江苏省南通市2020届高三下学期4月高考模拟考试数学试题 Word版含解析

江苏省南通市2020届高三下学期4月高考模拟考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020年高考数学（4月份）模拟试卷 一、填空题.‎ ‎1.设复数z满足（i为虚数单位），则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.‎ ‎【详解】解：由，得，‎ ‎∴.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题.‎ ‎2.设全集，集合，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，再根据交集的运算法则计算即可 ‎【详解】解：∵全集，集合，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查集合的交并补运算，属于基础题 ‎3.箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，则摸到的2球颜色不同的概率为______.‎ ‎【答案】‎ - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出基本事件总数和摸到的2球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出摸到的2球颜色不同的概率.‎ ‎【详解】解：箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，‎ 基本事件总数，‎ 摸到的2球颜色不同包含的基本事件个数，‎ ‎∴摸到的2球颜色不同的概率.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用.‎ ‎4.某学校从高三年级共名男生中随机抽取名测量身高．据测量被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[、第二组、…、第八组．按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生身高以上（含）的人数为 ．‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ 根据频率和为，求出男生身高在以上（含）的频率和频数．‎ ‎【详解】根据频率分布直方图知，男生身高在以上（含）的频率为 ‎；‎ 对应的人数有．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查利用频率直方图计算出频数，要熟悉频率、样本容量与频数之间的关系，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎5.阅读如图所示的程序框，若输入的n是30，则输出的变量S的值是______.‎ ‎【答案】240‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当时，满足条件，退出循环，输出S的值，利用等差数列的求和公式即可计算得解.‎ ‎【详解】解：执行程序框图，有 ‎，；‎ 不满足条件，，；‎ 不满足条件，，；‎ 不满足条件，，；‎ ‎…‎ 不满足条件，，；‎ 不满足条件，，；‎ - 24 -‎ 满足条件，退出循环，输出.‎ 故答案为：240.‎ ‎【点睛】本题主要考察了程序框图和算法，等差数列求和，属于基本知识的考查.‎ ‎6.在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，若曲线经过点，则其焦点到准线的距离为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设抛物线的标准方程为，将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，进而可得出抛物线的焦点到准线的距离.‎ ‎【详解】设抛物线的标准方程为，代入点得，得.‎ 因此，抛物线的焦点到准线的距离为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的焦点到准线的距离，解答的关键在于求出抛物线的标准方程，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎7.抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出抛物线的焦点，再求双曲线的渐近线，再求焦点到渐近线的距离.‎ ‎【详解】由题得抛物线的焦点为（1,0），双曲线的渐近线为 所以焦点到渐近线的距离为.‎ - 24 -‎ 故答案为 ‎【点睛】(1)本题主要考查抛物线和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 点到直线的距离.‎ ‎8.已知四棱锥的底面是边长为2，锐角为的菱形，侧棱底面，，若点M是的中点，则三棱锥的体积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可知，则.‎ ‎【详解】解：∵底面是边长为，锐角为的菱形，‎ ‎，‎ ‎∵底面，∴.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了棱锥的体积计算，属于基础题.‎ ‎9.以抛物线的焦点为焦点，以直线为渐近线的双曲线标准方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 24 -‎ ‎【分析】‎ 设以直线为渐近线的双曲线的方程，再由双曲线经过抛物线焦点，能求出双曲线方程.‎ ‎【详解】解：设以直线为渐近线的双曲线的方程为（），‎ ‎∵双曲线经过抛物线焦点，‎ ‎∴，∴，∴双曲线方程为：.‎ 故答案：.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查抛物线的方程，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线简单性质的合理运用.‎ ‎10.一个圆锥的侧面积等于底面面积的倍，若圆锥底面半径为cm，则圆锥的体积是____cm3.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆锥的侧面积等于底面面积的倍，计算圆锥的母线长,得出圆锥的高，代入体积公式计算出圆锥的体积.‎ ‎【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，‎ 设，‎ ‎，解得，‎ 圆锥的高，‎ 圆锥的，故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积公式、圆锥的体积公式以及圆锥的几何性质，意在考查空间想象能力，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力.‎ ‎11.设是上的奇函数，当时，，记，则数列 - 24 -‎ 的前项和为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过是上的奇函数及当时的表达式可求出的值.‎ ‎【详解】由于函数是上的奇函数，且当时，，‎ 所以，数列的前项和为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查的是有关奇函数性质的应用，以及对应的数列的求和问题，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎12.过曲线上一点处的切线分别与轴，轴交于点、，是坐标原点，若的面积为，则_．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得切点坐标，把切点的横坐标代入导函数求出切线的斜率，由切点坐标和斜率写出切线的方程，分别令x=0和y=0，求出三角形的底与高，由三角形的面积公式，解方程可得切点的横坐标．‎ ‎【详解】由题意可得y0=x0﹣，x0＞0，‎ ‎∵y′=1+，‎ ‎∴切线的斜率为1+，‎ 则切线的方程为y﹣x0+=（1+）（x﹣x0），‎ - 24 -‎ 令x=0得y=﹣；‎ 令y=0得x=，‎ ‎∴△OAB的面积S=，‎ 解得x0=（负的舍去）．‎ 故答案为 ‎【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义，考查切线方程的求法和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.‎ ‎13.在平面直角坐标系中，已知圆，，动点在直线上，过点分别作圆的切线，切点分别为，若满足的点有且只有两个，则实数的取值范围是________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出点的坐标，将原问题转化为直线与圆相交的问题，求解关于b的不等式即可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】由题意O(0,0),O1(4,0).设P(x,y)，则 ‎∵PB=2PA，，‎ ‎∴(x−4)2+y2=4(x2+y2)，‎ ‎∴x2+y2+=0，‎ 圆心坐标为,半径为，‎ - 24 -‎ ‎∵动点P在直线x+y−b=0上，满足PB=2PA的点P有且只有两个，‎ ‎∴直线与圆x2+y2+=0相交，‎ ‎∴圆心到直线的距离，‎ ‎∴，‎ 即实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查圆的方程及其应用，等价转化的数学思想，直线与圆是位置关系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎14.已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若集合，则实数的取值范围为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把时的改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得时的函数的最大值，条件等价为对，都有，进行转化求解即可求解该不等式得答案．‎ 详解】若，‎ 则等价为恒成立，即恒成立，‎ 当时，．‎ 若，则当时，，‎ 是奇函数，若，则，则，‎ 则，，‎ - 24 -‎ 综上，此时函数为增函数，则恒成立，‎ 若，‎ 若时，；‎ 当时，；‎ 当时，．‎ 即当时，函数的最小值为，‎ 由于函数是定义在上的奇函数，当时，的最大值为，‎ 作出函数的图象如图：‎ 由于，，‎ 故函数的图象不能在函数的图象的上方，‎ 结合图可得，即，求得，‎ 综上，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查函数不等式恒成立，考查数形结合思想与分类讨论思想的应用，属于难题.‎ 二、解答题；本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且.‎ ‎（1）求角B的大小；‎ - 24 -‎ ‎（2）若，的外接圆的半径为1，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知利用平面向量垂直的坐标运算，结合正弦定理和余弦定理可求的值，结合B的范围即可求出B的值；‎ ‎（2）由已知利用余弦定理，勾股定理的逆定理可得，根据三角形的内角和定理可求，进而利用正弦定理可求a，b的值，根据三角形的面积公式即可求解.‎ ‎【详解】解：（1）∵，，且，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴由，可得；‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，整理可得：，可得，‎ ‎∴，‎ ‎∵的外接圆的半径为1，由正弦定理可得，‎ ‎∴解得：，，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量垂直的坐标运算，正弦定理和余弦定理，三角形的内角和定理，三角形的面积公式等知识在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题.‎ - 24 -‎ ‎16.如图，在直四棱柱中，、分别是、的中点，与交于点．‎ ‎（1）求证：、、、四点共面；‎ ‎（2）若底面是菱形，且，求证：平面．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，由中位线的性质可得，并证明出，利用平行线的传递性得出，进而可证得结论；‎ ‎（2）先由直棱柱证得侧棱，再由菱形得从而可推得平面，即．最后结合已知条件，推证平面．‎ ‎【详解】（1）连接，因为、分别是、的中点，所以．‎ 由直棱柱知且，所以四边形为平行四边形，所以．‎ - 24 -‎ 所以，故、、、四点共面；‎ ‎（2）连接，因为直棱柱中平面，平面，‎ 平面，所以．‎ 因为底面是菱形，所以．‎ 又，所以平面．‎ 因为平面，所以．‎ 又，，平面，平面，‎ 所以平面．‎ ‎【点睛】本题考查四点共面的证明，同时也考查了线面垂直的证明，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎17.已知函数.‎ ‎（1）若函数（，）的定义域为，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）当时，恒有不等式成立，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1），且；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）由题可知在上恒成立，利用二次函数的性质可得a的范围；‎ ‎（2）整理不等式得，构造函数，利用导数求出函数的最小值即可.‎ ‎【详解】（1）由题意可知，在上恒成立，∴，‎ ‎∴，且；‎ - 24 -‎ ‎（2）∵，∴，令，‎ ‎∴，‎ 令，解得，‎ 当时，，递增；当时，，递减；‎ ‎∴，∴.‎ ‎【点睛】考查了对数函数，二次函数的性质和恒成立问题的转换.难点是利用导函数求出构造函数的最小值，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎18.如图，墙上有一壁画，最高点离地面4米，最低点离地面2米，观察者从距离墙米，离地面高米的处观赏该壁画，设观赏视角 ‎（1）若问：观察者离墙多远时，视角最大？‎ ‎（2）若当变化时，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）3≤x≤4．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用两角差的正切公式建立函数关系式，根据基本不等式求最值，最后根据正切函数单调性确定最大时取法，（2）利用两角差的正切公式建立等量关系式，进行参变分离得，再根据a的范围确定范围，最后解不等式得的取值范围.‎ - 24 -‎ 试题解析：（1）当时，过作的垂线，垂足为，‎ 则，且，‎ 由已知观察者离墙米，且，‎ 则， ‎ 所以， ，‎ 当且仅当时，取“”． ‎ 又因为在上单调增，所以，当观察者离墙米时，视角最大． ‎ ‎（2）由题意得，，又，‎ 所以， ‎ 所以，‎ 当时，，所以，‎ 即，解得或， ‎ 又因为，所以，‎ 所以的取值范围为．‎ ‎19.在平面直角坐标系中，设椭圆（）的离心率是e，定义直线 - 24 -‎ 为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为，长轴长为4.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）点P在椭圆C的“类准线”上（但不在y轴上），过点P作圆O：的切线l，过点O且垂直于的直线l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论.‎ ‎【答案】（1）；（2）在，证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意列关于a，b，c的方程，联立方程组求得，，，则椭圆方程可求；‎ ‎（2）设（），当时和时，求出A的坐标，代入椭圆方程验证知，A在椭圆上，当时，求出过点O且垂直于的直线与椭圆的交点，写出该交点与P点的连线所在直线方程，由原点到直线的距离等于圆的半径说明直线是圆的切线，从而说明点A在椭圆C上.‎ ‎【详解】（1）由题意得：，，又，‎ 联立以上可得：，，.∴椭圆C的方程为；‎ ‎（2）如图，由（1）可知，椭圆的类准线方程为，不妨取，‎ 设（），则，‎ ‎∴过原点且与垂直的直线方程为，‎ - 24 -‎ 当时，过P点的圆的切线方程为，‎ 过原点且与垂直的直线方程为，联立，解得：，‎ 代入椭圆方程成立；‎ 同理可得，当时，点A在椭圆上；‎ 当时，联立，‎ 解得，，‎ 所在直线方程为.‎ 此时原点O到该直线的距离，‎ ‎∴说明A点在椭圆C上；同理说明另一种情况的A也在椭圆C上.‎ 综上可得，点A在椭圆C上.‎ ‎【点睛】本题是新定义题，考查了椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属难题.‎ ‎20.已知数列的奇数项是公差为的等差数列，偶数项是公差为的等差数列，是数列的前项和，‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）已知，且对任意的，有恒成立，求证：数列是等差数列；‎ ‎（3）若，且存在正整数，使得，求当最大时，数列的通项公式.‎ - 24 -‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用题意列出方程组，求得、的值，据此可得的值；‎ ‎（2）结合（1）的结论证得，即可说明数列是等差数列；‎ ‎（3）分类讨论的奇偶性即可得到数列的通项公式为.‎ ‎【详解】（1）根据题意，有，，，，，‎ 由，得，解得，‎ 因此，；‎ ‎（2）证明：当为偶数时，恒成立，，‎ ‎，且，‎ 当为奇数时，恒成立，，‎ ‎，，，‎ ‎，，，‎ ‎，则，‎ 因此，数列是等差数列；‎ ‎（3）若，且存在正整数、，使得，在、‎ - 24 -‎ 中必然一个是奇数，一个是偶数.‎ 不妨设为奇数，为偶数.‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 为奇数，为偶数，的最小正值为，此时，，‎ 因此，数列的通项公式为.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，同时也考查了等差数列通项公式的求解，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎[选做题]本题包括21、22、23三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎21.求矩阵的特征值及对应的特征向量.‎ ‎【答案】，特征向量为；，特征向量为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据特征值的定义列出特征多项式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量.‎ ‎【详解】解：特征多项式，‎ 由，解得，；将代入特征方程组，得，‎ ‎，可取为属于特征值的一个特征向量. 同理，当时，‎ - 24 -‎ 由,所以可取为属于特征值的一个特征向量.‎ 综上所述，矩阵有两个特征值，；‎ 属于的一个特征向量为，属于的一个特征向量为.‎ ‎【点睛】本题主要考查来了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于矩阵中的基础题.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线C：（为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立坐标系，直线l的极坐标方程为，求曲线C上的点到直线l的最大距离.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，，可得直线的普通方程，由点到直线的距离公式可得曲线C上的点到直线的距离，运用两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到所求最大距离.‎ ‎【详解】解：由，，可得：直线l的普通方程为，‎ 曲线C上的点到直线l的距离为.‎ 当，即，，取得最大值.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，点到直线的距离公式和正弦函数的值域的运用，考查运算能力，属于中档题.‎ ‎23.‎ 设、均为正数，且，求证：.‎ - 24 -‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作差再利用均值不等式得.‎ ‎【详解】因为，，，‎ ‎=，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查不等式的证明，考查三元基本不等式的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎[必做题]第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎24.如图，在直三棱柱中，，，，.‎ ‎（1）设，异面直线与所成角的余弦值为，求的值；‎ ‎（2）若点D是中点，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）或；（2）‎ ‎【解析】‎ - 24 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的值.‎ ‎（2）求出平面的法向量和面的一个法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值.‎ ‎【详解】解：（1）由，，，得.‎ 以、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 则，，，设，则由，‎ 得，而，根据，‎ 解得，或；‎ ‎（2），，设平面的法向量，‎ 则，取，得面的一个法向量为，‎ 而平面的一个法向量为，并且与二面角相等，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查满足异面直线所成余弦值的实数值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.‎ ‎25.设，.‎ - 24 -‎ ‎（1）求的展开式中系数最大的项；‎ ‎（2）时，化简；‎ ‎（3）求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）中间项的二项式系数（也是系数）最大；‎ ‎（2）在原式乘以4，然后逆用二项式定理即可；‎ ‎（3）根据，将左边利用倒序相加法求和.‎ ‎【详解】解：（1），通项为：，‎ 故各项的系数即为二项式系数，故系数最大的项为；‎ ‎（2）‎ ‎；‎ ‎（3）证明：令①，‎ 则，‎ 所以②，‎ ‎①②得：，∴.‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理的通项、系数的性质以及赋值法.同时考查学生的逻辑推理和数学运算等数学核心素养.属于中档题.‎ - 24 -‎ - 24 -‎