【数学】2020届一轮复习人教A版空间角、空间距离学案

【数学】2020届一轮复习人教A版空间角、空间距离学案

空间角、空间距离 ‎ 审稿: ‎ ‎【考纲要求】‎ ‎1、了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置；‎ ‎2、掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。‎ ‎3、利用向量法求空间角与距离；‎ ‎4、在解答题中综合考查空间想象能力，计算能力及数形结合思想。‎ ‎【知识网络】‎ 空间向量 定义、加法、减法、数乘运算 数量积 坐标表示：夹角和距离公式 求距离 求空间角 证明平行与垂直 ‎【考点梳理】‎ 考点一、空间向量有关知识 一、空间直角坐标系 ‎1、空间直角坐标系及有关概念 ‎（1）空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴。这时建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，X轴，y轴，z轴统称坐标轴。由坐标轴确定的平面叫做坐标平面；‎ ‎（2）右手直角坐标系的含义是：当右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴方向时，中指一定指向z轴的正方向；‎ ‎（3）空间一点M的坐标为有序实数组（x,y,z）,记作M（x,y,z），其中x叫做M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。‎ ‎2、空间两点间的距离公式 设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|AB|=‎ 要点诠释：‎ 在空间直角坐标系中，点M（x,y,z）的坐标满足x2+y2+z2=1,则点M的轨迹是一个以原点为球心，以1为半径的球面。‎ 二、空间向量及其运算 空间向量的概念及运算同平面向量基本相同。加减运算遵循三角形或平行四边形法则；数乘运算和数量积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算相同；坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多出了一个竖坐标。‎ 考点二、直线的方向向量与平面的法向量的确定 ‎1、直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量；‎ ‎2、平面的法向量可利用方程组求出：设，是平面α内两不共线向量，为平面α的法向量，则求法向量的方程组为。‎ 要点诠释：‎ 所列方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？（给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标。）‎ 考点三、空间向量与空间角的关系 ‎1、设异面直线，的方向向量分别为则，所成的角θ满足cosθ=|cos<>|;‎ ‎2、设直线的方向向量和平面α的法向量分别为,则直线与平面α所成角θ满足sinθ=|cos<>|;‎ ‎3、求二面角的大小 ‎①如图①，AB，CD是二面角α--β的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小θ=<,>‎ ‎②如图②，分别是二面角α--β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ=cos<>或-cos<>‎ 考点四、点面距的求法 如图，设AB为平面α的一条斜线段，为平面α的法向量，则B到平面α的距离 要点诠释：‎ 对于以下几类立体几何问题：(1) 共线与共面问题；(2) 平行与垂直问题；(3) 夹角问题；(4) 距离问题；(5) 探索性问题．‎ 运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势．用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示，适当地建立起空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然后进行向量与向量的坐标运算，最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系，从而使问题得到解决．在寻求向量间的数量关系时，一个基本的思路是列方程，解方程． ‎ ‎【典型例题】‎ 类型一、利用空间向量求空间角 A P D C O B ‎【例1】已知四棱锥的底面为菱形，且，，与相交于点.‎ ‎（Ⅰ）求证：底面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）若是上的一点，且，‎ 求的值．‎ x z y A P D C O B ‎ （Ⅰ）证明：因为为菱形，所以为的中点 因为,所以 所以底面 ‎ ‎（Ⅱ）因为为菱形，所以 ‎ 建立如图所示空间直角坐标系 又得，所以　　‎ ‎,,‎ 设平面的法向量 ‎　有 ，所以　，解得 所以 ， ‎ ‎ ，与平面所成角的正弦值为 ‎ ‎（Ⅲ）因为点在上,所以 所以,　‎ ‎　因为 所以　,　　得　 解得，所以 ‎ ‎【总结升华】求空间角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角）一直是高考的热点，如果用几何法求需要作出这些角的平面角，对空间想象能力要求高。而用向量法求解时，只需利用公式。通过简单的向量运算即可解决，显示了向量这一工具巨大的作用。求二面角时，可以利用法向量求。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.‎ ‎（1）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；‎ ‎（3）当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°.‎ ‎【解析】（1）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行.‎ ‎∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC.‎ 又EF平面PAC，而PC平面PAC，‎ ‎∴EF∥平面PAC. ‎ ‎（2）以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 则P（0，0，1），B（0，1，0），‎ F（0，，），D（，0，0）.‎ 设BE=x，则E（x，1，0），‎ ‎·=（x，1，-1）·（0，，）=0，‎ ‎∴PE⊥AF. （3）设平面PDE的法向量为=(p,q,1),‎ 由（2）知=（，0，-1），=（x，1，-1）‎ 由，得=. ‎ 而=（0，0，1），依题意PA与平面PDE所成角为45°,‎ ‎∴sin45°==，‎ ‎∴=, ‎ 得BE=x=-或BE=x=+＞（舍去）.‎ 故BE=-时，PA与平面PDE所成角为45°. ‎ ‎【例2】ID 401043【高清视频空间角、空间距离例3】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,AP=AB=2，BC=2，E,F分别是AD，PC的中点。‎ （1） 证明：PC⊥平面BEF；‎ （2） 求平面BEF与平面BAP夹角的大小。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】如图，在三棱锥中，，，侧面 为等边三角形，侧棱．‎ C A B P ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅲ）求二面角的余弦值．‎ ‎（Ⅰ）设中点为，连结，， ‎ 因为，所以.‎ 又，所以. ‎ 因为，所以平面.‎ 因为平面，所以. ‎ ‎（Ⅱ）由已知，，‎ 所以，. ‎ 又为正三角形，且，所以. ‎ 因为，所以. ‎ 所以.‎ 由（Ⅰ）知是二面角的平面角.‎ 所以平面平面. ‎ ‎（Ⅲ）方法1：由（Ⅱ）知平面.‎ 过作于，连结，则.‎ 所以是二面角的平面角. ‎ 在中，易求得.‎ 因为，所以. ‎ 所以.‎ 即二面角的余弦值为. ‎ 方法2：由（Ⅰ）（Ⅱ）知，，两两垂直. ‎ 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 易知，，，.‎ x C A B P D y z 所以，. ‎ 设平面的法向量为，‎ 则 即 令，则，.‎ 所以平面的一个法向量为. ‎ 易知平面的一个法向量为.‎ 所以. ‎ 由图可知，二面角为锐角.‎ 所以二面角的余弦值为. ‎ 类型二、利用空间向量求空间距离 例3.（2018 天津模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，O为AD中点．‎ ‎（1）求直线PB与平面POC所成角的余弦值．‎ ‎（2）求B点到平面PCD的距离．‎ ‎（3）线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】（1）在△PAD中PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD，‎ 又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，‎ 所以PO⊥平面ABCD．‎ 又在直角梯形ABCD中，易得OC⊥AD；‎ 所以以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系．‎ 则P（0，0，1），A（0，﹣1，0），B（1，﹣1，0），C（1，0，0），D（0，1，0）；‎ 所以，易证：OA⊥平面POC，‎ 所以，平面POC的法向量，‎ 所以PB与平面POC所成角的余弦值为 ‎ ‎（2），设平面PDC的法向量为，‎ 则，取z=1得 B点到平面PCD的距离 ‎（3）假设存在，则设=λ（0＜λ＜1）‎ 因为=（0，1，﹣1），所以Q（0，λ，1﹣λ）．‎ 设平面CAQ的法向量为=（a，b，c），则，‎ 所以取=（1﹣λ，λ﹣1，λ+1），‎ 平面CAD的法向量=（0，0，1），‎ 因为二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为，‎ 所以=，‎ 所以3λ2﹣10λ+3=0．‎ 所以λ=或λ=3（舍去），‎ 所以=‎ ‎【总结升华】利用向量法求点面距，其步骤如下：‎ ‎（1）求出该平面的一个法向量；‎ ‎（2）找出过该点的平面的任一条斜线段对应的向量；‎ ‎（3）求出法向量与斜线段所对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点面平面的距离，如图：‎ 点P到平面α的距离。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】（2018 广东高考）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．‎ ‎（1）证明：BC∥平面PDA；‎ ‎（2）证明：BC⊥PD；‎ ‎（3）求点C 到平面PDA的距离．‎ ‎【证明】（1）因为四边形ABCD是长方形，所以BC∥AD，‎ 因为BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，所以BC∥平面PDA；‎ ‎（2）因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD，‎ 因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，BC⊂面ABCD，‎ 所以BC⊥平面PDC，‎ 因为PD⊂平面PDC，‎ 所以BC⊥PD；‎ ‎（3）解：取CD的中点E，连接AE和PE，‎ 因为PD=PC，所以PE⊥CD，‎ 在Rt△PED中，PE===．‎ 因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PDC，‎ 所以PE⊥平面ABCD．‎ 由（2）知：BC⊥平面PDC，‎ 由（1）知：BC∥AD，‎ 所以AD⊥平面PDC，‎ 因为PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．‎ 设点C到平面PDA的距离为h．‎ 因为VC﹣PDA=VP﹣ACD，‎ 所以，‎ 所以h==，‎ 所以点C到平面PDA的距离是．‎