【数学】2018届一轮复习人教A版2-7函数的图象学案
§2.7 函数的图象
考纲展示► 1.理解点的坐标与函数图象的关系．
2．会利用平移、对称、伸缩变换，由一个函数图象得到另一个函数的图象．
3．会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题．
考点1 作函数的图象
1.描点法作图
其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：
(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)．
(2)列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点)．
(3)描点，连线．
2．图象变换
(1)平移变换：
①y＝f(x)的图象y＝________的图象；
②y＝f(x)的图象y＝________的图象．
(2)对称变换：
①y＝f(x)的图象y＝________的图象；
②y＝f(x)的图象y＝________的图象；
③y＝f(x)的图象y＝________的图象；
④y＝ax(a>0且a≠1)的图象y＝logax(a>0且a≠1)的图象．
(3)伸缩变换：
①y＝f(x)的图象
y＝________的图象；
②y＝f(x)的图象
y＝________的图象．
(4)翻转变换：
①y＝f(x)的图象y＝________的图象；
②y＝f(x)的图象y＝________的图象．
答案：(1)①f(x－a) ②f(x)＋b
(2)①－f(x) ②f(－x) ③－f(－x)
(3)①f(ax) ②af(x)
(4)①|f(x)| ②f(|x|)
(1)[教材习题改编]对于函数f(x)＝有下列三个说法：①图象是一个点和一条直线(去掉点(0,0))；②图象是两条直线；③图象是一个点和两条射线．其中正确的说法是________．(填序号)
答案：①
解析：当x≠0时，图象是一条直线去掉点(0,0)，当x＝0时，图象是一个点．
(2)[教材习题改编]为了得到函数y＝log3(x＋3)－2的图象，只需把函数y＝log3x的图象上所有的点向________平移________个单位长度，再向________平移________个单位长度．
答案：左 3 下 2
图象变换中的误区：平移的方向；平移的大小．
(1)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数________的图象．
答案：y＝f(－x＋1)
解析：将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝f(－(x－1))＝f(－x＋1)的图象(注意平移方向)．
(2)把函数y＝f(2x)的图象向右平移________个单位长度得到函数y＝f(2x－3)的图象．
答案：
解析：本题易理解为向右平移3个单位长度，事实上把函数y＝f(2x)的图象向右平移3个单位长度后得到的是函数y＝f(2(x－3))＝f(2x－6)的图象.
[典题1] 分别画出下列函数的图象：
(1)y＝|lg(x－1)|；
(2)y＝2x＋1－1；
(3)y＝x2－|x|－2；
(4)y＝；
(5)y＝10|lg x|.
[解] (1)首先作出y＝lg x的图象C1，然后将C1向右平移1个单位，得到y＝lg(x－1)的图象C2，再把C2在x轴下方的图象作关于x轴对称的图象，即为所求图象C3：y＝|lg(x－1)|.如图①所示(实线部分)．
① ②
(2)y＝2x＋1－1的图象可由y＝2x的图象向左平移1个单位，得y＝2x＋1的图象，再向下平移一个单位得到，如图②所示．
(3)y＝x2－|x|－2＝
其图象如图③所示．
③ ④ ⑤
(4)y＝＝＝2－.
可由函数y＝－向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．
(5)y＝10|lg x|＝如图⑤所示．
[点石成金] 函数图象的画法
(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象．
(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．
(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
考点2 识图与辨图
[考情聚焦] 高考对函数图象的考查主要有识图和辨图两个方面，其中识图是每年高考的热点内容，题型多为选择题，难度适中．
主要有以下几个命题角度：
角度一
借助实际问题情境探究函数图象
[典题2] [2017·云南昆明模拟]如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y与行走时间x的函数y＝f(x)的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷行走的路线可能是( )
A B
C D
[答案] D
[解析] 由图象知，张大爷晨练时，离家的距离y随行走时间x的变化规律是先匀速增加，中间一段时间保持不变，然后匀速减小．
[点石成金] 解决此类问题的关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，但要注意实际问题中的定义域．
角度二
借助动点探究函数图象
[典题3] [2015·新课标全国卷Ⅱ]如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )
A B
C D
[答案] B
[解析] 排除法排除错误选项．
当x∈时，f(x)＝tan x＋，图象不会是直线段，从而排除A，C.
当x∈时，f＝f＝1＋，f＝2.∵ 2＜1＋，∴ f＜f＝f，从而排除D，故选B.
[点石成金] 解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象；也可采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考查图象的变化特征，从而作出选择．
角度三
同一坐标系下辨析不同函数的图象
[典题4] (1)在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的图象，可能正确的是( )
A B
C D
[答案] D
[解析] 当a>1时，A中的直线位置错误，排除A，D中的三个函数图象都正确；当0
0时，f′(x)>0，故函数f(x)＝x3＋ax2＋cx在(0，＋∞)上单调递增，但图象中函数f(x)在(0，＋∞)上不具有单调性，排除C.故选B.
[点石成金] 解决此类问题时，常先假定其中一个函数的图象是正确的，然后再验证另一个函数图象是否符合要求，逐项作出验证排查．
角度四
函数图象与解析式对应关系的识别
[典题5] (1)[2017·湖南师大附中月考]函数f(x)＝cos x的图象的大致形状是( )
A B
C D
[答案] D
[解析] 因为f(－x)＝－f(x)，所以函数y＝f(x)是奇函数，且当x＝π时，f(x)>0，故选D.
(2)[2017·山东潍坊模拟]已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝2f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝则函数y＝f(x)在[2,4]上的大致图象是( )
A B
C D
[答案] A
[解析] 当2≤x＜3时，0≤x－2＜1，
又f(x＋2)＝2f(x)，所以f(x)＝2f(x－2)＝2x－4，
当3≤x≤4时，1≤x－2≤2，
又f(x＋2)＝2f(x)，所以f(x)＝2f(x－2)＝－2(x－2)2＋4(x－2)＝－2x2＋12x－16，
所以f(x)＝故选A.
[点石成金] 此类问题往往从以下几方面判断：
(1)从函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除、筛选错误或正确的选项．
角度五
考查图象变换问题
[典题6] 已知定义在区间[0,4]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(1－x)的图象为( )
A B
C D
[答案] D
[解析] 解法一：把函数y＝f(x)的图象上的所有的点向左平移1个单位长度，得到y＝f(x＋1)的图象，再把所得的图象关于原点对称，即可得到y＝－f(1－x)的图象，故选D.
解法二：取函数y＝f(x)的图象上的点(2,4)，则有f(2)＝4，因为－f[1－(－1)]＝－f(2)＝－4，所以函数y＝－f(1－x)的图象过点(－1，－4)，排除A，B，C，故选D.
解法三：把函数y＝f(x)的图象关于原点对称，得到y＝－f(－x)的图象，再把所得的图象上的所有的点向右平移1个单位长度，可得到y＝－f(－(x－1))＝－f(1－x)的图象．
[点石成金] 本例中，已知函数y＝f(x)的图象，求变换后的函数y＝－f(1－x)的图象的易错点有两处：一是先作平移变换后作对称变换时，误以为函数y＝f(x)的图象上的所有的点向右平移1个单位长度，得到y＝f(x
－1)图象，误选C；二是先作对称变换后作平移变换时，把函数y＝f(x)的图象关于原点对称，误选C.要避免此类错误，应熟练掌握图象的变换规律．
考点3 函数图象的应用
函数图象对称问题的误区：图象的自对称与互对称．
(1)函数y＝log2(x2－1)的图象关于________对称．
答案：y轴
解析：函数的定义域关于原点对称，且易知是偶函数，所以函数的图象关于y轴对称．这是图象的自对称问题，自对称函数的图象的对称轴一定垂直于x轴．
(2)函数y＝ln x与y＝－ln x的图象关于________对称．
答案：x轴
解析：函数y＝ln x与y＝－ln x的图象关于x轴对称，这里涉及两个函数，是图象的互对称问题．一般地，y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称．
[考情聚焦] 函数图象的应用也是高考命题的一个热点，题型多为选择题和填空题．
主要有以下几个命题角度：
角度一
利用图象研究函数的性质
[典题7] 已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
[答案] C
[解析] 将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值，得f(x)＝
画出函数f(x)的图象，如图所示．
观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
[点石成金] 利用函数图象可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质．
角度二
利用图象研究方程的根或不等式求解问题
[典题8] (1)已知函数y＝的图象与函数y＝kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
[答案] (0,1)∪(1,2)
[解析] 将函数y＝化成分段函数，并作出其图象如图所示．
利用图象可得，实数k的取值范围为(0,1)∪(1,2)．
(2)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．
[答案] [－1，＋∞)
[解析] 如图，要使f(x)≥g(x)恒成立，则－a≤1，∴a≥－1.
(3)已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．
[答案] 5
[解析] 方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或1.作出y＝f(x)的图象，由图象知零点的个数为5.
[点石成金] 函数图象应用的常见题型与求解策略
(1)研究函数性质：
①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．
②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．
③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
④从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．
(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．
(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
[方法技巧] 1.识辨函数图象的方法
(1)知式选图
①从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
(2)知图选式
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域．
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性．
③从图象的对称性，观察函数的奇偶性．
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
2．常见结论
(1)函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0对称．
(2)函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)的图象关于坐标原点对称．
(3)如果函数y＝f(x)对于一切x∈R，都有f(a＋x)＝f(a－x)，那么y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(4)如果函数y＝f(x)对于一切x∈R，都有f(a＋x)＋f(a－x)＝0，那么y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称．
[易错防范] 1.图象左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．
2．图象上下平移仅仅是相对y而言的，即发生变化的只是y本身，利用“上加下减”进行操作．但平时我们是对y＝f(x)中的f(x)进行操作，满足“上加下减”．
3．要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区别．
真题演练集训
1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为( )
A B
C D
答案：D
解析：当x≥0时，令函数f(x)＝2x2－ex，则f′(x)＝4x－ex，易知f′(x)在[0，ln 4)上单调递增，在[ln 4,2]上单调递减，又f′(0)＝－1<0，f′＝2－>0，f′(1)＝4－e>0，f′(2)＝8－e2>0，所以存在x0∈是函数f(x)的极小值点，即函数f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0,2)上单调递增，且该函数为偶函数，符合条件的图象为D.
2．[2016·新课标全国卷Ⅱ]已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)＝( )
A．0 B．m
C．2m D．4m
答案：B
解析：因为f(x)＋f(－x)＝2，y＝＝1＋，所以函数y＝f(x)与y＝的图象都关于点(0,1)对称，所以i＝0，i＝×2＝m，故选B.
3．[2015·安徽卷]函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a>0，b>0，c<0
B．a<0，b>0，c>0
C．a<0，b>0，c<0
D．a<0，b<0，c<0
答案：C
解析：函数的定义域为{x|x≠－c}，结合图象知－c>0，∴ c<0.令x＝0，得f(0)＝，又由图象知f(0)>0，∴ b>0.令f(x)＝0，得x＝－，结合图象知－>0，∴ a<0.
故选C.
4．[2015·北京卷]如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )
A．{x|－1＜x≤0} B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2}
答案：C
解析：令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图．
由得
∴ 结合图象知，不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1＜x≤1}．
5．[2014·新课标全国卷Ⅰ]如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图象大致为( )
A B
C D
答案：C
解析：如图所示，
当x∈时，则P(cos x，sin x)，M(cos x,0)，
作MM′⊥OP，M′为垂足，则＝sin x，
∴＝sin x，∴f(x)＝sin xcos x＝sin 2x，则当x＝时，f(x)max＝；
当x∈时，有＝sin(π－x)，
f(x)＝－sin xcos x＝－sin 2x，
当x＝时，f(x)max＝.只有C选项的图象符合．
课外拓展阅读
函数图象的变换问题
1．对称变换
通过特殊值，我们可以得到函数y＝ax与y＝x(a>0，a≠1)的图象关于y轴对称，函数y＝logax与y＝logx(a>0，a≠1)的图象关于x轴对称，原因是y＝x＝a－x，y＝logx＝－logax.推广到一般，可以得到：函数f(x)的图象与函数f(－x)的图象关于y轴对称，函数f(x)的图象与函数－f(x)的图象关于x轴对称．
2．平移变换
(1)左右平移变换
一般地，函数图象左右平移变换时，当h>0时，将函数f(x)的图象向右平移h个单位长度后，得到函数f(x－h)的图象；向左平移h个单位长度后，得到函数f(x＋h)的图象．
(2)上下平移变换
一般地，函数图象上下平移变换时，当h>0时，将函数f(x)的图象向上平移h
个单位长度后，得到函数f(x)＋h的图象；向下平移h个单位长度后，得到函数f(x)－h的图象．
3．翻折变换
(1)画函数f(|x|)的图象时，先画出函数f(|x|)在y轴右侧的图象，再将此部分图象关于y轴翻折，即得函数f(|x|)在y轴左侧的图象．
(2)画函数|f(x)|的图象时，先画出函数f(x)的图象，再将x轴下方的图象关于x轴翻折，即得函数|f(x)|的图象．
[典例1] 为了得到函数y＝lg 的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点( )
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
[思路分析]
[解析] 因为y＝lg ＝lg(x＋3)－1，所以只需将y＝lg x的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可得到函数y＝lg 的图象．
[答案] C
[典例2] 已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2.那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有( )
A．10个 B．9个
C．8个 D．1个
[思路分析]
[解析] 画出两个函数图象如图所示，可看出交点有10个．
[答案] A
