2019届二轮复习曲线与方程提分秘籍学案（全国通用）
题型一 定义法求轨迹方程
例1如图，动圆C1：x2＋y2＝t2,1
b>0)的一个焦点为(，0)，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
【解析】 (1)依题意得，c＝， e＝＝，
因此a＝3，b2＝a2－c 2＝4，
故椭圆C的标准方程是＋＝1.学
点评 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．
巩固2在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)为动点，F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足·＝－2，求点M的轨迹方程．
题型三 相关点法求轨迹方程
例3 (2016·大连模拟)如图所示，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p>0)．点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)．当x0＝1－时，切线MA的斜率为－.
(1)求p的值；
(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)．
(2)设N(x，y)，A(x1，)，B(x2，)，x1≠x2.由N为线段AB的中点，知
x＝，③
y＝.④
所以切线MA，MB的方程分别为
y＝(x－x1)＋，⑤
y＝(x－x2)＋.⑥
由⑤⑥得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为x0＝，y0＝.
因为点M(x0，y0)在C2上，即x＝－4y0，
所以x1x2＝－.⑦
由③④⑦得x2＝y，x≠0.
当x1＝x2时，A，B重合于原点O， ]
AB的中点N为点O，坐标满足x2＝y.
因此AB的中点N的轨迹方程是x2＝y. 学
点评 “相关点法”的基本步骤
(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．
巩固3设直线x－y＝4a与抛物线y2＝4ax交于两点A，B(a为定值)，C为抛物线上任意一点，求△ABC的重心的轨迹方程．
答案与解析 学 ]
巩固1【解析】如图所示，
【答案】 －＝1 (x≤－)．
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝(x－c)．
A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x2－8cx＝0.
解得x1＝0，x2＝c，得方程组的解
不妨设A，B(0，－c)．
设点M的坐标为(x，y)，
则＝，＝(x，y＋c)．
由y＝(x－c)，得c＝x－y. 学
于是＝，＝(x，x)，由·＝－2，
即·x＋·x＝－2.
化简得18x2－16xy－15＝0. 学
将y＝代入c＝x－y，得c＝>0. 学+ + ]
所以x>0.因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0(x>0)．
【答案】18x2－16xy－15＝0(x>0)
巩固3【解析】解 设△ABC的重心为G(x，y)，
【答案】 (y－)2＝(x－4a)(x≠(6±)a)．
