【数学】2019届一轮复习北师大版 选修4系列学案
专题八 选修4系列
(对应学生用书第62页)
1.(2018·全国Ⅰ卷,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.
(1)求C2的直角坐标方程;
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.
解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐标方程为
(x+1)2+y2=4.
(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.
由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.
记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.
由于点B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.
当l1与C2只有一个公共点时,
点A到l1所在直线的距离为2,
所以=2,故k=-或k=0.
经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;
当k=-时,l1与C2只有一个公共点,
l2与C2有两个公共点.
当l2与C2只有一个公共点时,
点A到l2所在直线的距离为2,
所以=2,故k=0或k=.
经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;
当k=时,l2与C2没有公共点.
综上,所求C1的方程为y=-|x|+2.
2.(2018·全国Ⅰ卷,理23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,
即f(x)=
故不等式f(x)>1的解集为xx>.
(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.
若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;
若a>0,则|ax-1|<1的解集为x0
1,
即α∈,或α∈,.
综上,α的取值范围是,.
(2)l的参数方程为t为参数,<α<.
设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,
则tP=,且tA,tB满足t2-2tsin α+1=0.
于是tA+tB=2sin α,所以tP=sin α.
又点P的坐标(x,y)满足
所以点P的轨迹的参数方程是α为参数,<α<.
4.(2017·全国Ⅱ卷,理23)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:
(1)(a+b)(a5+b5)≥4;
(2)a+b≤2.
证明:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.
(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)=2+,
所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.
1.考查角度
(1)坐标系与参数方程主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程化为普通方程,两曲线相交问题.
(2)不等式选讲主要考查含绝对值不等式的解法,含参不等式恒成立或有解问题以及不等式的证明.
2.题型及难易度
解答题,难度中低档.
(对应学生用书第63~65页)
坐标系与参数方程
考向1 极坐标方程及其应用
【例1】 (2017·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.
(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为2,,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.
解:(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知
|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.
由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程
ρ=4cos θ(ρ>0).
因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρB,α),(ρB>0).
由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB面积
S=|OA|·ρB·sin ∠AOB
=4cos α·sinα-
=2sin 2α--≤2+.
当α=-时,S取得最大值2+.
所以△OAB面积的最大值为2+.
考向2 参数方程及其应用
【例2】 (2017·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).
(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l的距离的最大值为,求a.
解:(1)曲线C的普通方程为+y2=1,
当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.
由解得或
从而C与l的交点坐标为(3,0), -,.
(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos θ,sin θ)到l的距离为
d=.
当a≥-4时,d的最大值为.
由题设得=,所以a=8;
当a<-4时,d的最大值为.
由题设得=,所以a=-16,
综上,a=8或a=-16.
考向3 极坐标方程与参数方程的综合应用
【例3】 (2018·郑州市质量预测)在平面直角坐标系xOy中,曲线C:(α为参数,t>0).在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l:ρcosθ-=.
(1)若l与曲线C没有公共点,求t的取值范围;
(2)若曲线C上存在点到l的距离的最大值为+,求t的值.
解:(1)因为直线l的极坐标方程为ρcosθ-=,
即ρcos θ+ρsin θ=2,
所以直线l的直角坐标方程为x+y=2,
又因为(α为参数,t>0),
所以曲线C的直角坐标方程为+y2=1.
由得(1+t2)y2-4y+4-t2=0,
所以Δ=16-4(1+t2)(4-t2)<0,
解得00,所以t=.
(1)直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式x=ρcos θ及y=ρsin θ直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形,构造形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方程必须保持同解,因此应注意对变形过程的检验;
(2)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等.对于与角θ有关的参数方程,经常用到的公式有sin2θ+cos2θ=1,1+tan2θ=等;
(3)在将曲线的参数方程化为普通方程时,还要注意其中的x,y的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性;
(4)涉及圆、椭圆上的点到直线距离时,可考虑用参数方程,设曲线上点的坐标,利用点到直线距离公式求解;
(5)对于极坐标方程或参数方程应用不够熟练的情况下,可以先化为普通方程,然后求解;
(6)极坐标方程为θ=α的直线与曲线相交于M1,M2两点,坐标为(ρ1,α),(ρ2,α),则有以下结论:
①|M1M2|=|ρ1-ρ2|;
②若M(ρ0,α)是M1M2的中点,则ρ0=.
(7)参数方程为(t为参数)的直线l必过定点M(x0,y0),若直线l与曲线相交于M1,M2两点,M1,M2所对应的参数分别为t1,t2,则有以下结论:①|M1M2|=|t1-t2|;②若M(x0,y0)是弦M1M2的中点,则t1+t2=0;③若弦M1M2的中点M,则点M对应的参数tm=.
热点训练1:(2018·石家庄市质检)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程是(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2+2ρsin θ-3=0.
(1)求直线l的极坐标方程;
(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求|AB|.
解:(1)由消去t得y=2x,
把代入y=2x,得ρsin θ=2ρcos θ,
所以直线l的极坐标方程为sin θ=2cos θ.
(2)因为ρ2=x2+y2,y=ρsin θ,
所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2+2y-3=0,
即x2+(y+1)2=4.
圆C的圆心C(0,-1)到直线l的距离d=,
所以|AB|=2=.
热点训练2:(2018·南昌市模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C的极坐标方程;
(2)若直线l1,l2的极坐标方程分别为θ1=(ρ1∈R),θ2=(ρ2∈R),设直线l1,l2与曲线C的交点分别为O,M和O,N,求△OMN的面积.
解:(1)由参数方程
得普通方程为x2+(y-2)2=4,
把代入x2+(y-2)2=4,
得ρ2-4ρsin θ=0.
所以曲线C的极坐标方程为ρ=4sin θ.
(2)由直线l1:θ1=(ρ1∈R)与曲线C的交点为O,M,
得|OM|=4sin =2.
由直线l2:θ2=(ρ2∈R)与曲线C的交点为O,N,
得|ON|=4sin =2.
易知∠MON=,
所以S△OMN=|OM||ON|=×2×2=2.
不等式选讲
考向1 绝对值不等式的解法
【例4】 (2018·合肥市质检)已知函数f(x)=|2x-1|.
(1)解关于x的不等式f(x)-f(x+1)≤1;
(2)若关于x的不等式f(x)(|2x-1|+|2x+1|)min.
由于|2x-1|+|2x+1|=|1-2x|+|2x+1|≥|1-2x+2x+1|=2,
当且仅当(1-2x)(2x+1)≥0,
即x∈-,时等号成立,故m>2.
所以m的取值范围是(2,+∞).
考向2 不等式的证明
【例5】 (2018·广州市普通高中综合测试)已知函数f(x)=|2x+1|+|2x-1|,不等式f(x)≤2的解集为M.
(1)求M;
(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|+|a-b|≤1.
(1)解:f(x)≤2,即|2x+1|+|2x-1|≤2,
当x≤-时,得-(2x+1)+(1-2x)≤2,
解得x≥-,故x=-,
当-5,
这与x<-1矛盾,故此时不等式无解;
当-1≤x≤3时,不等式可化为2(3-x)-(x+1)<2,
解得x>1,故此时不等式的解集为(1,3];
当x>3时,不等式可化为2(x-3)-(x+1)<2,
解得x<9,故此时不等式的解集为(3,9).
综上,不等式的解集为(1,9).
(2)证明:由题知
f(x)=
如图,作出函数f(x)的图象,显然,函数f(x)的最小值为f(3)=-4,
所以m=-4.
所以++=4,
则a+b+c
=(a+b+c)×++
=1+4+9+++
=14++++++
≥14+2+2+2
=×(14+4+6+12)
=9当且仅当即a=,b=3,c=时等号成立.
热点训练5:(2018·河北省五个一名校联盟第二次考试)已知函数f(x)=|2x-1|,x∈R.
(1)解不等式f(x)<|x|+1;
(2)若对x,y∈R,有|x-y-1|≤,|2y+1|≤,求证:f(x)<1.
(1)解:因为f(x)<|x|+1,所以|2x-1|<|x|+1,
即或或
解得≤x<2或01有解,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=|2x-1|-|x-1|
=
当x≤时,-x<1,解得x>-1,
所以-11时,x<1,无解;
综上所述,不等式f(x)<1的解集为{x|-11有解⇔|x-a|<-2x有解⇔2x1,
所以不等式的解集为xx≥.
(2)证明:由f(x)=
可得-2≤f(a)≤2,
因为0m,或b加以分类讨论),或利用“图象法”加以求解.
本题常因分段错误而失分.
(2)根据绝对值不等式|a|+|b|≥|a±b|,可得函数f(x)=|x-a|+|x-b|(a≠b)的最小值为|a-b|;根据绝对值不等式||a|-|b||≤|a±b|,可得函数f(x)=|x-a|-|x-b|(a≠b)的最小值为-|a-b|,最大值为|a-b|.
本题常不能正确运用绝对值不等式的性质求|x+a|+|x-2|的最小值,或不能把不等式恒成立问题转化为参数的不等式而失分.
(3)本题易忽略结果是集合或区间形式而失分.
