)，剔除平均分在 40 分以下的学 生后，共有男生 300 名，女生 200 名．现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名学生，按 性别分为两组，并将两组学生的成绩分为 6 组，得到如下所示的频数分布表. 分数段 [40， 50) [50， 60) [60， 70) [70， 80) [80， 90) [90， 100] 男 3 9 18 15 6 9 女 6 4 5 10 13 2 ①估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表)，从计算结果看， 数学成绩与性别是否有关； ②规定 80 分以上为优分(含 80 分)，请你根据已知条件作出 2×2 列联表，并判断是否有 90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”. 优分 非优分 总计 男生 女生 总计 100 附表及公式： P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 K2＝ nad－bc2 a＋bc＋da＋cb＋d. [解]　①x男＝45×0.05＋55×0.15＋65×0.3＋75×0.25＋85×0.1＋95×0.15＝71.5， x女＝45×0.15＋55×0.1＋65×0.125＋75×0.25＋85×0.325＋95×0.05＝71.5， 从男、女生各自的平均分来看，并不能判断数学成绩与性别有关． ②由频数分布表可知，在抽取的 100 名学生中，“男生组”中的优分有 15 人，“女生组” 中的优分有 15 人， 据此可得 2×2 列联表如下： 优分 非优分 总计 男生 15 45 60 女生 15 25 40 总计 30 70 100 可得 K2＝ 100 × 15 × 25－15 × 452 60 × 40 × 30 × 70 ≈1.79， 因为 1.79<2.706，所以没有 90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”． [点石成金]　1.独立性检验的关键是正确列出 2×2 列联表，并计算出 K2 的值． 2．弄清判断两变量有关的把握性与犯错误概率的关系，根据题目要求作出正确的回答. [2017·广西玉林、贵港联考]某市地铁即将于 2015 年 6 月开始运营，为此召开了一个价 格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了 50 人，他们的收入与态度如下； 月收入 (单位： 百元) [15， 25) [25， 35) [35， 45) [45， 55) [55， 65) [65， 75] 赞成定 价者人数 1 2 3 5 3 4 认为价 格偏高 者人数 4 8 12 5 2 1 (1)若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定价者”与 “认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少(结果保留 2 位小数)； (2)由以上统计数据填写下面的 2×2 列联表分析是否有 99%的把握认为“月收入以 55 百 元为分界点对地铁定价的态度有差异”. 月收入低于 55 百元的人数 月收入不低于 55 百元的人数 总计 认为价 格偏高者 赞成 定价者 总计 附：K2＝ nad－bc2 a＋bc＋da＋cb＋d. P(K2≥k0) 0.05 0.01 k0 3.841 6.635 解：(1)“赞成定价者”的月平均收入为 x1＝ 20 × 1＋30 × 2＋40 × 3＋50 × 5＋60 × 3＋70 × 4 1＋2＋3＋5＋3＋4 ≈50.56. “认为价格偏高者”的月平均收入为 x2＝ 20 × 4＋30 × 8＋40 × 12＋50 × 5＋60 × 2＋70 × 1 4＋8＋12＋5＋2＋1 ＝38.75， ∴“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是x1－x2＝50.56－38.75＝ 11.81(百元)． (2)根据条件可得 2×2 列联表如下： 月收入低于 55 百元的人数 月收入不低于 55 百元的人数 总计 认为价格 偏高者 29 3 32 赞成 定价者 11 7 18 总计 40 10 50 K2＝ 50 × 7 × 29－3 × 112 10 × 40 × 18 × 32 ≈6.27<6.635， ∴没有 99%的把握认为“月收入以 55 百元为分界点对地铁定价的态度有差异”. [方法技巧]　1.求回归方程，关键在于正确求出系数 a^ ，b^ ，由于 a^ ， b^ 的计算量大，计 算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误．(注意线性回归方程中一次项系数为 b^ ，常数项为 a^ ，这与一次函数的习惯表示不同．) 2．回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决：(1)确定特定量之间是否 有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取 值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出线性回归方程． [易错防范]　1.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散 点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意 义．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值． 2．独立性检验中统计量 K2 的观测值 k 的计算公式很复杂，在解题中易混淆一些数据的意 义，代入公式时出错，而导致整个计算结果出错． 真题演练集训 1．[2015·福建卷]为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统计数据表： 收入 x(万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出 y(万元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归直线方程 y^ ＝ b^ x＋ a^ ，其中 b^ ＝0.76， a^ ＝ y－ － b^ 　x.据此估计，该 社区一户年收入为 15 万元家庭的年支出为(　　) A．11.4 万元 B．11.8 万元 C．12.0 万元 D．12.2 万元 答案：B 解析：由题意知， x＝ 8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9 5 ＝10， y＝ 6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8 5 ＝8， ∴ a^ ＝8－0.76×10＝0.4， ∴ 当 x＝15 时， y^ ＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)． 2．[2016·新课标全国卷Ⅲ]下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位： 亿吨)的折线图． 注：年份代码 1－7 分别对应年份 2008－2014. (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01)，预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理 量． 附注：参考数据： 7 ∑ i＝1 yi＝9.32， 7 ∑ i＝1 tiyi＝40.17, 7 ∑ i＝1 yi－y2＝0.55， 7 ≈2.646. 参考公式：相关系数 r＝ ∑n i＝1 ti－tyi－y ∑n i＝1 ti－t2 ∑n i＝1 yi－y2 ，回归方程 y^ ＝ b^ t＋ a^ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 b^ ＝ ∑n i＝1 ti－tyi－y ∑n i＝1 ti－t2 ， a^ ＝y－ b^ t. 解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据，得 t＝4， 7 ∑ i＝1 (ti－t)2＝28， 7 ∑ i＝1 yi－y2＝0.55， 7 ∑ i＝1 (ti－t)(yi－y)＝ 7 ∑ i＝1 tiyi－t 7 ∑ i＝1 yi＝40.17－4×9.32＝2.89，r≈ 2.89 0.55 × 2 × 2.646 ≈0.99. 因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99，说明 y 与 t 的线性相关程度相当高，从而可以用线 性回归模型拟合 y 与 t 的关系． (2)由y＝ 9.32 7 ≈1.331 及(1)，得 b^ ＝ ∑7 i＝1 ti－tyi－y ∑7 i＝1 ti－t2 ＝ 2.89 28 ≈0.103， a^ ＝y－ b^ t≈1.331－0.103×4≈0.92. 所以，y 关于 t 的回归方程为 y^ ＝0.92＋0.10t. 将 2016 年对应的 t＝9 代入回归方程，得 y^ ＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量约为 1.82 亿吨． 3．[2015·新课标全国卷Ⅰ]某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣 传费 x(单位：千元)对年销售量 y(单位：t)和年利润 z(单位：千元)的影响．对近 8 年的年宣 传费 xi 和年销售量 yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的 值． x y w 8 ∑ i＝1 (xi －x)2 8 ∑ i＝1 (wi －w)2 8 ∑ i＝1 (xi－ x)(yi－y) 8 ∑ i＝1 (wi－ w)(yi－y) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中 wi＝ xi，w＝ 1 8 8 ∑ i＝1 xi. (1)根据散点图判断，y＝a＋bx 与 y＝c＋d x哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程． (3)已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为 z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费 x＝49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线 v＝α＋βu 的斜率和 截距的最小二乘估计分别为β^ ＝ ∑n i＝1 ui－uvi－v ∑n i＝1 ui－u2 ，α^ ＝v－β^ u. 解：(1)由散点图可以判断，y＝c＋d x适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程 类型． (2)令 w＝ x，先建立 y 关于 w 的线性回归方程． 由于 d^ ＝ ∑8 i＝1 wi－wyi－y ∑8 i＝1 wi－w2 ＝ 108.8 1.6 ＝68， c^ ＝y－ d^ w＝563－68×6.8＝100.6， 所以 y 关于 w 的线性回归方程为 y^ ＝100.6＋68w， 因此 y 关于 x 的回归方程为 y^ ＝100.6＋68 x. (3)①由(2)知，当 x＝49 时， 年销售量 y 的预报值 y^ ＝100.6＋68 49＝576.6，年利润 z 的预报值 z^ ＝576.6×0.2－ 49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润 z 的预报值 z^ ＝0.2(100.6＋68 x)－x＝－x＋13.6 x＋20.12. 所以当 x＝ 13.6 2 ＝6.8，即 x＝46.24 时， z^ 取得最大值．故年宣传费为 46.24 千元时， 年利润的预报值最大． 4．[2014·新课标全国卷Ⅱ]某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y(单位： 千元)的数 据如下表： 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)求 y 关于 t 的线性回归方程； (2)利用(1)中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变 化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： b^ ＝ ∑n i＝1 ti－tyi－y ∑n i＝1 ti－t2 ， a^ ＝y－ b^ t. 解：(1)由所给数据计算得 t＝ 1 7×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4， y＝ 1 7×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3， 7 ∑ i＝1 (ti－t)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28， 7 ∑ i＝1 (ti－t)(yi－y)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5 ＋2×0.9＋3×1.6＝14， b^ ＝ ∑7 i＝1 ti－tyi－y ∑7 i＝1 ti－t2 ＝ 14 28＝0.5， a^ ＝y－ b^ t＝4.3－0.5×4＝2.3. 所求回归方程为 y^ ＝0.5t＋2.3. (2)由(1)知， b^ ＝0.5>0，故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加， 平均每年增加 0.5 千元． 将 2015 年的年份代号 t＝9 代入(1)中的回归方程，得 y^ ＝0.5×9＋2.3＝6.8， 故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元． 课外拓展阅读 统计案例问题的规范答题 [典例]　[2013·福建卷]某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名，25 周岁以下工 人 200 名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取 了 100 名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成 5 组：[50,60)， [60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图． (1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人，求至少抽到一名“25 周 岁以下组”工人的概率； (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成 2×2 列 联表，并判断是否有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？ P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 附：K2＝ nad－bc2 a＋bc＋da＋cb＋d. [审题视角]　由频率分布直方图列举基本事件，结合古典概型，求概率．利用独立性检 验公式计算 K2. [解]　(1)由已知得，样本中有 25 周岁以上组工人 60 名，25 周岁以下组工人 40 名．所 以，样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中，25 周岁以上组工人有 60×0.05＝3(人)，记 为 A1，A2，A3；25 周岁以下组工人有 40×0.05＝2(人)，记为 B1，B2. 从中随机抽取 2 名工人，所有的可能结果共有 10 种，它们是(A1，A2)，(A1，A3)，(A2， A3)，(A1，B1)， (A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)． 其中，至少有 1 名“25 周岁以下组”工人的可能结果共有 7 种，它们是(A1，B1)，(A1， B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)． 故所求的概率 P＝ 7 10. (2)由频率分布直方图可知，在抽取的 100 名工人中，“25 周岁以上组”中的生产能手有 60×0.25＝15(人)，“25 周岁以下组”中的生产能手有 40×0.375＝15(人)，据此可得 2×2 列联表如下： 生产能手 非生产能手 总计 25 周岁以上组 15 45 60 25 周岁以下组 15 25 40 总计 30 70 100 所以 K2＝ nad－bc2 a＋bc＋da＋cb＋d ＝ 100 × 15 × 25－15 × 452 60 × 40 × 30 × 70 ＝ 25 14≈1.79. 因为 1.79<2.706，所以没有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”． [答题模板]　第 1 步：由分层抽样计算两组工人的数目； 第 2 步：由频率分布直方图计算两组不足 60 件的人数； 第 3 步：列举 5 人抽取 2 人的基本事件数； 第 4 步，由古典概型计算概率； 第 5 步：统计生产能手与非生产能手，列 2×2 列联表； 第 6 步：由公式计算 K2，确定答案． 归纳总结 (1)分层抽样比为 100 500＝ 1 5，故 25 周岁以上有 300× 1 5＝60(人)，25 周岁以下的 200× 1 5＝ 40(人)，然后再根据频率计算“不足 60 件”的人数，并设定符号． (2)列 2×2 列联表时，其中的数字应先由频率分布直方图算出后再列表．