数学文·湖南省石门县第一中学2017届高三9月月考（单元检测）文数试题+Word版含解析

数学文·湖南省石门县第一中学2017届高三9月月考（单元检测）文数试题+Word版含解析

全*品*高*考*网， 用后离不了！‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.若函数的定义域，值域分别是、，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.注意区间端点的取舍.‎ ‎2.已知是平面上的三个点，直线上有一点，满足，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：如图所示，是中点，.‎ 考点：向量运算．‎ ‎3.已知命题，命题，若是的必要不充分条件，则实 数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 考点：充要条件．‎ ‎4.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）‎ A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，故应向右个单位长度. ‎ 考点：三角函数图象变换．‎ ‎5.设函数，在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，函数在区间上为增函数，故最大值为，故.‎ 考点：函数导数与单调性．‎ ‎6.给出下列四个命题：‎ ‎（1）若为假命题，则均为假命题；‎ ‎（2）命题“”为真命题的一个充分不必要条件可以是；‎ ‎（3）已知函数，则；‎ ‎（4）若函数的定义域为，则实数的取值范围是.‎ 其中真命题的个数是（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 考点：命题真假性判断．‎ ‎7.已知函数，如果存在实数，使得对任意的实数，‎ 都有成立，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：利用二倍角公式，化简，对任意的实数，都有成立,也即最小值为，最大值为，最小就是半个周期，即，.‎ 考点：三角恒等变换，不等式．‎ ‎8.若函数满足，且函数在上有且只有一个零点，‎ 则的最小正周期为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由于，故是其对称轴，，，经验证，函数在上有且只有一个零点，故B正确.‎ 考点：三角函数图象与性质．‎ ‎9.若直线是函数图象的一条切线，则（ ）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 考点：导数与切线．‎ ‎10.已知为上的可导函数，且对，均有，则有（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：构造函数，依题意，为减函数，故，即D正确.‎ 考点：函数导数与不等式，构造函数法．‎ ‎11.直线分别与曲线交于点，则的最小值为（ ）‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 考点：函数导数与不等式，数形结合的数学思想．‎ ‎【思路点晴】本题考查函数导数与不等式，数形结合的数学思想方法.一开始，我们可以先利用导数画出两个函数的图象.对比这两个图象间的水平距离，会发现可以先求出函数的切线与平行的那条的方程，由此就可以求出两者水平距离的最小值.由于是匀速递增的，而在增加得越来越快，从图象上看出，两种水平距离越来越大.‎ ‎12.对于任意两个正整数，定义某种运算“※”，法则如下：当都是正奇数时，※；‎ 当不全为正奇数时，※，则在此定义下，集合※的 真子集的个数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：若，且都是正奇数时，取值的可能有共种；若且不全为正奇数时，取值的可能有共种，所以有个元素，其真子集有.‎ 考点：新定义，真子集的概念．‎ ‎【思路点晴】空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集．若一个集合含有个元素，则子集个数为个，真子集个数为．判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．本题主要思路就是根据新定义，按两种情况列举符合题意的点集.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13.已知函数在区间上单调递减，在上单调递增，则实 数的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎14.在下列命题中所有正确命题的序号是 .‎ ①的单调减区间是；‎ ②若函数满足，则图象关于直线对称；‎ ③函数是偶函数；‎ ④设是函数的导函数，若，则是的极值点.‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】‎ 试题分析：①根据复合函数单调性，同增异减可知①正确.则图象关于直线对称②正确. ③定义域为，故为非奇非偶函数. ④极值点还需要左增右减，或者左减右增，故④错误.‎ 考点：函数的单调性、奇偶性、对称性．‎ ‎15.已知，是线段上异于的一点，，均为等边三角形，则 的外接圆的半径的最小值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 考点：解三角形．‎ ‎【思路点晴】本题考查解三角形，数形结合的数学思想方法，勾股定理，正弦定理等知识，是一个综合性较强的题目.已知条件被分成两个部分，我们就可以分别假设这两个部分，为了方便计算，分别假设为，这样就可以求出的长度.要求外接圆半径最小值，联想正弦定理可知，最小时，外接圆半径最小.利用基本不等式求得最小值，进而求得最小值.‎ ‎16.对于函数，若存在区间，当时的值域为（），则称 为倍值函数. 若是倍值函数，则实数的取值范围是 . ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：依题意可知，倍值函数即函数图象与图象有两个交点，即有两个解，分离参数得，令，令，可得极大值点，故的极大值为，当趋向于无穷大时，趋向于，故实数的取值范围是.‎ 考点：函数导数与不等式．‎ ‎【思路点晴】本题主要考查利用导数求函数的值的方法，体现了划归与转化的数学思想，属于中档题. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 已知，设命题：函数为增函数；命题：当时，恒成立. 如 果为真命题，为假命题，求的范围.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：‎ 由为增函数，得.‎ ‎∵函数在上为减函数，在上为增函数，‎ ‎∴ 在上的最小值为.‎ 当时，由恒成立，解得.‎ 如果真且假，则；如果假且真，则.‎ ‎∴的取值范围为.‎ 考点：含有逻辑联结词命题真假性．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知向量，，.‎ ‎（1）若，求证：；‎ ‎（2）设，若，求的值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2），.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：∵，∴，即.‎ ‎∵，，‎ ‎∴，∴，∴.‎ ‎（2）解：∵，‎ ‎∴，即，‎ 两边分别平方再相加得：，∴，∴.‎ ‎∵，∴，.‎ 考点：向量运算．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知函数（）的最小正周期为.‎ ‎（1）求函数在区间上的最大值和最小值；‎ ‎（2）已知分别为锐角三角形中角的对边，且满足，，‎ ‎，求的面积. ‎ ‎【答案】（1）最小值，最大值；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴，∴，∴，∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，取最小值；当时，取最大值.‎ ‎（2）由已知及正弦定理得：，∴，‎ ‎∵，∴，由得锐角，‎ 由正弦定理得：，∴.‎ 考点：三角函数图象与性质、解三角形．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知函数 是奇函数，是偶函数.‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）为奇函数，，求得.为偶函数；（2）对原不等式分离参数得恒成立，利用配方法可求得右边函数的值域为，故.‎ 即恒成立，‎ ‎∵，∴，即实数的取值范围是.‎ 考点：函数奇偶性与单调性．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 如图，公园有一块边长为的等边的边角地，现修成草坪，图中把草坪分成面积相等的两部 分，在上，在上.‎ ‎（1）设（），，求用表示的函数关系式； ‎ ‎（2）如果是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，的位置应在哪里？如果是参观线路，则 希望它最长，的位置又应在哪里？请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）为中线或中线，理由见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：‎ ‎（1）在中，，即，①‎ 又，即，∴，②‎ ②代入①得：()，∴().‎ ‎（2）如果是水管，，‎ 当且仅当，即时“”成立，故，‎ 即，且时，最短；‎ 如果是参观线路，记，求导可知函数在上递减，在上递增，‎ 故，∴，‎ 即为中线或中线时，最长. ‎ 考点：解三角形实际应用问题．‎ ‎【方法点晴】解三角形是知三求三的过程，题目中有两个未知数，一个是，另一个是，故需要两个方程来求值.由于条件和要求涉及一个三角形三边和一个角，故第一个选择的方程是由余弦定理来建立，第二个方程就由三角形的面积来建立.得到函数的表达式后，我们可以利用基本不等式来求最小时，利用导数或者对钩函数图象与性质来求最大值.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知函数（）.‎ ‎（1）当时，求函数的零点；‎ ‎（2）求的单调区间；‎ ‎（3）当时，若对恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）两个零点，；（2）当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，的单调递减区间为，没有单调递增区间，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；（3）.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：‎ ‎（2）.‎ 令，即，解得或.‎ 当时，列表得：‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当时，‎ ①若，则，列表得：‎ 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 ②若，易知的单调减区间为；‎ ③若，则，列表得：‎ 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；‎ 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；‎ 当时，的单调递减区间为，没有单调递增区间；‎ 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. ‎ 考点：函数导数与不等式、恒成立问题．‎ ‎【方法点晴】第一问考查函数的零点问题，直接令，注意到，这只需二次函数部分等于零，此时由于其判别式大于零，有两个不相等的实数根，利用求根公式求出两个根.第二问考查导数与函数的单调性、分类讨论的数学思想方法，求导之后因式分解可以得到关于且含有参数的表达式，这个时候就需要对进行分类讨论了，分类标准由开口方向了两个根比较大小来讨论.‎ ‎ ‎