2017年湖南省岳阳市高考一模数学理

2017年湖南省岳阳市高考一模数学理

2017 年湖南省岳阳市高考一模数学理 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有 且只有一项符合题目要求. 1.已知集合 A={-2，0，2}， 2 23{}1| 2xxBx ，则 A∩B=( ) A.{0} B.{2} C.{0，2} D.{-2，0} 解析：∵集合 A={-2，0，2}， B= 2 232|}1{ xxx  ={x|-1＜x＜3}， ∴A∩B={0，2}. 答案：C. 2.已知复数 z 满足 2z i i   (i 为虚数单位)，则 z 在复平面内对应的点所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：由 ， 得   2 22 12iiiziii     ＝ ＝ ， 则 12zi＝ ， 则 z 在复平面内对应的点的坐标为：(-1，2)，位于第二象限. 答案：B. 3.已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“m⊥β”是“α⊥β” 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：根据面面垂直的判定定理得若 m⊥β则α⊥β成立，即充分性成立， 若α⊥β则 m⊥β不一定成立，即必要性不成立， 故 m⊥β是α⊥β的充分不必要条件， 答案：A 4.函数 f(x)=xa 满足 f(2)=4，那么函数 g(x)=|loga(x+1)|的图象大致为( ) A. B. C. D. 解析：∵f(2)=4， ∴2a=4，解得 a=2. ∴         2 2 2 log 1 0 log 1 log 1 1 0 || xx g x x xx       ， ， ＜ ＜ ∴当 x≥0 时，函数 g(x)单调递增，且 g(0)=0；当-1＜x＜0 时，函数 g(x)单调递减. 答案：C. 5.若变量 x，y 满足不等式组 2 1 y xy x y a       ，且 z=3x-y 的最大值为 7，则实数 a 的值为( ) A.1 B.7 C.-1 D.-7 解析：作出不等式组 所对应可行域，如图， 变形目标函数 z=3x-y 可得 y=3x-z，平移直线 y=3x 可知： 当直线经过点 A 时，直线截距最小值，z 取最大值，由 2y x y a    ＝ ＝ 解得 A(a+2，2) 代值可得 3a+6-2=7，解得 a=1， 答案：A. 6.已知函数 f(x)=sin(2ωx- 6  )(ω＞0)的最小正周期为 4π，则( ) A.函数 f(x)的图象关于点( 6  ，0)对称 B.函数 f(x)的图象关于直线 x= 6  对称 C.函数 f(x)的图象在( 2  ，π)上单调递减 D.函数 f(x)的图象在( 2  ，π)上单调递增 解析：∵函数 f(x)的最小正周期为 4π， ∴ 2 42T  ，即 1 4  ， 则函数   11sin 2 sin4 6 2 6f x x x              ， 则 1sin sin 06 2 6 6 12f                         ，且 16f  ， 则函数 f(x)的图象关于点( 6  ，0)不对称，且关于直线 x= 6  不对称， 当 2 x ＜ ＜ 时， 1 4 2 2x＜ ＜ ， 1 12 2 6 3x  ＜ ＜ ，此时函数 f(x)为增函数. 答案：D. 7.将参加数学竞赛决赛的 500 名同学编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽 取一个容量为 50 的样本，且随机抽的号码为 003，这 500 名学生分别在三个考点考试，从 001 到 200 在第一考点，从 201 到 355 在第二考点，从 356 到 500 在第三考点，则第二考点 被抽中的人数为( ) A.14 B.15 C.16 D.17 解析：系统抽样的分段间隔为 500 1050  ， 在随机抽样中，首次抽到 003 号，以后每隔 10 个号抽到一个人， 则被抽中的人数构成以 3 为首项，10 为公差的等差数列， 故可分别求出在 001 到 200 中有 20 人，在 201 至 355 号中共有 16 人. 答案：C. 8.某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形，侧视图是 边长为 2 的正方形，则此四面体的外接球的体积是( ) A.12π B.48π C. 43 D.32 3 解析：由三视图知该几何体为棱锥 S-ABD，其中 SC⊥平面 ABCD，此四面体的外接球为正方 体的外接球，正方体的对角线长为 23，外接球的半径为 3 所以四面体的外接球的体积  34 3 4 33    . 答案：C. 9.某一算法框图如图，输出的 S 值为( ) A. 3 2 B. 3 2 C. 3 D.0 解析：由已知中的程序框图可知： 该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 2 2016sin sin sin sin3 3 3S       的值， 由于 sin 3 ny  的周期为 6，且同一周期内各函数值的累加和为 0， 由于 2016÷6=336， 故 2 2016sin sin sin sin3 3 3S       =336×0=0， 答案：D. 10.已知圆 C：(x-3)2+(y-4)2=1 和两点 A(-m，0)，B(m，0)(m＞0).若圆上存在点 P 使得 PA PB ＝0，则 m 的取值范围是( ) A.(-∞，4] B.(6，+∞) C.(4，6) D.[4，6] 解析：∵圆 C：(x-3)2+(y-4)2=1， ∴圆心 C(3，4)，半径 r=1； 设点 P(a，b)在圆 C 上，则 AP =(a+m，b)， BP =(a-m，b)； ∵ ＝0 ∴(a+m)(a-m)+b2=0； 即 m2=a2+b2； ∴ 22OP a b， ∴|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6，最小值是|OC|-r=5-1=4； ∴m 的取值范围是[4，6]. 答案：D. 11.在平面直角坐标系 xoy 中，双曲线 C1： 22 221xy ab ＝ (a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线 C2： y2＝2px(p＞0)交于点 O，A，B，若△OAB 的垂心为 C2 的焦点，则 C1 的离心率为( ) A. 3 2 B. 5 C. 35 5 D. 5 2 解析：双曲线 C1： (a＞0，b＞0)的渐近线方程为 byxa ， 与抛物线 C2：x2=2py 联立，可得 x=0 或 2pbx a ， 取 2 2 22pb pbA aa   ， ，设垂心 H( 2 p ，0)， 则 2 2 4 4AH bk ab a  ， ∵△OAB 的垂心为 C2 的焦点， ∴ 2 2 4 14 bb ab a a      ， ∴ 35 5 ce a . 答案：C. 12.定义：如果函数 f(x)在[a，b]上存在 x1，x2(a＜x1＜x2＜b)满足       1 f b f afx ba   ＝ ，       2 f b f afx ba   ＝ 则 称 函 数 f(x) 是 [a ， b] 上 的 “ 中 值 函 数 ” . 已 知 函 数   3211 32f x x x m＝ 是[0，m]上的“中值函数”，则实数 m 的取值范围是( ) A.( 3 4 ，1) B. 33 42   ， C.(1， 3 2 ) D.( 3 2 ，+∞) 解析：由题意可知， 在区间[0，m]存在 x1，x2(0＜x1＜x2＜a)， 满足         2 21 0 11 32 f m ff x f x m mm     ＝ ， ∵ ， ∴f′(x)=x2-x， ∴方程 2211 32x x m m   在区间(0，m)有两个解. 令   2211 32g x x x m m    ，(0＜x＜m) 则     2 2 22 111 4 032 110032 11032 0 mm g m m g m m m m m m               ＝ ＞ ＝- ＞ ＝ ＞ ＞ 解得 33 42m＜ ＜ ， ∴实数 m 的取值范围是 33 42   ， . 答案：B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 A＝60°，b＝4，S△ABC＝ 23，则 a=____. 解析：∵A＝60°，b＝4， 1 1 32 3 sin 42 2 2ABCS bc A c    ＝ ， ∴解得：c=2， ∴由余弦定理可得： 2 2 2 2 12 cos 4 2 2 4 2 2 32a b c bc A          . 答案： 23. 14.若二项式 1 n x x    的展开式中只有第 4 项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 ____. 解析：由二项式 1 n x x    展开式中只有第 4 项的二项式系数最大， 即展开式有 7 项，∴n=6； ∴展开式中的通项公式为   36 2 161 rrr rT C x       ； 令 36 2 r =0，求得 r=4， 故展开式中的常数项为 4 4 61 15C   . 答案：15. 15.矩形 OABC 的四个顶点坐标依次为 O(0，0)，A( 2  ，0)，B( 2  ，1)，C(0，1)，线段 OA，OC 及 y＝cosx(0＜x≤ 2  )的图象围成的区域为Ω，若矩形 OABC 内任投一点 M，则点 M 落在区 域内Ω的概率为____. 解析：由 题 意 ： 线 段 OA ， OC 及 y ＝ cosx(0 ＜ x ≤ 2  ) 的图象围成的区域面积 22 00c |os sin 1dx x        ， 矩形 OABC 的面积 122S ＝ . 点 M 落在区域内Ω的概率为： 21 2   ＝ . 答案： 2  . 16.定义在[0，+∞)上的函数 f(x)满足：①当 x∈[1，2)时，   13 22f x x＝ ；② x∈[0， +∞)都有 f(2x)=2f(x).设关于 x 的函数 F(x)=f(x)-a 的零点从小到大依次为 x1，x2，x3，… xn，…， 若 a∈( 1 2 ，1)，则 x1+x2+…+x2n=____. 解析：∵①当 x∈[1，2)时， ；② x∈[0，+∞)都有 f(2x)=2f(x). 当 x∈[2，4)时， 1 2 x∈[1，2)，   1 1 1 32 2 1 32 2 2 2f x f x x x       ，x∈[4，8)时， 1 2 x∈[2，4)，   112 2 1 3 2 622f x f x x x       ， 同理，则 a∈( 1 2 ，1)，F(x)=f(x)-a 在区间(2，3)和(3，4)上各有 1 个零点，分别为 x1，x2，且 满足 x1+x2=2×3=6， 依此类推：x3+x4=2×6=12，x5+x6=2×12=24…，x2n-1+x2n=2×3×2n-1. ∴当 a∈( 1 2 ，1)时，x1+x2+…+x2n-1+x2n=6×(1+2+22+…+2n-1)=    1 1 2 6 6 2 112 n n     ， 答案：6×(2n-1). 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.已知数列{an}前 n 项和 Sn 满足：2Sn+an=1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 3 3 1 2 log logn nn b aa ＝ ，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，求证：Tn＜2. 解析：(1)根据数列的递推公式和对数的运算性质即可求出数列{an}的通项公式， (2)利用裂项求和即可求出数列{bn}的前 n 项和 Tn，再放缩证明即可. 答案：(1)2Sn+an=1，2Sn+1+an+1=1， ∴2an+1+an+1=an， ∴3an+1=an， 又 2S1+a1=1， ∴ 1 1 3a  ， ∴{an}是以 1 3 为首项，以 1 3 为公比的等比数列， ∴an=( 1 3 )n； (2)      3 3 1 2 2 2 1 12log log 1 11n nn b a a n n n nnn         ＝ ∴ 1 1 1 1 1 12 1 2 1 22 2 3 1 1[]nT n n n                              ＜ . 18.根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区 PM2.5 的年平均浓度不得 超过 35 微克/立方米，PM2.5 的 24 小时平均浓度不得超过 75 微克/立方米.我市环保局随机 抽取了一居民区 2016 年 20 天 PM2.5 的 24 小时平均浓度(单位：微克/立方米)的监测数据， 数据统计如表： 组别 PM2.5 浓度(微克 /立方米) 频数(天) 频率 第一组 (0，25] 3 0.15 第二组 (25，50] 12 0.6 第三组 (50，75] 3 0.15 第四组 (75，100] 2 0.1 (1)将这 20 天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图. ①求图 4 中 a 的值； ②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从 PM2.5 的年平均浓度考虑，判断该居民区 的环境质量是否需要改善？并说明理由. (2)将频率视为概率，对于 2016 年的某 3 天，记这 3 天中该居民区 PM2.5 的 24 小时平均浓 度符合环境空气质量标准的天数为 X，求 X 的分布列和数学期望. 解析：(1)①a=0.004.②2016 年该居民区 PM2.5 的年平均浓度=12.5×0.15+37.5×0.6+62.5× 0.15+87.5×0.1，与 35 比较即可判断出结论. (2)由题意可得：PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为 0.9，X 的可能取 值为 0，1，2，3.P(X=k)=    3 3 0.1 0.9kkkC  . 答案：(1)①a=0.004.②2016 年该居民区 PM2.5 的年平均浓度=12.5×0.15+37.5×0.6+62.5× 0.15+87.5×0.1=42.5(微克/立方米)，∵42.5＞35，∴2016 年该居民区 PM2.5 的年平均浓度不 符合环境空气质量标准，故该居民取的环境需要改进. (2)由题意可得：PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为 0.9，X 的可能取 值为 0，1，2，3.P(X=k)=    3 3 0.1 0.9kkkC  ，可得 P(X=0)=0.001，P(X=1)=0.027，P(X=2)=0.243， P(X=3)=0.729. X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 E(X)=0×0.001+1×0.027+2×0.243+3×0.729=2.7，或 E(X)=3×0.9=2.7. 19.如图，已知长方形 ABCD 中，AB= 22，AD= 2 ，M 为 DC 的中点，将△ADM 沿 AM 折 起，使得平面 ADM⊥平面 ABCM (Ⅰ)求证：AD⊥BM (Ⅱ)若点 E 是线段 DB 上的一动点，问点 E 在何位置时，二面角 E-AM-D 的余弦值为 5 5 . 解析：(Ⅰ)根据线面垂直的性质证明 BM⊥平面 ADM 即可证明 AD⊥BM (Ⅱ)建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立二面角的夹角关系，解方程即可. 答案：(1)∵长方形 ABCD 中，AB= 22，AD= 2 ，M 为 DC 的中点， ∴AM=BM=2，∴BM⊥AM. ∵平面 ADM⊥平面 ABCM，平面 ADM∩平面 ABCM=AM，BM 平面 ABCM ∴BM⊥平面 ADM ∵AD平面 ADM∴AD⊥BM； (2)建立如图所示的直角坐标系，设 DE DB＝ ， 则平面 AMD 的一个法向量 n =(0，1，0)，ME MD DB =(1-λ，2λ，1-λ)，AM =(-2， 0，0)，设平面 AME 的一个法向量为 m =(x，y，z)，则     20 1 2 1 0 m AM x m ME x y z          ＝ ＝ ＝ ＝ ， 取 y=1，得 x=0， 2 1z    ， 则 2011m     ，， ， ∵ 5cos 5 mnmn mn ＜ ，＞ ，∴求得λ＝ 1 2 ， 故 E 为 BD 的中点. 20.已知椭圆 C： 22 221xy ab ＝ (a＞b＞0)的两个焦点为 F1，F2，离心率为 6 3 ，点 A，B 在椭圆 上，F1 在线段 AB 上，且△ABF2 的周长等于 43. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)过圆 O：x2+y2=4 上任意一点 P 作椭圆 C 的两条切线 PM 和 PN 与圆 O 交于点 M，N，求△ PMN 面积的最大值. 解析：(1)通过椭圆定义及△ABF2 的周长等于 43，可知 a= 3 ，利用 6 3 ce a ＝ ，可知 2c  ，通过 22b a c可知 b=1，进而可得结论； (2)通过设 P(x0，y0)及过 P 点的直线为 y-y0=k(x-x0)，并与椭圆方程联立，通过令根的判别式为 0，计算可知过圆 O：x2+y2=4 上任意一点 P 作椭圆 C 的两条切线均垂直，进而计算可得结论. 答案：(1)∵△ABF2 的周长等于 ，且 F1 在边 AB 上， ∴(BF1+BF2)+(AF1+AF2)= ， ∴2a+2a= ，即 a= ， 又∵ ，∴ ， ∴ ＝1， ∴椭圆 C 的标准方程为： 2 2 13 x y ＝ ； (2)依题意，设 P(x0，y0)，设过 P 点的直线为 y-y0=k(x-x0)， 记 b=-kx0+y0，整理得：y=kx+b，并代入椭圆方程，得： x2+3k2x2+6kbx+3b2-3=0， 令△=0，得 9k2b2-3b2-9k2b2+9k2+3=0， ∴9k2-3b2+3=0，即 3k2-b2+1=0， 又∵b=-kx0+y0， ∴3k2-k2x02+2kx0y0-y02+1=0， ∵△=3y02+x02-3＞0， ∴ 2 0 12 2 0 1 3 ykk x  ， 又∵x02+y02=4，即 y02=4-x02， ∴  2 0 12 2 0 41 13 x kk x        ， ∴过圆 O：x2+y2=4 上任意一点 P 作椭圆 C 的两条切线均垂直， ∴MN 为圆 O 的直径， ∴当 P 点为(0，±2)时，△PMN 面积的最大，最大值为 1 2 ×4×2=4. 21.已知函数       2 2ln 1 1 ax xf x x x     . (1)当 a=1 时，求函数 f(x)在 x=e-1 处的切线方程； (2)当 2 3 ＜a≤2 时，讨论函数 f(x)的单调性； (3)若 x＞0，求函数    1111 x xg x xx    的最大值. 解析：(1)求出函数的导数，计算 f′(e-1)，f(e-1)的值，求出切线方程即可； (2)求出函数的导数，根据 a 的范围求出函数的单调区间即可； (3)令φ(x)=lng(x)，根据φ(x)在(0，+∞)上的最大值等于其在(0，1)上的最大值，求出φ(x)的最 大值，从而求出 g(x)的最大值即可. 答案：(1)a=1 时，函数    ln 1 1 xf x x x    ，      22 11 1 11 xfx x xx      ，   2 11 efe e    ， 又 f(e-1)= 1 e ， ∴a=1 时，函数 f(x)在 x=e-1 处的切线方程是：  2 11 1ey x eee     ； (2)由题意得：函数 f(x)的定义域是(-1，+∞)， 且      3 23 1 x x afx x   ， 3 2 ＜a≤2 时，则 2a-3＞0， 若-1＜x＜0 或 x＞2a-3，则 f′(x)＞0，若 0＜x＜2a-3，则 f′(x)＜0， ∴f(x)在区间(-1，0)(2a-3，+∞)递增，在(0，2a-3)递减； (3)显然 g(x)=g( 1 x )，令φ(x)=lng(x)， 因此φ(x)在(0，+∞)上的最大值等于其在(0，1)上的最大值，    2 1 1 11 ln 1 ln 11x x x xx x x                    ， 设    2 1 1 11 ln 1 ln 11h x x x xx x x                   ，           2 2 2 23 22 1 ln 1 1 1 xxxx xhx xx         ， 由(2)得，当 a=2 时，f(x)在区间(0，1]递减， 则           2 2 2ln 1 0 0 0 1 xxf x x f h x x       ＜ ， ＜ ， 故函数 h(x)在区间(0，1]递减，于是 h(x)≥h(1)=0， 从而函数φ(x)在区间(0，1]递增， 进而φ(x)≤φ(1)=2ln2， ∵φ(x)=lng(x)， ∴函数 g(x)的最大值是 4. 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答 时，请用 2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑.[选修 4-4：参数方程与极坐标系] 22.已知曲线 C 的极坐标方程为ρ=6sinθ，以极点 O 为原点，极轴为 x 轴的非负半轴建立直 角坐标系，直线 l 的参数方程为 1 1 x at yt    ＝ ＝ (t 为参数). (1)求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程； (2)直线 l 与曲线 C 交于 B，D 两点，当|BD|取到最小值时，求 a 的值. 解析：(1)曲线 C 的极坐标方程为ρ=6sinθ，即ρ2=6ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方 程.直线 l 的参数方程为 1 1 x at yt    ＝ ＝ (t 为参数)，消去参数 t 可得普通方程. (2)由直线 l 经过定点 P(-1，1)，此点在圆的内部，因此当 CP⊥l 时，|BD|取到最小值，利用 kCP·kl=-1，解得 kl，即可得出. 答案：(1)曲线 C 的极坐标方程为ρ=6sinθ，即ρ2=6ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=6y， 配方为：x2+(y-3)2=9，圆心 C(0，3)，半径 r=3. 直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，消去参数 t 可得：x-ay+a+1=0. (2)由直线 l 经过定点 P(-1，1)，此点在圆的内部， 因此当 CP⊥l 时，|BD|取到最小值，则 13· 110CP l lk k k    ，解得 1 2lk  . ∴ 11 2a  ，解得 a=-2. 23.已知函数 f(x)=|2x-a|+a. (1)若不等式 f(x)≤6 的解集为{x|-2≤x≤3}，求实数 a 的值； (2)在(1)的条件下，若存在实数 n 使 f(n)≤m-f(-n)成立，求实数 m 的取值范围. 解析：(1)通过讨论 x 的范围，求得 a-3≤x≤3.再根据不等式的解集为{x|-2≤x≤3}，可得 a- 3=-2，从而求得实数 a 的值. (2)在(1)的条件下，f(n)=|2n-1|+1，即 f(n)+f(-n)≤m，即 |2n-1|+|2n+1|+2≤m.求得|2n-1|+|2n+1| 的最小值为 2，可得 m 的范围. 答案：(1)∵函数 f(x)=|2x-a|+a， 故不等式 f(x)≤6， 即 60 6 2 6 a a x a a        ， 求得 a-3≤x≤3. 再根据不等式的解集为{x|-2≤x≤3}， 可得 a-3=-2， ∴实数 a=1. (2)在(1)的条件下，f(x)=|2x-1|+1， ∴f(n)=|2n-1|+1，存在实数 n 使 f(n)≤m-f(-n)成立， 即 f(n)+f(-n)≤m，即|2n-1|+|2n+1|+2≤m. 由于|2n-1|+|2n+1|≥|(2n-1)-(2n+1)|=2， ∴|2n-1|+|2n+1|的最小值为 2， ∴m≥4， 故实数 m 的取值范围是[4，+∞).