2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练41　空间图形的基本关系与公理

2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练41　空间图形的基本关系与公理

课时分层训练(四十一)　空间图形的基本关系与公理 ‎(对应学生用书第279页)‎ A组　基础达标 一、选择题 ‎1．下列命题中，真命题的个数为(　　)‎ ‎①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；‎ ‎②两条直线可以确定一个平面；‎ ‎③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；‎ ‎④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.‎ A．1　　　　　　 B．2‎ C．3 D．4‎ B　[根据公理2可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间中，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据公理3可知④是真命题．综上，真命题的个数为2.]‎ ‎2．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．]‎ ‎3．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　) ‎ ‎【导学号：79140226】‎ A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 D　[由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．]‎ ‎4．(2018·兰州实战模拟)已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB＝，AD＝1，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为(　　)‎ A． B． C． D． A　[连接AC，AB1(图略)，由长方体性质可知AB1∥DC1，所以∠AB1C就是异面直线B1C和C1D所成的角．由题知AC＝＝2，AB1＝＝，CB1＝＝2，所以由余弦定理得cos∠AB1C＝＝，故选A.]‎ ‎5．(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　)‎ A. B． C. D． A　[设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.‎ ‎∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.‎ 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，‎ 且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m.‎ ‎∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，‎ 且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，‎ 同理可证CD1∥n.‎ 因此直线m，n所成的角与直线B1D1，CD1所成的角相等，即∠CD1B1为m，n所成的角．‎ 在正方体ABCDA1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，‎ 故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为.]‎ 二、填空题 ‎6．(2018·湖北调考)已知正六棱锥SABCDEF的底面边长和高均为1，则异面直线SC与DE所成角的大小为________．‎ 　[设正六边形ABCDEF的中心为O，连接SO，CO，BO，则由正六边形的性质知OC∥DE，SO⊥平面ABCDEF，所以∠SCO为异面直线SC与DE 所成角．又易知△BOC为等边三角形，所以SO＝BC＝CO＝1，所以∠SCO＝.]‎ ‎7．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．‎ ‎1或4　[如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个平面．]‎ ‎8．(2017·郑州模拟)在图727中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号). ‎ ‎【导学号：79140227】‎ ‎(1)　　　　　(2)　　　　(3)　　　　(4)‎ 图727‎ ‎(2)(4)　[图(1)中，直线GH∥MN；图(2)中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图(3)中，连接MG(图略)，GM∥HN，因此GH与MN共面；图(4)中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图(2)(4)中，GH与MN异面．]‎ 三、解答题 ‎9.如图728所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：‎ 图728‎ ‎(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；‎ ‎(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．‎ ‎[解]　(1)AM，CN不是异面直线．理由：连接MN，A1C1，AC.‎ 因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.‎ 又因为A1AC1C，所以A1ACC1为平行四边形，‎ 所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，‎ 所以A，M，N，C在同一平面内，‎ 故AM和CN不是异面直线．‎ ‎(2)直线D1B和CC1是异面直线．‎ 理由：因为ABCDA1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，‎ 则存在平面α，使D1B平面α，CC1平面α，‎ 所以D1，B，C，C1∈α，‎ 这与B，C，C1，D1不共面矛盾，所以假设不成立，‎ 即D1B和CC1是异面直线．]‎ ‎10．如图729所示，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：‎ 图729‎ ‎(1)三棱锥PABC的体积；‎ ‎(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．‎ ‎[解]　(1)S△ABC＝×2×2＝2，‎ 三棱锥PABC的体积为 V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.‎ ‎(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角)．‎ 在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，cos∠ADE＝＝.‎ 故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.‎ B组　能力提升 ‎11．(2018·陕西质检(一))已知P是△ABC所在平面外的一点，M，N分别是AB，PC的中点．若MN＝BC＝4，PA＝4，则异面直线PA与MN所成角的大小是(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．90°‎ A　[取AC中点为O，连接OM，ON，则易证OM綊BC，ON綊PA，所以∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角．由MN＝BC＝4，PA＝4，得OM＝BC＝2，ON＝AP＝2，则cos∠ONM＝＝，所以∠ONM＝30°，即异面直线PA与MN所成角的大小是30°，故选A.]‎ ‎12.如图7210，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为________. ‎ ‎【导学号：79140228】‎ 图7210‎ 　[取DE的中点H，连接HF，GH.‎ 由题设，HFAD，‎ 所以∠GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角)．‎ 在△GHF中，可求HF＝，‎ GF＝GH＝，‎ ‎∴cos∠GFH＝＝.]‎ ‎13．如图7211，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．‎ 图7211‎ ‎(1)求四棱锥OABCD的体积；‎ ‎(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值．‎ ‎[解]　(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，‎ ‎∴四棱锥OABCD的体积V＝×4×2＝.‎ ‎(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE.‎ 又M为OA中点，∴ME∥OC，‎ 则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知可得 DE＝，EM＝，MD＝，∵()2＋()2＝()2，‎ ‎∴△DEM为直角三角形，‎ ‎∴tan∠EMD＝＝＝.‎ ‎∴异面直线OC与MD所成角的正切值为.‎